Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Варіант 13. Варіант 14. Варіант 15. Варіант 16. ЗРАЗОК РОЗВ’ЯЗАННЯ ВАРІАНТА ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 13


І

  

ІІ
 
0,1 0,1 0,8   0,3 0,7

 

Скласти закон розподіл для суми числа балів, вибитих обома стрільцями, і двома способами обчислити математичне сподіванняі дисперсію для цього закону.

10. Якої ширини має бути інтервал, щоб можна було гарантувати попадання в нього значення випадкової величини з імовірністю 0,8? Випадкова величина має нормальний розподіл з центром, що співпадає з серединою шуканого інтервалу і з середнім квадратичним відхилення, рівним 0,05.

11. Кількість сонячних днів на рік для даної місцевості є випадковою величиною з математичним сподіванням, що дорівнює 75 дням. Закон розподілу кількості сонячних днів невідомий. Оцінити ймовірність того, що протягом року в цій місцевості буде не більш як 200 сонячних днів.

12. Знайти коефіцієнт кореляції випадкових величини Х і Y, якщо відомий двомірний розподіл цих величин:

 

 

х y
–1 0,2 0,05 — — —
0,05 0,2 0,2 0,05 —
— — 0,05 0,1 —
— — — — 0,1

 

Варіант 13

 

1. В групі 12 студентів, серед яких 8 відмінників. Випадково відібрані 9 студентів. Знайти імовірність того, що серед відібраних студентів виявиться 5 відмінників.

2. Робляться 3 постріли по мішені. Чи утворюють повну групу подій такі події: відбулося хоча б одне влучення; був хоча б один промах; було не більше двох влучень.

3. Місто постачають електроенергією три електростанції. І-ша електростанція дає 35 % всієї електроенергії, ІІ-га — 28 %, ІІІ — 37 %. Імовірності поламки електростанцій протягом року відповідно дорівнюють 0,01; 0,02; 0,03. Для сумісної роботи підприємств міста потрібно 70 % всієї електроенергії. Знайти імовірність того, що протягом року всі підприємства міста отримають необхідну кількість електроенергії.

4. Верстат обробляє 3 види деталей, причому весь його час розподіляється між ними у співвідношенні 1:3:6. При обробці деталі І виду він працює з максимальною для нього напругою протягом 60 % часу, при обробці деталі ІІ виду — 30 % і ІІІ — 50 %. У випадково обраний момент часу верстат працював з максимальним навантаженням. Знайти імовірність того, що в цей час верстат опрацьовував деталь ІІІ виду.

5. На кожні 100 виробів заводу А припадає 20 нестандартних. Фабрика отримала партію з 7 виробів заводу А. Яка імовірність того, що серед них не більше двох стандартних?

6. Скільки родзинок мають містити в середньому сдобні булочки, щоб імовірність мати хоча б одну родзинку в булочці дорівнювала 0,99.

7. Закон розподіл дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

х –2 –1
р 0,2 0,1 0,15 0,4 0,15

Знайти функцію розподілу випадкової величини Х і побудувати її графік. Знайти середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

8. Випадкову величину Х задано такою інтегральною функцією розподіл

Потрібно: а) знайти диференційну функцію розподіл  б) побудувати графіки функцій  і  в) знайти математичне сподіванняі дисперсію випадкової величини х.

9. Випадкова величина х може набувати значень 1, 2, і 3. Математичне сподівання випадкової величини Х дорівнює 2, 3, а математичне сподівання квадрата випадкової величини Х дорівнює 5, 6. Знайти закон розподілу Х.

10. Автомат штампує деталі, ширина яких дорівнює а см. Відхилення ширини деталі від а підкоряється закону нормального розподіл. 55 % деталей відхиляється за шириною від а не більше, ніж на 0,15 см (в обидва боки). Який процент деталей буде за шириною відхилятися від а не більше, ніж на 0,3 см (в обидва боки)?

11. При хронометражі 100 виробничих операцій встановлено, що 70 з них відбувалися не більше 3 хвилин. Визначити з імовірністю 0,99, в яких межах знаходиться доля виробничих операцію з тривалістю, що не перевищує 3 хвилин.

12. Знати коефіцієнт кореляції випадкових величин х і у, якщо відомо двовимірне розподіл цих величин.

