5.3. Thực hiện hệ FIR và IIR

5. 3. Thự c hiệ n hệ FIR và IIR

Hệ FIR:

Đ ố i vớ i hệ thố ng FIR khô ng đ ệ qui, vớ i phư ơ ng trì nh sai phâ n biể u diễ n hệ thố ng là:

Ta có sơ đ ồ như sau:

Trong thự c tế, đ ố i vớ i cá c mạ ch đ ệ qui, í t khi ngư ờ i ta thự c hiệ n cả mộ t sơ đ ồ có bậ c N > 2, vì khi đ ó mạ ch dễ mấ t tí nh ổ n đ ị nh do sai số. Mặ t khá c, thiế t kế cá c khâ u bậ c 2 có phầ n thuậ n lợ i hơ n. Vì vậ y, ngư ờ i ta chia hệ thố ng ra thà nh nhiề u mạ ch con có bậ c lớ n nhấ t là 2 mắ c liê n tiế p hoặ c song song vớ i nhau.

Hệ IIR

Pt củ a hệ IIR đ ư ợ c viế t lạ i dư ớ i dạ ng cô ng thứ c truy hồ i:

Sơ đ ồ khố i hì nh 2. 11 biể u diễ n bằ ng hì nh ả nh củ a pt(2. 91)

Chư ơ ng II

BIỂ U DIỄ N TÍ N HIỆ U

VÀ HỆ THỐ NG RỜ I RẠ C TRONG MIỀ N Z

Mờ đ ầ u

Chư ơ ng 1 đ ã trì nh bà y cá ch tí nh đ á p ứ ng củ a mộ t hệ thố ng trự c tiế p từ đ á p ứ ng xung củ a nó, bằ ng cá ch tí nh tổ ng chậ p củ a kí ch thí ch vớ i đ á p ứ ng xung. Cá ch tí nh tổ ng chậ p trự c tiế p dự a và o cô ng thứ c đ ị nh nghĩ a như đ ã là m tố n rấ t nhiề u thờ i gian và cô ng sứ c. Hơ n nữ a, trong thự c tế số mẫ u khá c khô ng củ a kí ch thí ch và đ á p ứ ng xung là rấ t nhiề u nê n ta khô ng thể ‘tí nh bằ ng tay’. Tuy nhiê n, phư ơ ng phá p tí nh tổ ng chậ p bằ ng đ ồ thị như đ ã trì nh bà y cho ta mộ t thuậ t toá n củ a chư ơ ng trì nh tí nh tổ ng chậ p bằ ng má y tí nh. Việ c giả i phư ơ ng trì nh sai phâ n tuyế n tí nh hệ số hằ ng bằ ng phư ơ ng phá p đ ệ qui cũ ng chỉ có ý nghĩ a khi sử dụ ng má y tí nh.

Kỹ thuậ t biế n đ ổ i là mộ t cô ng cụ hữ u hiệ u đ ể phâ n tí ch hệ thố ng LTI. Biế n đ ổ i Z đ ố i vớ i tí n hiệ u rờ i rạ c có vai trò tư ơ ng tự như biế n đ ổ i Laplace đ ố i vớ i tí n hiệ u liê n tụ c, và chú ng có quan hệ giố ng nhau vớ i biế n đ ổ i Fourier. Tổ ng chậ p củ a hai dã y trong miề n thờ i gian sẽ biế n thà nh tí ch củ a hai biế n đ ổ i Z tư ơ ng ứ ng trong miề n biế n phứ c z. Tí nh chấ t nà y sẽ là m đ ơ n giả n hó a việ c tí nh đ á p ứ ng củ a hệ thố ng vớ i cá c tí n hiệ u và o khá c nhau. Phư ơ ng trì nh sai phâ n tuyế n tí nh hệ số hằ ng cũ ng đ ư ợ c giả i mộ t cá ch dễ dà ng hơ n khi dù ng cô ng cụ biế n đ ổ i Z.

