5. HỆ THỐNG RỜI RẠC ĐỆ QUI (RECURSIVE) VÀ KHÔNG ĐỆ QUI (NONRECURSIVE)

5. HỆ THỐ NG RỜ I RẠ C Đ Ệ QUI (RECURSIVE) VÀ KHÔ NG Đ Ệ QUI (NONRECURSIVE)

5. 1. Hệ thố ng rờ i rạ c khô ng đ ệ qui (Hệ có đ á p ứ ng xung có chiề u dà i hữ u hạ n FIR)

Mộ t hệ thố ng mà đ á p ứ ng y(n) chỉ phụ thuộ c và o kí ch thí ch ở thờ i đ iể m hiệ n hà nh và ở cá c thờ i quá khứ là mộ t hệ thố ng khô ng đ ệ qui.

Ta thấ y mộ t hệ thố ng khô ng đ ệ qui đ ư ợ c biể u diễ n bở i mộ t PT-SP-TT-HSH có bậ c N = 0, đ ó là:

(Hệ số a₀ đ ã đ ư ợ c đ ư a và o cá c hệ số b_r, bằ ng cá ch chia 2 vế cho a₀ ).

Đ á p ứ ng xung củ a hệ thố ng là:

Ta thấ y đ â y là mộ t hệ thố ng LTI có đ á p ứ ng xung dà i hữ u hạ n (Finite duration Impulse Response system -FIR) và nhâ n quả.

Hệ thố ng FIR (Hệ thố ng vớ i đ á p ứ ng xung có chiề u dà i hữ u hạ n) là mộ t hệ thố ng mà đ á p ứ ng xung củ a nó tồ n tạ i mộ t số hữ u hạ n cá c mẫ u khá c 0.

Ta thấ y, hệ thố ng FIR luô n luô n ổ n đ ị nh nế u tấ t cả cá c mẫ u trong đ á p ứ ng xung củ a nó có đ ộ lớ n hữ u hạ n.

Ví dụ: Tì m đ á p kứ ng xung củ a hệ đ ư ợ c mô tả bở i pt sau:

y(n) = x(n) + 4x(n-1) + 5x(n-2) – x(n-3)

từ pt ta thấ y: b₀= 1, b₁=4, b₂=5, b₃=-1

Suy ra h(n)=δ (n) + 4δ (n-1) + 5δ (n-2) –δ (n-3) và hệ thố ng nà y luô n ổ n đ ị nh.

5. 2. Hệ thố ng rờ i rạ c đ ệ qui (Hệ có đ á p ứ ng xung có chiề u dà i vô hạ n IIR)

Đ ị nh nghĩ a: Hệ thố ng đ ư ợ c biể u diễ n bở i phư ơ ng trì nh SP-TT-HSH bậ c N> 0 đ ư ợ c gọ i là hệ đ ệ qui. Đ á p ứ ng củ a hệ thố ng phụ thuộ c và o kí ch thí ch ở thờ i đ iể m hiệ n tạ i và quá khứ và cả đ á p ứ ng ở thờ i đ ỉ ê m quá khứ.

hay

Nhậ n xé t:

- Do a_k, b_r là cá c hệ số do đ ó hệ thố ng đ ệ qui phụ thuộ c và o cả a_k, lẫ n b_r.

- Vớ i x(n)= δ (n) thì y(n) = h(n) Là đ á p ứ ng xung củ a hệ đ ệ qui. Ta thấ y rằ ng h(n) củ a hệ đ ệ qui có chiề u dà i vô hạ n. Vậ y hệ thố ng đ ệ qui là hệ thố ng có đ á p ứ ng xung có chiề u dà i vô hạ n (Infinite duration Impulse Response system IIR)

Ví dụ: Tì m đ á p ứ ng xung và xé t sự ổ n đ ị nh củ a hệ thố ng sau:

y(n) - ay(n-1) = x(n) ; y(n)=0 vớ i n< 0.

vớ i tí n hiệ u và o là x(n) =δ (n), vớ i a là hằ ng số

Ta tí nh h(n) vớ i n ≥ 0, bắ t đ ầ u vớ i n = 0:

h(0) = a. h(-1) + δ (0) = 1

h(1) = a. h(0) + δ (1) = a

h(2) = a. h(1) + δ (2) = a²

h(3) = a. h(2) + δ (3) = a³

: :

Từ cá c kế t quả trê n ta có thể tổ ng quá t hó a thà nh cô ng thứ c tí nh h(n)

h(n) = aⁿu(n)

Xé t sự ổ n đ ị nh củ a hệ:

- Nế u [a]< 1 thì S hộ i tụ: S= 1/(1-[a]) hệ ổ n đ ị nh.

- Nế u [a]> 1 S phâ n kì hệ nà y khô ng ổ n đ ị nh

Chú ý: - Vớ i hệ FIR thì ta có thể tì m ngay đ á p ứ ng xung dự a và o cá c hệ số b_r, cò n đ ố i vớ i hệ IIR ta khô ng là m đ ư ợ c như vậ y.

- Vớ i hệ IIR nhâ n quả ta có thể tì m đ á p ứ ng xung bằ ng cá ch đ ệ qui như ví dụ trê n hoặ c tì m nghiệ m tổ ng quá t củ a PT-SP-TT-HSH củ a nó.

Ta biế t y(n) = y₀(n) + y_p(n) vớ i y_p(n) đ ư ợ c xá c đ ị nh từ đ iề u kiệ n đ ầ u và o đ ã cho

Khi x(n)= δ (n) nghĩ a là kí ch thí ch chỉ là mộ t xung tạ i n=0 cò n vớ i n> 0 thì x(n)=0 do vậ y y_p(n) = 0 vớ i n> 0 vậ y:

Khi x(n)= δ (n) th ì y(n)=y₀(n) = h(n):

Vì vậ y ta có: h(n)=y₀(n) = trong đ ó α _k là cá c nghiệ m đ ơ n củ a phư ơ ng trì nh

Cò n cá c hệ số A_k đ ư ợ c xá c đ ị nh từ cá c đ iề u kiệ n đ ầ u.

Sự ổ n đ ị nh củ a hệ IIR nhâ n qủ a:

Suy ra do là hằ ng số nê n nế u thì và S< ∞ . Vậ y vớ i vớ i mọ i k thì hệ IIR sẽ ổ n đ ị nh.

Từ đ â y ta có thể phá t biể u đ iề u kiệ n ổ n đ ị nh củ a hệ IIR như sau: Đ iề u kiệ n cầ n và đ ủ cho hệ thố ng IIR nhâ n quả đ ư ợ c bể u diễ n bở i pt sai phâ n TT-HSH ổ n đ ị nh là giá trị tuyệ t đ ố i củ a tấ t cả cá c nghiệ m củ a phư ơ ng trì nh đ ặ c trư ng α _kphả i nhỏ h ơ n mộ t.

Ví dụ: Tì m h(n) và xé t sự ổ n đ ị nh củ a hệ thố ng đ ư ợ c cho bowir pt sau:

y(n) – 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) + 2x(n-1)

vớ i đ iề u kiệ n đ ầ u: y(n) = 0 vớ i n< 0.

Giả i:

Ta có phư ơ ng trì nh đ ặ c trư ng:

Vậ y ta có y₀(n)= A₁. 1ⁿ + A₂. 2ⁿ = h(n)

Sử dụ ng đ iề u kiệ n đ ầ u y(n)=0, n< 0 và x(n)= δ (n) ta có:

n = 0 thì : y(0) = 1

n = 1 th ì y(1) = 5

Mặ t khá c ta có y(0) = A₁ + A₂ =1

y(1) = A₁ + 2A₂= 5

Giả i ra ta đ ư ợ c: A₁=-3; A₂= 4

Vậ y ta có h(n) = -3 + 4. 2ⁿ = 2ⁿ⁺² – 3 vớ i n ≥ 0 hay ta có thể viế t:

h(n) = (2ⁿ⁺² – 3)u(n)

⇐ Предыдущая 11 12 13 14 15 161718 19 20 Следующая ⇒