 

Х Y
0,2 0,1 —
0,1 0,3 0,05
— 0,05 0,1
— — 0,1

 

Варіант 14

 

1. Автобус має зробити 5 зупинок. Знайти імовірність того, що жодні 2 пасажири з 4, що їдуть у автобусі, не вийдуть на одній і тій самій зупинці.

2. Підкидаються дві гральні кості. Чи будуть сумісними наступні події: на другій кості випаде в два рази більше балів, ніж на першій; на обох костях випаде непарна кількість балів?

3. Три стрільці зробили по одному пострілу по цілі. Дві кулі влучили в ціль. Знайти імовірність того, що перший стрілець влучив у ціль, якщо імовірність влучення в ціль І-м, ІІ-м, ІІІ-м стрільцями відповідно дорівнюють 0,6; 0,4; 0,5.

4. Для участі у студентській олімпіаді з першої групи курсу виділені 4 людини, з другої — 6, з третьої — 5. Імовірність того, що студент з першої групи потрапить у збірну команду інституту, дорівнює 0,4; з другої — 0,5; з третьої — 0,8. До якої групи імовірніше всього належить І студент, що потрапив у збірну команду?

5. Перфораторщиця набила для ЕОМ 8 перфокарт. Імовірність того, що одна перфокарта набита невірно, дорівнює 0,1. Знайти імовірність того, що хоча б 7 перфокарт були набиті правильно.

6. Автоматична телефонна станція отримує в середньому за годину 300 викликів. Яка імовірність того, що за дану хвилину вона отримає рівно 2 виклики?

7. Закону розподіл дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

 

х –2 –1
р 0,5 0,3 0,05 0,05 0,08 0,02

 

Знайти функцію розподіл випадкової величини х і побудувати її графік. Знайти середнє квадратичне відхилення випадкової величини х.

8. Випадкову величину Х задано такою диференціальною функцією розподілу:

Потрібно: а) знайти коефіцієнт а; б) знайти інтегральну функцію розподіл  в) побудувати графіки функцій  і  г) знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини х.

9. На верстаті виготовляється 90 % деталей без дефектів. Скласти закон розподіл числа дефектних деталей, виявлених в результаті перевірки 3-х довільних деталей. Знайти математичне сподіванняі дисперсію випадкової величини.

10. Завод виробляє кульки для підшипників. Бракуються кульки, діаметр яких відрізняється від стандарту на 0,1 мм. Знайти дисперсію нормального розподіл діаметрів кульок, якщо бракуються 4,6 % виробів.

11. Оцінити імовірність того, що абсолютна величина відхилення середнього зросту 1000 довільних чоловіків від математичного сподіваннявипадкової величини, що виражає зріст довільного чоловіка, не перевищить 0,5 см, передбачаючи, що середнє квадратичне відхилення кожної випадкової величини дорівнює 2,5 см.

12. Знайти коефіцієнт кореляції випадкових величин х і у, якщо задано двомірний розподіл цих величин:

 

х y
–2 0,3 0,05 —
— 0,2 —
— 0,1 —
— 0,1 —
— 0,05 0,2

 

Варіант 15

 

1. В автобусному парку є 5 машин маршруту № 10 і 8 машин маршруту № 17. З початку робочого дня машини виходять на лінію у довільному порядку. Яка імовірність того, що серед перших 4 машин вийде рівно 3 автобуса маршруту № 10.

2. Підкидаються дві монети. Розглянемо 3 події: на першій монеті випадає герб; на другій монеті випадає герб; на обох монетах з’явилося одне і те саме. Чи будуть події попарно незалежні? Чи будуть незалежними три події?

3. 20 дітей були вивезені за місто. 5 з них обгоріли на сонці, 8 були покусані комарами і 10 осіб не постраждали. Яка імовірність того, що обгорілий хлопчик не був покусаний комарами?

4. У піраміді встановлені 5 гвинтівок, з яких 3 обладнані оптичним прицілом. Імовірність того, що стрілець вразить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця імовірність дорівнює 0,7. Знайти імовірність того, що мішень буде вражена, якщо стрілець виконає один постріл з випадково взятої гвинтівки.

5. У родині 5 дітей. Вважаючи однаковими імовірності народження хлопчика і дівчинки, знайти імовірність того, що у родині у два рази більше дівчаток, ніж хлопчиків.

