4.2. NGHIỆM CỦA PTSP-TT-HSH

Phư ơ ng trì nh sai phâ n tuyế n tí nh hệ số hằ ng là mộ t dạ ng quan hệ và o ra mô tả hệ thố ng LTI. Trong phầ n nà y, ta sẽ tì m biể u thứ c tư ờ ng minh củ a đ á p ứ ng y(n) bằ ng phư ơ ng phá p trự c tiế p. Cò n mộ t phư ơ ng phá p khá c đ ể tì m nghiệ m củ a phư ơ ng trì nh nà y là dự a trê n biế n đ ổ i z sẽ đ ư ợ c trì nh bà y trong chư ơ ng sau, ta gọ i là phư ơ ng phá p giá n tiế p.

Tư ơ ng tự như phư ơ ng trì nh vi tí ch phâ n tuyế n tí nh hệ số hằ ng củ a hệ thố ng liê n tụ c theo thờ i gian. Trư ớ c tiê n, ta tì m nghiệ m củ a phư ơ ng trì nh sai phâ n thuầ nnhấ t(homogeneous diference equation), đ ó là pt (1. 55) vớ i vế phả i bằ ng 0 . Đ â y chí nh là đ á p ứ ng củ a hệ thố ng vớ i tí n hiệ u và o x(n) = 0. Sau đ ó, ta tì m mộ t nghiệ m riê ng (particular solution) củ a pt(1. 55) vớ i x(n)(0. Cuố i cù ng, nghiệ m tổ ng quá t (total solution) củ a LCCDE (1. 55) là tổ ng nghiệ m củ a phư ơ ng trì nh sai phâ n thuầ n nhấ t vớ i nghiệ m riê ng củ a nó. Thủ tụ c tì m nghiệ m như sau:

a. / Bư ớ c 1 Tì m nghiệ m củ a phư ơ ng trì nh sai phâ n thuầ n nhấ t (Đ á p ứ ng củ a hệ thố ng khi tí n hiệ u và o bằ ng 0)

Phư ơ ng trì nh sai phâ n thuầ n nhấ t có dạ ng:

(Bằ ng cá ch chia 2 vế cho a₀ đ ể có dạ ng (1. 58) vớ i a₀ = 1)

Ta đ ã biế t rằ ng, nghiệ m củ a phư ơ ng trì nh vi phâ n thư ờ ng có dạ ng hà m mũ, vì vậ y, ta giả sử nghiệ m củ a phư ơ ng trì nh sai phâ n thuầ n nhấ t có dạ ng:

y₀(n) = aⁿ (1. 59)

Chỉ số y₀(n) đ ư ợ c dù ng đ ể chỉ rằ ng đ ó là nghiệ m củ a phư ơ ng trì nh thuầ n nhấ t.

Thay và o pt(1. 58) ta thu đ ư ợ c mộ t phư ơ ng trì nh đ a thứ c:

hay: a^{n –N}(a^N + a₁a^N-1+ a₂a^N-2+ … + a_N-1a + a_N) = 0 (1. 60)

Đ a thứ c trong dấ u ngoặ c đ ơ n đ ư ợ c gọ i là đ a thứ c đ ặ c trư ng (characteristic polynomial) củ a hệ thố ng.

Nó i chung, đ a thứ c nà y có N nghiệ m, ký hiệ u là a₁, a₂, …, a_N, có giá trị thự c hoặ c phứ c. Nế u cá c hệ số a₁, a₂, …, a_N có giá trị thự c, thư ờ ng gặ p trong thự c tế, cá c nghiệ m phứ c nế u có sẽ là cá c cặ p liê n hợ p phứ c. Trong N nghiệ m cũ ng có thể có mộ t số nghiệ m ké p (mutiple-order roots).

