№4. Теорема сложения. Следствия.
№4. Теорема сложения. Следствия.
Теорема: . Для событий: .
Доказательство: пусть всего исходов.

Теорема доказана.
Следствие 1: если и несовместны, то .
Следствие 2: 
Доказательство: 
№5. Условная вероятность и её свойства. Теорема умножения вероятностей.
Говорят, что событие зависит от события , если его вероятность меняется, когда происходит событие .
Условная вероятность – это вероятность события , подсчитанная при условии, что произошло. ( – от при условии )
Если события и независимы, то .
Теорема:
Для событий: .
Доказательство: пусть всего исходов. благоприятствуют исходов, благоприятствуют исходов, – исходов. Пусть произошло, осталось исходов, из них благоприятствуют .

. Теорема доказана.
Следствие 1: если не зависит от , то .
Следствие 2: если зависит от , то зависит от .
№6. Независимость событий и независимость испытаний.
События и называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий
.
Свойство независимости событий взаимно, то есть если зависит от , то зависит от .
События и , имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда .
События называются независимыми в совокупности, если для любого события из их числа и произвольных из их же числа события взаимно независимы. В силу теоремы умножения, это определение эквивалентно следующему: при любых и . Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости.
Рассмотрим опыт, состоящий в проведении двух испытаний. Эти испытания называются независимыми, если любые два события и , из которых определяется по исходу первого испытания, а – по исходу второго, являются независимыми.
|