№12. Математическое ожидание случайной величины и функции случайной величины. Свойства.

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 20Следующая ⇒

№12. Математическое ожидание случайной величины и функции случайной величины. Свойства.

Математическое ожидание случайной величины.

– математическое ожидание (среднее значение случайной величины).

Свойства математического ожидания:

1. , где ;

2. ;

3. ;

4. , если и независимы.

Функции случайной величины.

Пусть на вероятностном пространстве , где – , задана случайная величина . Рассмотрим действительную функцию действительного аргумента (область определения которой включает в себя множество возможных значений случайной величины ).

Случайную величину , которая каждому элементарному исходу ставит в соответствие число , называют функцией от скалярной случайной величины .

№13. Дисперсия и её свойства. Моменты случайной величины.

Дисперсия и её свойства.

– центрированная случайная величина (отклонение от ), .

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения от .

Свойства дисперсии:

1. ;

2. , где ;

3. ;

4. ;

Доказательство: , ч. т. д.

6. – ковариация ( , , когда независимы).

– среднее квадратичное (квадратическое отклонение) случайной величины .

– нормированная случайная величина.

– стандартная случайная величина .

Моменты случайной величины.

Моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание величины : .

Если , то момент называется начальным. Легко видеть, что начальный момент первого порядка есть математическое ожидание величины .

Если , то момент называется центральным. Легко видеть, что центральный момент первого порядка равен нулю, а центральный момент второго порядка есть не что иное, как дисперсия.

Начальные моменты будем обозначать буквой , а центральные – буквой , указывая в обоих случаях нижним индексом порядок момента.

– коэффициент асимметрии.

– коэффициент эксцесса.

Мода для дискретного распределения – точка с максимальной вероятностью, а для непрерывного – точка максимума распределения (плотность в ней достигает максимального значения): .

– квантиль распределения порядка .

– медиана распределения.

Для НСВ квантиль определяется однозначно. Для ДСВ понятие квантили не рассматривается. Вероятность попадания величины слева и справа от медианы одинакова: .

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