Chương 4: Bộ lọc số

Trong cá c phầ n trư ớ c chú ng ta đ ã tì m hiể u mộ t số cá ch biể u diễ n tí n hiệ u và hệ thố ng rờ i rạ c, đ ó là nhữ ng cô ng cụ khô ng thể thiế u trong việ c mô tả hệ thố ng xử lí tí n hiệ u. Bộ lọ c số là mộ t hệ thố ng tuyế n tí nh bấ t biế n, vì vậ y trong phầ n nà y chú ng ta sẽ sử dụ ng cá c tí nh chấ t đ ã nghiê n cứ u ở cá c phầ n trư ớ c đ ể tì m hiể u về bộ lọ c số mộ t trong nhữ ng hệ thố ng đ ư ợ c ứ ng dụ ng rấ t nhiề u trong xử lí số tí n hiệ u. Cá c bộ lọ c số dầ n đ ã thay thế cá c bộ lọ c tư ơ ng tự.

§1. Cá c bộ lọ c số lí tư ở ng

1. Khá i niê m chung

Bộ lọ c số là mộ t HT-TT-BB trong miề n thờ i gian rờ i rạ c sơ đ ồ khố i có dạ ng:

Trong miề n tầ n số đ ư ợ c đ ặ c trư ng bở i đ á p ứ ng tầ n số: H(e^j^w)

H(e^j^w) =DTFT [h(n)] = Y(e^j^w)/ X(e^j^w) =

Việ c thiế t kế cá c bộ lọ c số thự c tế đ ề u đ i từ lí thuyế t cá c bọ lọ c số lí tư ở ng. Chú ng ta sẽ tì m hiể u 4 loạ i bộ lọ c số tiê u biể u là:

- Bộ lọ c số thô ng thấ p.

- Bộ lọ c số thô ng cao

- Bộ lọ c số thô ng dả i.

- Bộ lọ c số chắ n dả i.

Lọ c ở đ â y chú ng ta hiể u là lọ c tầ n số vì vậ y tấ t cả cá c đ ặ c trư ng củ a bộ lọ c số đ ề u đ ư ợ c cho theo đ á p ứ ng biê n đ ộ

2. Cá c đ ặ c trư ng củ a bộ lọ c số lí tư ở ng.

a. Bộ lọ c thô ng thấ p lí tư ở ng

Đ á p ứ ng biê n đ ộ củ a bộ lọ c thô ng thấ p lí tư ở ng đ ư ợ c đ ị nh nghĩ a như sau:

w_c tầ n số cắ t.

[ -w_c, w_c ] dả i thô ng.

Nhậ n xé t: Do là đ ố i xứ ng do đ ó ta chỉ cầ n xé t trong mộ t nử a chu kì (p³ w³ 0) là đ ủ và coi h(n) là thự c.

h(n) là biế n đ ổ i Fourier ngư ợ c củ a H(e^j^w)

hay: (4. 1)

b. Bộ lọ c thô ng cao lí tư ỏ ng

Bộ lọ c thô ng cao lí tư ở ng là bộ lọ c mà đ á p ứ ng biê n đ ộ củ a nó đ ư ợ c đ ị nh nghĩ a như sau:

w_c tầ n số cắ t.

[-p, -w_c]; [w_c, p] dả i thô ng

Nhậ n xé t: Do là đ ố i xứ ng do đ ó ta chỉ cầ n xé t trong mộ t nử a chu kì (p³ w³ 0) là đ ủ và coi h(n) là thự c.

h(n) là biế n đ ổ i Fourier ngư ợ c củ a H(e^j^w)

hay: (4. 2)

d(n) đ ư ợ c gọ i là đ á p ứ ng xung củ a bộ lọ c thô ng tấ t. ( All Pass Fillter ).

c. Bộ lọ c thô ng dả i lí tư ở ng.

Đ á p ứ ng biê n đ ộ củ a bộ lọ c thô ng dả i lí tư ở ng đ ư ợ c đ ị nh nghĩ a như sau:

w_c1 tầ n số cắ t dư ớ i.

w_c2 tầ n số cắ t trê n.

[-w_c2, -w_c1 ]; [w_c1, w_c2 ] dả i thô ng

Nhậ n xé t: Do là đ ố i xứ ng do đ ó ta chỉ cầ n xé t trong mộ t nử a chu kì (p³ w³ 0) là đ ủ và coi h(n) là thự c.

Nế u có 2 bộ lọ c thô ng thấ p vớ i tầ n số cắ t là w_c1, và w_c2 thì:

H(e^j^w) = H₂(e^j^w)- H₁(e^j^w) suy ra h(n) = h₂(n) – h₁(n)

(4. 3)

d. Bộ lọ c chắ n dả i lí tư ở ng.

Đ á p ứ ng biê n đ ộ củ a bộ lọ c thô ng thấ p lí tư ở ng đ ư ợ c đ ị nh nghĩ a như sau:

w_c1 tầ n số cắ t dư ớ i.

w_c2 tầ n số cắ t trê n.

