№31. Функция правдоподобия. Неравенство Рао-Крамера. Критерий эффективности Рао-Крамера.

№31. Функция правдоподобия. Неравенство Рао-Крамера. Критерий эффективности Рао-Крамера.

Функция правдоподобия.

, где – реализация выборки, – функция правдоподобия. Функция правдоподобия тем больше, чем значение ближе к истинному. показывает, насколько вероятно данное значение при конкретной реализации выборки.

Неравенство Рао-Крамера.

– количество информации по Фишеру о параметре , заключённой в выборке объёма .

– неравенство Рао-Крамера.

Критерий эффективности Рао-Крамера.

(1) – для самой оценки;

(2) – для значения оценки.

– константа, не зависящая от выборки.

Критерий: если выполнены условия (1) и (2), то оценка является эффективной, кроме того .

№32. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценки максимального правдоподобия. Пример.

Составим уравнение (уравнение правдоподобия): (лучше считать) или . Решим уравнение относительно , получим некоторое выражение, зависящее от . Это выражение и принимаем за оценку.

Свойства оценок максимального правдоподобия:

1. Если для скалярного параметра существует эффективная оценка, то уравнение правдоподобия имеет единственное решение, которое является выборочным значением этой оценки.

2. Если существует достаточная статистика параметра , то решения уравнения правдоподобия являются функциями от выборочного значения этой статистики. Если, кроме того, существует эффективная по Рао-Крамеру оценка , то единственное решение уравнения правдоподобия является функцией от выборочного значения достаточной статистики.

3. Если параметрическая модель удовлетворяет некоторым общим условиям, то уравнение правдоподобия имеет решение , которое является выборочным значением состоятельной оценки параметра .