№2. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.

№2. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.

Пусть – некоторое множество (множество элементарных исходов). Элементы будем обозначать , подмножества , – случайные события.

Рассмотрим – алгебра множеств, порождённая подмножествами , если:

1. ;

2. ;

3. .

– . Если условие 3 выполняется для произвольного количества множеств, то – измеримое пространство.

Аксиома 1(аксиома неотрицательности): Каждому элементу ставится в соответствие неотрицательное вещественное число – вероятность.

Аксиома 2 (аксиома нормированности): .

Аксиома 3(аксиома сложения): .

Аксиома 4(расширенная аксиома сложения): .

Аксиома 5 (аксиома непрерывности): .

Следствие 1: .

Доказательство: , .

Следствие 2: .

Доказательство: .

Следствие 3 (теорема сложения): .

Доказательство: Следствие 4 (неравенство треугольника): .

Следствие 5: .

Доказательство: .

Следствие 6: .

Доказательство: .

№3. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности как частный случай аксиоматического.

Классическое определение вероятности.

Пусть всего элементарных исходов, – число исходов, благоприятствующих событию . Тогда – вероятность.

1. – число сочетаний. Если опыт состоит в выборе элементов из без упорядочения и без возвращения, то общее число элементарных исходов в опыте будет равно количеству различных комбинаций, отличных друг от друга, по крайней мере, одним составом элементов.

2. – число размещений без повторений. Если опыт состоит в выборе элементов из без возвращения, но с упорядочением элементов по мере их поступления, то количество элементарных исходов равно числу комбинаций, отличных друг от друга либо порядком следования элементов, либо их составом (но один и тот же элемент встречается в группе не более одного раза).

3. – число размещений с повторениями. Если опыт состоит в выборе элементов из с возвращением и упорядочением элементов по мере их поступления, то общее число исходов опыта равно количеству комбинаций, отличающихся друг от друга составом элементов, либо порядком их следования (при этом один и тот же элемент может повторяться несколько раз).