№8. Схема независимых испытаний Бернулли. Теорема Пуассона. Предельная теорема Муавра-Лапласа.

Схема независимых испытаний Бернулли.

Рассматривается независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с вероятностью и не произойти с вероятностью ( ).

Теорема: Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно успехов, определяется формулой Бернулли .

Доказательство: Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН…У, состоящей из букв «У» и «Н», причём буква «У» на месте означает, что в испытании произошёл успех, а «Н» – неудача. Пространство элементарных исходов состоит из исходов, каждый из которых отождествляется с определённой последовательностью УНН…У.

Каждому элементарному исходу можно поставить в соответствие вероятность .

В силу независимости испытаний события У, Н, Н, …, У являются независимыми в совокупности, и потому по теореме умножения вероятностей имеем , если в испытаниях успех «У» имел место раз, а неуспех «Н», следовательно, раз.

Событие происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход , в котором . Вероятность любого такого элементарного исхода равна .

Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить букв «У» на местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют. Число таких способов равно .

Так как есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем для вероятности формулу Бернулли. Теорема доказана.