[-p, -w_c2 ]; [-w_c1, w_c1 ]; [w_c2, p ] dả i thô ng

Nhậ n xé t: Nế u cá c bộ lọ c thô ng tấ t và bộ lọ c thô ng dả i và bộ lọ c chắ n dả i lí tư ở ng có cù ng đ á p ứ ng pha thì ta có cá c quan hệ sau:

H(e^j^w) = H_A(e^j^w)- H_T(e^j^w) suy ra h(n) = h_A(n) – h_T(n)

Trong đ ó: H_A(e^j^w) là đ á p ứ ng tầ n số củ a bộ lọ c thô ng tấ t

H_T(e^j^w) là đ á p ứ ng tầ n số củ a bộ lọ c thô ng dả i

H(e^j^w) là đ á p ứ ng tầ n số củ a bộ lọ c chắ n dả i

và

(4. 4)

§2. Bộ lọ c số FIR

Trong thự c tế cá c bộ lọ c số có đ á p ứ ng tầ n số ở dạ ng:

+ d₁ đ ộ gợ n ở dả i thô ng

+ d₂ đ ộ gợ n ở dả i chắ n

+ w_p tầ n số giớ i hạ n dả i thô ng

+ w_s tầ n số giớ i hạ n dả i chắ n

Dw = w_s- w_p: dả i quá đ ộ.

1. Bộ lọ c FIR thự c tế

-Trong thự c tế ta chỉ xá c đ ị nh đ ư ợ c N hệ số củ a đ á p ứ ng xung h(n). Vì vậ y khi cá c bộ lọ c FIR đ ư ợ c xâ y dụ ng dự a trê n cá c bộ lọ c số lí tư ở ng thì chú ng ta phả i:

+ Hạ n chế chiề u dà i củ a đ á p ứ ng xung bằ ng cá ch dù ng cá c hà m cử a sổ có chiề u dà i N ( rect_N(n) ).

+ Chuyể n h(n) từ dạ ng khô ng nhâ n quả sang dạ ng nhâ n quả bằ ng cá ch tị nh tiế n đ i mộ t số mẫ u.

2. Cá c đ ặ c trư ng củ a bộ lọ c FIR pha tuyế n tí nh.

Coi bộ lọ c FIR có đ á p ứ ng tầ n số là H(e^j^w) có pha tuyế n tí nh, do đ ó nế u biế t đ á p ứ ng pha củ a nó ta sẽ biế t tí n hiệ u qua bộ lọ c vớ i đ ộ trễ nhấ t đ ị nh đ ã biế t.

Hệ thố ng FIR là hệ thố ng luô n luô n ổ n đ ị nh:

Bộ lọ c FIR có pha tuyế n tí nh nế u: (4. 5)

a. Trư ờ ng hợ p b =0

Từ (4. 5) ta có:

Suy ra:

Suy ra: (*)

(**)

Từ (*) và (**) ta có:

+ Nế u a = 0 thì: =

suy ra h(n) = 0 vớ i mọ i n ¹ 0 và giá trị h(0) tuỳ ý vớ i n=0. Đ â y là trư ờ ng hợ p h(n) tầ m thư ờ ng, khô ng cho chú ng ta kế t quả gì.

+ Nế u a ¹ 0 thì ta viế t lạ i như sau:

Đ ư a sina. w, cosa. w và o trong tổ ng ta có:

Vậ y ta có:

Phư ơ ng trì nh nà y có dạ ng củ a mộ t chuỗ i Fourier. Nghiệ m củ a nó có dạ ng như sau:

Nhậ n xé t:

- Vớ i mộ t giá trị củ a N, chỉ có duy nhấ t mộ t giá trị a đ ể đ ả m bả o q(w)=-aw là tuyế n tí nh.

- Vớ i giá trị a nà y đ á p ứ ng xung h(n) = h(N-1-n) là đ ố i xứ ng.

- Nế u N lẻ thì a là mộ t số nguyê n và tâ m đ ố i xứ ng củ a h(n) là mẫ u thứ (N-1)/2. Ta có bộ lọ c FIR loạ i 1.

- Nế u N chẵ n thì a là mộ t số khô ng nguyê n và tâ m đ ố i xứ ng củ a h(n) nằ m giữ a mẫ u thứ (N-1)/2 và N/2. Ta có bộ lọ c FIR loạ i 2.

Đ ặ c đ iể m quan trọ ng củ a bộ lọ c số FIR loạ i 1 và 2 là tí nh đ ố i xứ ng củ a đ á p ứ ng xung h(n) có rấ t nhiề u ứ ng dụ ng quan trọ ng ta sẽ xé t sau.

Ví dụ: N=6, 7

b. Trư ờ ng hợ p b ¹ 0.

Chứ ng minh tư ơ ng tự như trư ờ ng hợ p a ta có:

và nghiệ m duy nhấ t củ a nó như sau:

Nhậ n xé t:

- Vớ i mộ t giá trị củ a N, chỉ có duy nhấ t mộ t giá trị a đ ể đ ả m bả o q(w)=b - aw là tuyế n tí nh.

- Vớ i giá trị a nà y đ á p ứ ng xung h(n) = -h(N-1-n) là phả n đ ố i xứ ng.