Như ta sẽ thấ y trong cá c chư ơ ng sau, biế n đ ổ i Fourier giữ a vai trò chì a khó a trong trong việ c biể u diễ n và phâ n tí ch cá c hệ thố ng rờ i rạ c. Tuy nhiê n, trong mộ t số trư ờ ng hợ p cầ n phả i sử dụ ng dạ ng tổ ng quá t hó a củ a biế n đ ổ i Fourier, đ ó là biế n đ ổ i Z.

1. Biế n đ ổ i z

Biế n đ ổ i Z trự c tiế p

Đ ị nh nghĩ a: Biế n đ ổ i Z củ a tí n hiệ u rờ i rạ c x(n) đ ư ợ c đ ị nh nghĩ a như sau:

(2. 1)

Trong đ ó z là biế n phứ c và đ ư ợ c biể u diễ n như sau:

X(z) = ZT[x(n)]

Do chuỗ i biế n đ ổ i là vô hạ n nê n chỉ tồ n tạ i mộ t số giá trị củ a Z đ ể X(z) hộ i tụ. Tậ p hợ p cá c giá trị củ a z đ ể X(z) hộ i tụ gọ i là miề n hộ i tụ củ a X(z) kí hiệ u là ROC[ X(z) ]

VD1: Xá c đ ị nh biế n đ ổ i z củ a tí n hiệ u rờ i rạ c sau:

a/ x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1 }

b/ x(n) = δ (n)

c/ x(n) = δ (n - k), k> 0

d/ x(n) = δ (n + k), k> 0

Như vậ y vớ i tí n hiệ u hữ ư hạ n thì ROC là toà n bộ mặ t phẳ ng z và có thể trừ cá c giá trị z = 0 và z = ∞

VD2: Xá c đ ị nh biế n đ ổ i z củ a cá c tí n hiệ u rờ i rạ c sau:

Suy ra

Á p dụ ng cô ng thứ c 3. 1 ta có:

X(z) hộ i tụ khi khi đ ó ta có:

Vậ y ROC [X(z)]:

· Mặ t phẳ ng z

Do z là biế n phứ c nê n: z = Re[z] + j Im[z], mặ t phẳ ng z đ ư ợ c tạ o bở i trụ c tung Im[z] và trụ c hoà nh Re[z]

Chú ý: z là biế n phứ c nê n ta có thể biể u diễ n như sau:

z = re^jθ

, Nế u r =1 thì có nghĩ a là phé p biế n đ ổ i z lấ y trê n vò ng trò n đ ơ n vị sẽ trở thà nh biế n đ ổ i Fourier trê n miề n tầ n số.

· Á p dụ ng tiê u chuẩ n Cauchy đ ể xá c đ ị nh miề n hộ i tụ củ a biế n đ ổ i z.

- Tiê u chuẩ n Cauchy: Mộ t chuỗ i có dạ ng hộ i tụ nế u đ iề u kiệ n sau thoả mã n:

- Á p dụ ng vớ i biế n đ ổ i z ta có:

Đ ặ t X(z) = X₁(z) + X₂(z)

Trong đ ó: X₁(z) =

X₂(z) =

Á p dụ ng tiê u chuẩ n Cauchy cho X₁(z) ta có:

đ ặ t R_x^-= vậ y:

Vớ i thì X₁(z) hộ i tụ. Tứ c là miề n hộ i tụ củ a X₁(z) nằ m ngoà vò ng trò n bá n kí nh R^-_x tâ m gố c toạ đ ộ trê n mặ t phẳ ng z. Đ ậ y cũ ng là miề n hộ i tụ củ a dã y nhâ n quả có chiề u dà i vô hạ n.

Á p dụ ng tiê u chuẩ n Cauchy vớ i X₂(z). tư ơ ng tự như vớ i X₁(z) ta cũ ng có miề n hộ i tụ củ a X₂(z) là: trong đ ó : R_x⁺= , nghĩ a là miề n hộ i tụ củ a X₂(z) là miề n nằ m trong đ ư ờ ng trò n bá n kí nh R⁺_x tâ m gố c toạ đ oọ trê n mặ t phẳ ng z, đ â y cũ ng là miề n hộ i tụ củ a dã y phả n nhâ n quả có chiề u dà i vô hạ n.

Kế t luậ n vậ y miề n hộ i tụ củ a X(z) là: X₁(z)∩ X₂(z).

VD 3: Xá c đ ị nh biế n đ ổ i z củ a tí n hiệ u x(n) = aⁿu(n)

nế u

Vậ y , ROC [X(z)]: (3)

VD4: Xá c đ ị nh biế n đ ổ i z củ a tí n hiệ u x(n) = - aⁿu(-n-1)

Vớ i

Vậ y , ROC [X(z)]: (4)

Từ (3) và (4) ta thấ y: Hai tí n hiệ u khá c nhau có cù ng biế n đ ổ i z như ng ROC khá c nhau. Do đ ó, tí n hiệ u rờ i rạ c x(n) xá c đ ị nh duy nhấ t bằ ng biế n đ ổ i z và ROC củ a nó.

Cá c tí nh châ t củ a biế n đ ổ i z.

a. Tí nh chấ t tuyế n tí nh

Nế u:

X₁(z) = ZT[x₁(n)], ROC[X₁(z)]

X₂(z) = ZT[x₂(n)], ROC[X₂(z)]

x₃(n) = ax₁(n) + bx₂(n) trong đ ó a, b là cá c hằ ng số thì:

ZT[x₃(n)] = X₃(z) = a. X₁(z) + b. X₂(z),

ROC[X₃(z)] = ROC[X₁(z)] ∩ ROC[X₂(z)]

Ví dụ : x₁(n) = 2ⁿu(n), x₂(n) = 3ⁿu(n)

b. Tí nh chấ t dị ch thờ i gian

Nế u:

X(z) = ZT[x(n)], ROC[X(z)]

thì ZT [x(n-k)] = z^-kX(z)

Miề n hộ i tụ:

+ Nế u k > 0 thì ROC: là ROC[X(z)]/0

+ Nế u k< 0 thì ROC là ROC[X(z)]/∞

c. Đ ị nh lí giá trị đ ầ u

Biế n đ ỏ i z củ a dã y nhâ n quả x(n) đ ư ợ c đ ị nh nghĩ a như sau:

Khi z→ ∞ thì lim X(z) → x(0)

Ví dụ: Hã y cá c đ ị nh giá trị đ ầ u củ a dã y sau:

, ROC:

x(0) =

d. Tí ch chậ p trê n miề n z.

Nế u:

X₁(z) = ZT[x₁(n)], ROC[X₁(z)]

X₂(z) = ZT[x₂(n)], ROC[X₂(z)]

x₃(n) = x₁(n) * x₂(n) thì:

ZT[x₃(n)] = X₃(z) = X₁(z). X₂(z),

ROC[X₃(z)] = ROC[X₁(z)] ∩ ROC[X₂(z)], Miề n hộ i tụ củ a X₃(z) có thể rộ ng hơ n miề n hộ i tụ củ a X₁(z) và X₂(z).

Ví dụ : x₁(n) = 2ⁿu(n), x₂(n) = 3ⁿu(n)

e. Nhâ n vớ i hà m mũ

Giả sử có dã y x(n) có ZT[x(n)] =X(z), ROC: thì dã y:

y(n) = aⁿx(n) có ZT[y(n)] = Y(z) =

ROC:

Ví dụ: cho dã y x(n) = 2ⁿu(n) xá c đ ị nh X(z), ROC.

Trư ớ c tiê n ta tì m biế n đ ổ i z củ a dã y u(n):

vớ i ROC: hay

Vậ y vớ i ROC:

Biế n đ ổ i z hữ u tỷ.

Giả sử X(z) là hà m hữ u tỷ:

a. Cá c khá i niệ m cự c và khô ng.

+ Đ iể m cự c củ a X(z) là cá c giá trị z tạ i đ ó X(z) = ∞, kí hiệ u là z_ck, khi đ ó D(z_ck) = 0

+ Đ iể m khô ng củ a X(z) là cá c đ iể m tạ i đ ó X(z) = 0, kí hiệ u là z_or, khi đ ó N(z_or) = 0

b. Biể u diễ n X(z) dư ớ i dạ ng cự c và khô ng

Giả sử N(z) là đ a thứ c bậ c M củ a z khi đ ó:

N(z) = b_M(z- z_o1) (z- z_o2) (z- z_o3).... (z- z_oM)=

Giả sử D(z) là đ a thứ c bậ c N củ a z khi đ ó:

D(z) = a_N(z- z_c1) (z- z_c2) (z- z_c3).... (z- z_cN)=

Khi đ ó X(z) đ ư ợ c viế t lạ i như sau:

hay ta có thể viế t dư ớ i dả ng hà m củ a z^-1 như sau:

Vớ i c = b_M/a_N X(z) có M đ iể m khô ng và N đ iể m cự c. Đ ể biể u diễ n trê n đ ồ thị cá c đ iể m cự c đ ư ợ c đ á nh dấ u bằ ng (x) và cá c đ iể m khô ng đ ư ợ c đ á nh dấ u bằ ng (o)

Ví dụ: Xá c đ ị nh biế n đ ổ i z củ a tí n hiệ u đ ư ợ c cho bở i giả n đ ồ cự c và khô ng như sau:

Vẽ hì nh

2. Biế n đ ổ i z ngư ợ c

Đ ị nh lí Cauchy

Đ ị nh lí Cauchy là mộ t đ ị nh lí quan trọ ng trong lí thuyế t biế n số phứ c, nó là cơ sở đ ể chú ng ta xâ y dự ng cô ng thứ c củ a biế n đ ổ i z ngư ợ c.

Đ ị nh lí Cauchy đ ư ợ c phá t biể u như sau:

Trong đ ó C là mộ t đ ư ờ ng cong kí n bấ t kì.

2. 2 Biế n đ ổ i z ngư ợ c

Từ biể u thứ c ta có:

lấ y tí ch phâ n trê n miề n hộ i tụ ROC củ a nó ta có :

Á p dụ ng đ ị nh lí Cauchy ta có:

vớ i k = n

Hay

vậ y: hoặ c ta có thể viế t:

(2. 2)

Biể u thứ c (2. 2) đ ư ợ c gọ i là biể u thứ c củ a biế n đ ổ i Z ngư ợ c ( IZT – Invert Z Transform ).

Từ biể u thứ c (2. 2) trong thự c tế có nhiề u phư ơ ng phá p tì m biế n đ ổ i z ngư ợ c thuậ n tiệ n hơ n thự c hiệ n biể u thứ c (2. 2).

2. 3 Cá c phư ơ ng phá p tì m biế n đ ổ i z ngư ợ c

a. / Phư ơ ng phá p thặ ng dư ( Giá o trì nh )

Nộ i dung củ a phư ơ ng phá p là dù ng lí thuyế t thặ ng dư đ ể thự c hiệ n biể u thứ c (2. 2).

b. / Phư ơ ng phá p khai triể n thà nh chuỗ i luỹ thừ a.

Do X(z) là hà m củ a mộ t chuỗ i luỹ thừ a vì vậ y trê n miề n hộ i tụ củ a nó ta có thể khai triể n X(z) dư ớ i dạ ng:

mà theo đ ị nh nghĩ a củ a biế n đ ổ i z ta có:

Do vậ y x(n) = a_n vớ i -∞ < n < ∞

Có nghĩ a là cá c hệ số củ a z^-n chí nh là cá c giá trị củ a x(n).

VD1: Hã y xá c đ ị nh x(n) biế t: X(z) = z +2 + 2. z^-1 + 3. z^-2 – 4. z^-4

Từ đ ị nh nghĩ a củ a biế n đ ổ i z ta có: x(n) ={1, 2, 2, 3, 0, -4} hay ta có thể viế t:

x(n) = δ (n+1) + 2δ (n) + 2δ (n-1) +3δ (n-2) - 4δ (n-4)

VD2: Cho hã y xá c đ ị nh x(n) vớ i:

a. ROC[X(z)] là:

b. ROC[X(z)] là:

a. Đ â y là tí n hiệ u nhâ n quả có chiề u dai vô hạ n vậ y ta có:

ta thự c hiệ n phé p chia tử số cho mẫ u số ta sẽ có:

X(z) = suy ra: x(n) = (-2)ⁿu(n)

b. Đ â y là tí n hiệ u phả n nhâ n quả có chiề u dà i vô hạ n. Ta có: tư ơ ng tự như trê n ta

cuố i cù ng ta có:

X(z) = vậ y x(n) = -(-2)ⁿu(-n-1)

Nhậ n xé t: Từ ví dụ trê n ta có nế u X(z) có dạ ng: thì ta có biế n đ ổ i z ngư ợ c IZT[X(z)]= x(n) =

c. / Biế n đ ổ i z ngư ợ c vớ i X(z) là hà m hữ u tỷ.

Giả sử X(z) là hà m hữ u tỷ vớ i a₀= 1

Nế u M ≥ N thì ta có thể biể u diễ n X(z) như sau:

đ a thứ c dễ dà ng xá c đ ị nh đ ư ợ c biế n đ ổ i z ngư ợ c củ a nó nhờ tí nh chấ t dị ch trễ thờ i gian.

Cò n đ a thứ c N₁(z)/D(z) là đ a thú c có bậ c củ a D(z) lớ n hơ n bậ c củ a N₁(z).

Bâ y giờ ta xé t trư ờ ng hợ p M< N.

, M< N và a_N ≠ 0 ta sẽ khai triể n đ a thứ c nà y thà nh cá c phâ n thứ c tố i giả n.

- Nế u X(z) chỉ có cá c cự c đ ơ n thì ta có:

trong đ ó z_ck là cá c cự c củ a X(z), A_kđ ư ợ c xá c đ ị nh như sau:

- Nế u X(z) có 1 cự c bộ i, giả sử cự c bộ i bậ c s là z_ci cá c cự c cò n lạ i lkà cá c cự c đ ơ n thì ta có:

trong đ ó :

;

- Nế u X(z) có nhiề u hơ n mộ t cự c bộ i thì ta là m tư ơ ng như trê n.

Sau khi khai triể n xong X(z) ta sẽ tì m IZT[X(z)] củ a cá c phâ n thứ c tố i giả n bở i cá c cô ng thứ c sau:

(dã y nhâ n quả )

Tổ ng quá t ta có: vớ i dã y nhâ n quả.

vớ i dã y

phả n nhâ n quả.

Ví dụ 1: Cho

Hã y xá c đ ị nh x(n)

Ví dụ 2: Cho

Hã y xá c đ iị nh x(n)

3 Phâ n tí ch hệ thố ng rờ i rạ c trê n miề n z

Chú ng ta đ ã biế t trê n miề n n mộ t HT-TT-BB đ ư ợ c đ ặ c trư ng bở i đ á p ứ ng xung hoặ c phư ơ ng trì nh sai phâ n tuyế n tí nh hệ số hằ ng. Như ng việ c phâ n tí ch hệ thố ng nhiề u khi gặ p phả i sự khó khă n củ a việ c tí nh tí ch chậ p, gả i PT-SP.... Trong phầ n trư ớ c chú ng ta đ ã biể u diễ n tí n hiệ u sang miề n biế n số z, bâ y giờ ta sẽ phâ n tí ch hệ TT-BB trê n miề n z, trư ớ c tiê n ta tì m hiể u khá i niệ m hà m truyề n đ ạ t củ a hệ thố ng.

3. 3 Hà m truyề n đ ạ t củ a hệ thố ng TT-BB

Miề n n	Miề n z
y(n) = x(n)*h(n) = h(n) = IZT[H(z)]	X(z) = ZT[x(n)], Y(z) = ZT[y(n)] H(z) = ZT[h(n)]

Như vậ y hà m truyề n đ ạ t củ a hệ thố ng TT-BB chí nh là biế n đ ổ i z cuả đ á p ứ ng xung củ a nó. Hà m truyề n đ ạ t đ ư ợ c kí hiệ u là H(z) vaà nó cũ ng đ ặ c trư ng hoà n toà n cho hệ thố ng trê n miề n z.