a. 1/ Trư ờ ng hợ p, tấ t cả cá c nghiệ m là phâ n biệ t, khô ng có nghiệ m ké p, thì nghiệ m tổ ng quá t củ a phư ơ ng trì nh sai phâ n thuầ n nhấ t là :

y₀(n) = A₁a ⁿ₁ + A₂a ⁿ₂ + …+ A_Na ⁿ_N= (1. 61)

Ở đ â y, A₁, A₂, …, A_N là cá c hằ ng số tuỳ đ ị nh. Cá c hằ ng số nà y đ ư ợ c xá c đ ị nh dự a và o cá c đ iề u kiệ n đ ầ u củ a hệ thố ng.

a. 2/ Trư ờ ng hợ p có nghiệ m bộ i, giả sử đ a thứ c đ ặ c trư ng có nghiệ m bộ i bậ c m tạ i a₂ thì ta có:

     y₀(n) = A₁a ⁿ₁ + (A₂₀+ A₂₁n + A₂₂n² + … +A_2(m-1)n^m-1)a ⁿ₂ + …+ A_Na ⁿ_N

Ví dụ : Xá c đ ị nh đ á p ứ ng vớ i tí n hiệ u và o x(n) = 0 củ a mộ t hệ thố ng đ ư ợ c mô tả bở i pt bậ c 2 như sau:

                   y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = 0                                           (1. 62)

Giả i:

     Ta biế t nghiệ m củ a pt(1. 62) có dạ ng: y₀n) = aⁿ, thay và o pt(1. 62), ta thu đ ư ợ c:

aⁿ - 3a^n-1- 4a^n-2 = 0       hay a^{n -2} (a² - 3a - 4) = 0

và phư ơ ng trì nh đ ặ c tí nh là:                   (a² - 3a - 4) = 0

     Ta có 2 nghiệ m a₁ = -1 và a₂ = 4, nghiệ m củ a phư ơ ng trì nh thuầ n nhấ t có dạ ng tổ ng quá t là:

                   y₀(n) = A₁aⁿ₁ + A₂aⁿ₂ = A₁(-1)ⁿ + A₂(4)ⁿ                    (1. 63)

     Đ á p củ a hệ thố ng vớ i tí n hiệ u và o bằ ng 0 có thể thu đ ư ợ c bằ ng cá ch tí nh giá trị cá c hằ ng số C₁ và C₂ dự a và o cá c đ iề u kiệ n đ ầ u. Cá c đ iề u kiệ n đ ầ u đ ư ợ c cho thư ờ ng là giá trị củ a đ á p ứ ng ở cá c thờ i đ iể m n=-1; n = -2;...; n = -N. Ở đ â y, ta có N=2, và cá c đ iề u kiệ n đ ầ u đ ư ợ c cho là y(- 1) và y(-2). Từ pt(1. 62) ta thu đ ư ợ c:

                   y(0) = 3y(-1) + 4y(-2)

                   y(1) = 3y(0) - 4y(-1) = 13y(-1) + 12y(-2)

Mặ t khá c, từ pt(1. 63) ta có:

                   y(0) = A₁ + A₂

                   y(1) = - A₁ + 4 A₂

Suy ra:                    A₁ + A₂ = 3y(-1) + 4y(-2)

                   - A₁ + 4 A₂ = 13y(-1) + 12y(-2)

Giả i hệ 2 phư ơ ng trì nh trê n ta đ ư ợ c:

                   A₁ = (-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)

                   A₂ = (16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)

Vậ y đ á p ứ ng củ a hệ thố ng khi tí n hiệ u và o bằ ng 0 là:

     y₀(n) = [(-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)](-1)ⁿ + [(16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)](4)ⁿ     (1. 64)

Giả sử, y(-2)=0 và y(-1)=5, thì A₁=-1 và A₂ =16. Ta đ ư ợ c:

                   y₀(n) = (-1)ⁿ⁺¹ + (4)ⁿ⁺²   , vớ i n ³ 0

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 141516 17 18 19 Следующая ⇒