6. Електростанція обслуговує мережу з 10 000 ламп, імовірність включення кожної з яких у зимовий вечір дорівнює 0,7. Обчислити імовірність того, що число одночасно включених ламп буде більше 8000.

7. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

 

Х –4 –3 –2 –1
р 0,15 0,2 0,04 0,02 0,59

 

Знайти функцію розподіл випадкової величини х і побудувати її графік. Знайти середнє квадратичне відхилення випадкової величини х.

8. Випадкову величину Х задано такою інтегральною функцією розподілу:

Потрібно: а) знайти диференційну функцію розподіл  б) побудувати графіки функцій  і  в) знайти математичне сподіванняі дисперсію величини х.

9. Здійснюються послідовні незалежні випробування 5 приладів на надійність. Кожен наступний прилад випробовується лише в тому випадку, коли попередній виявився надійним. Знайти закон розподілу випадкової кількості випробовуваних приладів, якщо імовірність витримати випробовування для кожного з них дорівнює 0,9. Знайти математичне сподіванняі дисперсію випадкової величини.

10. Заряд мисливської рушниці пороху зважується на вагах з середнім квадратичним відхилення маси 150 мг. Математичне сподівання маси порохового заряду дорівнює 2,3 г. Яка ймовірність того, що зважування дасть результати у межах від 2,24 г до 2,33 г, якщо маса порохового заряду підпорядковується закону нормального розподілу?

11. Температура у кімнаті має середнє значення 19°. Як випадкова величина температура має середнє квадратичне відхилення, що дорівнює 0,5°. Яких значення може набувати температура кімнати з імовірністю, що не менша 0,9?

12. Знайти коефіцієнт кореляції випадкових величин Х і Y, якщо задано двовимірний розподіл цих величин:

 

Х Y
–3 0,4 0,05 0,05
–2 0,1 0,3 0,1

 

Варіант 16

 

1. На стоянці автомобілів можна помістити 12 машин в один ряд. Яка імовірність того, що 3 місця, що виявилися вільними, розташовані одне за одним поруч?

2. За яких умов сума двох подій дорівнює їх добутку?

3. Імовірність безвідмовної роботи блоку, що входить у систему, протягом заданого часу дорівнює 0,8. Для підвищення надійності встановлюють такий самий резервний блок. Потрібно знайти, якою стане імовірність безвідмовної роботи системи з врахуванням резервного блоку.

4. У лікарню потрапляють в середньому 50 % хворих із захворюванням А, 30 % — із захворюванням В, 20 % — із захворюванням С. Імовірність повного одужання при захворюванні А дорівнює 0,7; захворюванні В — 0,6; захворюванні С — 0,9. Хворий, що потрапив до лікарні, був виписаний здоровим. Знайти імовірність того, що хворий не хворів захворюванням А.

5. Імовірність прийому радіосигналу при кожному передаванні дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що при чотирикратному передаванні сигнал буде прийнято не менш як 3 рази.

6. 10 000 кульок довільного розподіляються у 9 ящиків. Яка імовірність того, що до 1 ящика потрапить не менше 1100 і не більше 1200 кульок?

7. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею

 

Х –5 –4 –3 –2 –1
р 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3

 

Знайти функцію розподіл випадкової величини х і побудувати її графік. Знайти середнє квадратичне відхилення випадкової величини х.

8. Випадкову величину Х задано такою диференціальною функцією розподілу

Потрібно: а) знайти коефіцієнт а; б) знайти інтегральну функцію розподіл  в) побудувати графік функцій  і  г) знайти математичне сподіванняі дисперсію випадкової величини х.

9. Пристрій складається з 4 механізмів, що працюють незалежно. Імовірності відмови приладів 0,3; 0,2; 0,2; 0,1. Знайти закон розподіл числа механізмів, що відмовили. Знайти математичне сподіванняі дисперсію випадкової величини.

10.Випадкова величина розподілена нормально. Математичне сподіванняі середнє квадратичне відхилення цієї величини відповідно дорівнюють 6 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина набуде значення, що належить інтервалу .

11. Для визначення проростання було висаджено 500 насінин. Проросли 460. Визначити з імовірністю 0,95, в яких межах перебуває пророщуваність насіння. (Використовувати закон великих чисел).