3. 4 Hà m truyề n đ ạ t củ a hệ đ ư ợ c mô tả bở i PT – SP – TT –HSH

Quan hệ giữ a đ ầ u và o và đ ầ u ra củ a mộ t HT – TT – BB đ ư ợ c mô tả bở i PT sau:

; lấ y biế n đ ổ i Z 2 vế ta có:

Á p dụ ng tí nh chấ t trễ và tuyế n tí nh ta có:

Suy ra:

Nế u a₀ = 1 thì ta có:

Chú ý: Ta cũ ng có thể biể u diễ n H(z) dư ớ i dạ ng hà m củ a z^-1, hoặ c cá c cự c và khô ng củ a nó.

3. 5 Giả i phư ơ ng trì nh sai phâ n TT – HSH sử dụ ng biế n đ ổ i z

Đ ể giả i PT – SP – TT – HSH ta tì m hiể u khá i niệ m biế n đ ổ i z đ ơ n hư ớ ng.

a. Biế n đ ổ i z đ ơ n hư ớ ng

Biế n đ ổ i z đ ơ n hư ớ ng đ ư ợ c đ ị nh nghĩ a như sau:

Cá c tí nh chấ t củ a biế n đ ổ i z đ ơ n hư ớ ng cũ ng giố ng như tí nh chấ t củ a biế n đ ổ i z trừ tí ch chấ t dị ch thờ i gian như sau:

Nế u ZT⁺ [x(n) ] = X⁺(z) thì

ZT⁺ [x(n-k)] = z^-kvớ i k > 0

ZT⁺ [x(n+k)] = z^kvớ i k < 0

b. Giả i phư ơ ng trì nh sai phâ n:

Ví dụ: Giả i cá c phư ơ ng trì nh sau:

1) y(n) – 3y(n-1) +2y(n-2) = x(n) vớ i x(n) = 3ⁿ⁺², y(-2) = -4/9, y(-1) =-1/3

2) y(n) = ay(n-1) + x(n) vớ i x(n) = u(n), y(-1) = 1

3. 6 Phâ n tí ch hệ thố ng TT – BB trê n miề n z.

Cá c phầ n tử thự c hiệ n hệ thố ng trê n miề n z cũ ng giố ng như trê n miề n n, chỉ khá c kí hiệ u củ a phầ n tử trễ ta thay D = Z^-1

a. Nguyê n tắ c phâ n tí ch hệ thố ng

- Phâ n tí ch hệ tổ ng quá t thà nh cá c hệ nhỏ hơ n ( cá c khố i nhỏ hơ n )

- Tì m mố i quan hệ giữ a cá c khố i nhỏ hơ n nà y.

- Xá c đ ị nh hà m truyề n đ ạ t H_i(z) cua cá c khố i nhỏ.

- Tổ ng hợ p hà m truyề n đ ạ t từ cá ch phâ n tí ch ở trê n.

b. Mộ t số quy tắ c biế n đ ổ i sơ đ ồ khố i

- Hệ gồ m cá c khố i mắ c nố i tiế p

Vẽ hì nh

H(z) = H₁(z). H₂(z)... H_n(z)

Vậ y hệ gồ m cá c khố i mắ c nố i tiế p sẽ tư ơ ng đ ư ơ ng vớ i hệ thố ng có hà m truyề n đ ạ t là tí ch củ a cá c hà m truyề n đ ạ t thà nh phầ n.

- Hệ gồ m cá c khố i mắ c song song.

Vẽ hì nh

H(z) = H₁(z) + H₂(z) +... + H_n(z)

Vậ y hệ thố ng gồ m cá c khố i mắ c song song vớ i nhau sẽ tư ơ ng đ ư ơ ng vớ i hệ thố ng có hà m truyề n đ ạ t là tổ ng củ a cá c hà m truyề n đ ạ t thà nh phầ n.

- Hệ có hồ i tiế p

c. Sự ổ n đ ị nh củ a hệ thố ng TT – BB

Đ ố i vớ i mộ t hệ thố ng tuyế n tí nh bấ t biế n, nế u tí n hiệ u ở đ ầ u và o khô ng có như ng ở đ ầ u ra củ a hệ thố ng vẫ n xuấ t hiệ n tí n hiệ u thì hệ thố ng đ ó là hệ thố ng khô ng ổ n đ ị nh.