- Nế u N lẻ thì a là mộ t số nguyê n và tâ m phả n đ ố i xứ ng củ a h(n) là mẫ u thứ (N-1)/2. Ta có bộ lọ c FIR loạ i 3.

- Nế u N chẵ n thì a là mộ t số khô ng nguyê n và tâ m phả n đ ố i xứ ng củ a h(n) nằ m giữ a mẫ u thứ (N-1)/2 và N/2. Ta có bộ lọ c FIR loạ i 4.

Đ ặ c đ iể m quan trọ ng củ a bộ lọ c số FIR loạ i 3 và 4 là tí nh phả n đ ố i xứ ng củ a đ á p ứ ng xung h(n) có rấ t nhiề u ứ ng dụ ng quan trọ ng ta sẽ xé t sau.

Ví dụ: N=6, 7.

3. Tổ ng hợ p bộ lọ c FIR có pha tuyế n tí nh sử dụ ng phư ơ ng phá p cử a sổ.

Việ c nghiê n cứ u cá c phư ơ ng phá p tổ ng hợ p bộ lọ c FIR ở phầ n nà y chú ng ta chỉ dừ ng lạ i ở việ c tí nh toá n cá c hệ số củ a h(n). Cá c hệ số củ a h(n) đ ư ợ c tí nh toá n sao cho toả mã n cá c chỉ tiê u kĩ thuậ t đ ã cho. Bộ lọ c FIR có ư u đ iể m hơ n bộ lọ c IIR là nó luô n ổ n đ ị nh, chú ng ta sẽ xé t cá c bộ lọ c FIR có pha tuyế n tí nh (Đ á p ứ ng xung h(n) đ ố i xứ ng hoặ c phả n đ ố i xứ ng). Cá c hệ thố ng thự c hiệ n đ ư ợ c về mặ t vậ t lý là cá c hệ thố ng nhâ n quả, ổ n đ ị nh.

Có 3 phư ơ ng phá p chí nh đ ể tổ ng hợ p bộ lọ c số FIR là:

- Phư ơ ng phá p cử a sổ.

- Phư ơ ng phá p lấ y mẫ u tầ n số.

- Phư ơ ng phá p lặ p.

Trong chư ơ ng trì nh chú ng ta chỉ tì m hiể u phư ơ ng phá p thứ nhấ t.

a. Nhậ n xé t.

Ta đ ã biế t đ á p ứ ng tầ n số củ a bộ lọ c FIR nhâ n quả bậ c N là:

;

+ Gọ i h(n) là đ á p ứ ng xung củ a bộ lọ c số lí tư ở ng, vì vậ y h(n) có chiề u dà i vô hạ n nê n khô ng thể thự c hiệ n đ ư ợ c. L[h(n) ] = [-¥; +¥ ]

+ h(n) khô ng nhâ n quả, vì thế khô ng thể thự c hiệ n đ ư ợ c.

+ Đ ể cho đ á p ứ ng xung củ a bộ lọ c số lí tư ở ng trở thà nh đ á p ứ ng xung củ a bộ lọ c FIR thì ta phả i là m cho h(n) nhâ n quả và hạ n chế chiề u dà i củ a nó.

+ Đ ể hạ n chế chiề u dà i củ a h(n) ta sẽ sử dụ ng hà m cử a sổ, hay đ ư ợ c gọ i là cử a sổ là cử a sổ nhâ n quả có chiề u dà i là N.

b. Cá c bư ớ c chí nh. Phư ơ ng phá p cử a sổ đ ự oc thự c hiệ n cho bộ lọ c số loạ i 1.

- Bư ớ c 1: Chọ n 4 chỉ tiê u kĩ thuậ t củ a bộ lọ c số thự c tế: w_p, w_s, d₁, d₂. Đ ể tì m w_c, trong chư ơ ng trì nh cho w_c.

- Bư ớ c 2: Chọ n dạ ng cử a sổ và chiề u dà i cử a sổ N, trong miề n N cử a sổ có tâ m đ ố i xứ ng tạ i , có pha tuyế n tí nh là .

- Bư ớ c 3: Chọ n loạ i bộ lọ c số lí tư ở ng có đ á p ứ ng xung là h(n), h(n) có tâ m đ ố i xứ ng tạ i , có pha tuyế n tí nh là . ( Thay ).

- Bư ớ c 4: Nhâ n cử a sổ vớ i h(n) thu đ ư ợ c đ á p ứ ng xung thự c tế củ a bộ lọ c FIR loạ i 1.

h_d(n)= . h(n)

L[ ] = N

L[h(n) ] =¥

L[h_d(n) ]= N

- Bư ớ c 5: Sau khi có h_d(n) thử lạ i trong miề n tầ n số xem đ ã đ ạ t chỉ tiê u kĩ thuậ t chư a, nế u chư a đ ạ t là m lạ i vớ i N lớ n hơ n. ( Bư ớ c nà y ta bỏ qua)

c. Mộ t số cử a sổ đ iể n hì nh.

c₁. Cử a sổ chữ nhậ t.

Trong miề n n cử a sổ chữ nhậ t đ ư ợ c đ ị nh nghĩ a như sau: