№14. Основные законы распределения: нормальный, равномерный, биномиальный, показательный, Пуассона.

№14. Основные законы распределения: нормальный, равномерный, биномиальный, показательный, Пуассона.

1. Нормальный закон (для НСВ).

Случайная величина распределена по нормальному (или гауссову) закону, или имеет нормальное (гауссово) распределение, если её плотность . Нормальное распределение зависит от двух параметров: и среднего квадратического отклонения , .

2. Равномерный закон (для НСВ).

Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если её плотность распределения . В данном случае .

3. Биномиальный закон (для ДСВ).

Дискретная случайная величина распределена по биномиальному закону, если она принимает значения в соответствии с распределением, заданным формулой . Здесь .

4. Показательный закон (для НСВ).

Случайная величина распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если она имеет плотность распределения , где – параметр экспоненциального распределения; .

5. Закон Пуассона (для ДСВ).

ДСВ распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями ; .

№15. Векторный случайные величины, совместная плотность, многомерная вероятность, многомерный ряд распределения.

–многомерная случайная величина (упорядоченная совокупность случайных величин). Пример – абсцисса и ордината при случайном попадании (двумерная случайная величина).

– функция распределения (совместная, функция распределения), – многомерная вероятность.

Рассмотрим свойства двумерной функции распределения:

1. ;

2. – неубывающая функция по каждому из аргументов и ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. – непрерывная слева в любой точке по каждому из аргументов и функция;

7. .

Совместная плотность распределения.

Непрерывной двумерной случайной величиной называют такую двумерную случайную величину , совместную функцию распределения которой можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла: . Функцию называют совместной двумерной плотностью распределения случайных величин и , или плотностью распределения случайного вектора . Представление в виде повторного интеграла: .

Свойства двумерной плотности распределения:

1. ;

2. ;

3. – условие нормировки;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Многомерный ряд распределения.

Двумерную случайную величину называют дискретной, если каждая из случайных величин и является дискретной.

Для простоты ограничимся конечным множеством возможных значений, когда случайная величина может принимать только значения , – значения , а координаты двумерного случайного вектора – пары значений . Такое перечисление удобно представлять в виде таблицы. В этой таблице в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины , а в левом столбце – значения случайной величины . На пересечении столбца « » со строкой « » находится вероятность . В этой таблице обычно добавляют ещё одну строку « » и столбец « ». На пересечении столбца со строкой « » записывают число . Но представляет собой не что иное, как вероятность того, что случайная величина примет значение , т. е. . Таким образом, первый и последний столбцы таблицы дают нам ряд распределения случайной величины . Аналогично, в последней строке « » помещены значения , а первая и последняя строки дают ряд распределения случайной величины . Для контроля правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать элементы последней строки и последнего столбца. Если хотя бы одна из этих сумм не будет равна единице, то при составлении таблицы была допущена ошибка.

Используя данную таблицу, нетрудно определить совместную функцию распределения . Ясно, что для этого необходимо просуммировать по всем тем и , для которых , т. е. .

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