№8. Схема независимых испытаний Бернулли. Теорема Пуассона. Предельная теорема Муавра-Лапласа.
Схема независимых испытаний Бернулли.
Рассматривается независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с вероятностью и не произойти с вероятностью ( ).
Теорема: Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно успехов, определяется формулой Бернулли .
Доказательство: Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН…У, состоящей из букв «У» и «Н», причём буква «У» на месте означает, что в испытании произошёл успех, а «Н» – неудача. Пространство элементарных исходов состоит из исходов, каждый из которых отождествляется с определённой последовательностью УНН…У.
Каждому элементарному исходу можно поставить в соответствие вероятность .
В силу независимости испытаний события У, Н, Н, …, У являются независимыми в совокупности, и потому по теореме умножения вероятностей имеем , если в испытаниях успех «У» имел место раз, а неуспех «Н», следовательно, раз.
Событие происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход , в котором . Вероятность любого такого элементарного исхода равна .
Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить букв «У» на местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют. Число таких способов равно .
Так как есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем для вероятности формулу Бернулли. Теорема доказана.
Из формулы Бернулли вытекают два следствия.
1. Вероятность появления успеха (события ) в испытаниях не более и не менее раз равна .
2. В частном случае при и из предыдущей формулы получаем формулу для вычисления вероятности хотя бы одного успеха в испытаниях: .
Теорема Пуассона.
Теорема: , где .
Доказательство: 
. Теорема доказана.
Предельная теорема Муавра-Лапласа.
Теорема: .
|