Trong chư ơ ng trư ớ c chú ng ta đ ã xé t đ ộ ổ n đ ị nh củ a hệ thố ng TT-BB nó đ ư ợ c đ ặ c trư ng bở i cá c tí nh chấ t củ a đ á p ứ ng xung h(n) củ a nó, cụ thể: Mộ t hệ thố ng TT –BB là ổ n đ ị nh nế u đ iề u kiệ n sau đ â y thoả mã n:

Trong miề n z thì ta có:

vớ i miề n hộ i tụ củ a nó:

So sá nh vớ i đ iề u kiệ n hộ i tụ trê n miề n n thì ta thấ y đ ể đ iề u kiệ n ổ n đ ị nh trê n miề n n thoả mã n thì H(z) phả i hộ i tụ vớ i nghĩ a là nó hộ i tụ trê n vò ng trò n đ ơ n vị củ a mặ t phẳ ng z, vì thế miề n hộ i tụ củ a H(z) phả i chứ a vò ng trò n đ ơ n vị.

Vậ y ta có thể phá t biể u đ iề u kiệ n ổ n đ ị nh củ a mộ t HT – TT –BB trê n miề n z như sau: Mộ t hệ thố ng TT –BB là ổ n đ ị nh khi và chiỉ khi vò ng trò n đ ơ n vị củ a mặ t phẳ ng z nằ m trong miề n hộ i tụ củ a hà m truyề n đ ạ t củ a hệ thố ng.

c2. Sự ổ n đ ị nh củ a hệ thố ng nhâ n quả

Trong thự c tế chú ng ta chỉ gặ p cá c hệ thố ng nhâ n quả ổ n đ ị nh, vì vậ y ta sẽ xé t sự ổ n đ ị nh củ a cá c hệ thố ng nà y.

Do hà m truyề n đ ạ t củ a hệ thố ng nhâ n quả đ ư ợ c viế t như sau:

trong đ ó (T/c Cauchy)

Từ đ â y ta có mộ t số nhậ n xé t sau:

- Mộ t hệ thố ng là nhâ n quả nế u miề n hộ i tụ củ a hà m truyề n đ ạ t nằ m ngoà i vò ng trò n đ ư ờ ng kí nh R^-_h

- Đ ố i vớ i HT –TT –BB đ iề u kiệ n nhâ n quả và ổ n đ ị nh là đ ọ c lậ p vớ i nhau. Nghĩ a là hệ thố ng ổ n đ ị nh chư a chắ c đ ã nhâ n quả và ngư ợ c lạ i.

- Trong thự c tế chú ng ta chỉ xé t cá c hệ thố ng thự c hiệ n đ ư ợ c về mặ t vậ t lý đ ó là cá c hệ thố ng ổ n đ ị nh và nhâ n quả.

- Vậ y đ iề u kiệ n đ ể HT –TT –BB nhâ n quả và ổ n đ ị nh là : Miề n hộ i tụ củ a hà m truyề n đ ạ t H(z) củ a nó phả i thoả mã n:

Rõ rà ng miề n hộ i tụ củ a H(z) khô ng chứ a bấ t cứ đ iể m cự c z_ck nà o do đ ó ta có thể nó i: Mộ t hệ thố ng TT –BB nhâ n quả và ổ n đ ị nh khi và chỉ khi tấ t cả cá c đ iể m cự c củ a hà m truyề n đ ạ t nằ m trong vò ng trò n đ ơ n vị.

Ví dụ 1:

HT – TT – BB đ ư ợ c cho như sau:

y(n) = a. y(n-1) + x(n)

- Tì m H(z), h(n)

- Xé t sự ổ n đ ị nh củ a hệ nhâ n quả

Giả i:

- Lấ y biế n đ ổ i z 2 vế củ a pt ta có:

Y(z) = a. z^-1Y(z) + X(z)

Suy ra