3.2 Các tính chất khác

3. 2 Cá c tí nh chấ t khá c

a. / Hệ thố ng LTI ổ n đ ị nh:

Đ ị nh lý: Mộ t hệ thố ng LTI có tí nh ổ n đ ị nh nế u và chỉ nế u:

vớ i h(n) là đ á p ứ ng xung củ a hệ thố ng.

Chứ ng minh:

Đ iề u kiệ n đ ủ: xé t mộ t tí n hiệ u và o hữ u hạ n, nghĩ a là:

Vậ y |y(n)| hữ u hạ n khi đ iề u kiệ n ở pt(1. 48) thỏ a mã n, hay pt(1. 48) là đ iề u kiệ n đ ủ đ ể hệ thố ng ổ n đ ị nh.

Đ iề u kiệ n cầ n : Đ ể chứ ng minh đ iề u kiệ n cầ n ta dù ng phư ơ ng phá p phả n chứ ng. Trư ớ c tiê n ta giả sử rằ ng hệ thố ng có tí nh ổ n đ ị nh, nế u ta tì m đ ư ợ c mộ t tí n hiệ u và o nà o đ ó thỏ a mã n đ iề u kiệ n hữ u hạ n và nế u tổ ng S phâ n kỳ (S ®¥ ) thì hệ thố ng sẽ khô ng ổ n đ ị nh, mâ u thuẩ n vớ i giả thiế t.

Thậ t vậ y, ta xé t mộ t dã y và o đ ư ợ c nghĩ a như sau:

ở đ â y, h*(n) là liê n hợ p phứ c củ a h(n), rõ rà ng |x(n)| bị giớ i hạ n bở i 1, tuy nhiê n, nế u s ®¥, ta xé t đ á p ứ ng tạ i n = 0:

Ta thấ y, kế t quả nà y mâ u thuẩ n vớ i giả thuyế t ban đ ầ u (hệ thố ng ổ n đ ị nh). Vậ y, s phả i hữ u hạ n.

b. / Hệ thố ng LTI nhâ n quả

Đ ị nh lý: Mộ t hệ thố ng LTI có tí nh nhâ n quả nế u và chỉ nế u đ á p ứ ng xung h(n) củ a nó thỏ a mã n đ iề u kiệ n:

h(n) = 0, vớ i mọ i n < 0 (1. 49)

Chứ ng minh:

Đ iề u kiệ n đ ủ: từ , kế t hợ p vớ i (1. 49) ta có

Từ pt(1. 50), ta thấ y giớ i hạ n trê n củ a tổ ng là n, nghĩ a là y(n) chỉ phụ thuộ c và o x(k) vớ i k < = n, nê n hệ thố ng có tí nh nhâ n quả.

Đ iề u kiệ n cầ n: Ta sẽ chứ ng minh bằ ng phư ơ ng phá p phả n chứ ng. Giả sử rằ ng, h(m) ≠ 0 vớ i m < 0. Từ pt(1. 42): , ta thấ y y(n) phụ thuộ c và o x(n-m) vớ i m < 0 hay n-m > n, suy ra hệ thố ng khô ng có tí nh nhâ n quả.

Vì vậ y, đ iề u kiệ n cầ n và đ ủ đ ể hệ thố ng có tí nh nhâ n quả phả i là: h(n)=0 khi n < 0.

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 121314 15 16 17 Следующая ⇒