12. Знайти коефіцієнт кореляції випадкових величин х і у, якщо задане двомірне розподіл цих величин:

 

х y
–2 0,2 0,1 — —
–1 0,05 0,2 — —
— 0,05 0,2 0,2

 

ЗРАЗОК РОЗВ’ЯЗАННЯ ВАРІАНТА ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ

 

Задача 1. Дві групи з 8 здають екзамен з вищої математики в один день. Яка імовірність того, що при складанні розкладу в цей день помістили групи, номери яких різняться більше, ніж на 5.

Розв’язання. Скористаємося класичним означенням імовірності. Число всіх рівноможливих елементарних результатів дорівнює числу способів, якими можна вибрати 2 групи з 8, тобто  Сприятливі результати утворюють пари груп з номерами  і  тобто

Таким чином,

Відповідь.

Задача 2. У родині 4 дітей. Чи будуть сумісними такі події: у родині не менше двох хлопчиків; у родині не менше двох дівчаток.

Розв’язання. Подія А, полягає у тому, що у родині є не менше двох хлопчиків, можна подати у вигляді суми елементарних результатів  подія В, полягає у тому, що у родині є не менше двох дівчаток, можна подати у вигляді суми елементарних результатів

 полягає у тому, що у родині 4 хлопчика,

 полягає в тому, що у родині 3 хлопчика і 1 дівчинка,

 полягає в тому, що у родині 2 хлопчика і 2 дівчинки,

 полягає в тому, що у родині 1 хлопчик і 3 дівчинки;

 полягає у тому, що у родині 4 дівчинки.

 тому А і В можуть відбуватися разом, якщо у родині 2 хлопчика і 2 дівчинки, тобто А і В — сумісні події.

Відповідь. Події не є несумісними.

Задача 3. 3 стрільці зробили по одному пострілу по мішені. Імовірність влучення в мішень при одному пострілі для 1-го стрільця дорівнює 0,6; для 2-го — 0,8; для 3-го — 0,9. У мішені здалека виявили одно пробоїну. Яка ймовірність того, що детальному розгляді у мішені знайдуть рівно 2 пробоїни.

Розв’язання. Нехай

подія  — влучення в мішень І стрільця,  — промах І стрільця;

подія  — влучення в мішень ІІ стрільця,  — промах ІІ стрільця;

подія  — влучення в мішень ІІІ стрільця,  — промах ІІІ стрільця.

Подія  — наявність хоча б однієї пробоїни у мішені;

подія  — наявність рівно двох пробоїн у мішені.

Простір елементарних кінців складається з 8 подій:

 за теоремами складання і множення.

за визначенням умовної імовірності.

Відповідь.

Задача 4. Імовірності того, що під час роботи ЕОМ виникне збій в арифметичному пристрої, в оперативній пам’яті, у інших пристроях, співвідносять 3:2:5. Імовірності виявлення збою в арифметичному пристрої, в оперативній пам’яті та в інших пристроях відповідно дорівнюють 0,8; 0,9; 0,9. Знайти імовірність того, що збій, що виник у машині, буде виявлений.

Розв’язання. Нехай подія

 — збій в арифметичному пристрої ЕОМ;

 — збій в оперативній пам’яті ЕОМ;

 — збій у інших пристроях ЕОМ.

За умовою задачі  Подія  — виявлення збою у ЕОМ.

За умовою задачі

За формулою повної імовірності

Відповідь.

Задача 5. При кожному вимірі імовірність отримання додатньої помилки дорівнює  а від’ємної —  Проведено 4 виміри. Знайти імовірність отримання двох додатніх помилок.

Розв’язання. Застосовуємо формулу Бернуллі  при  Таким чином,

Відповідь.

Задача 6. Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,515. Яка імовірність, що серед 1000 новонароджених не менше 480 і не більше і не більше 540 хлопчиків?

Розв’язок. Застосуємо інтегральну теорему Лапласа

де

при

Тоді

Використовуючи таблицю значень функції Лапласа, отримуємо

Відповідь.

Задача 7. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

 

Х –1
р 0,05 0,1 0,55 0,1 0,05 0,15

 

Знайти функцію розподіл випадкової величини х і побудувати її графік. Знайти середнє квадратичне відхилення випадкової величини х.

Розв’язання. Значення функції розподіл випадкової величини Х знаходимо, послідовно додаючи ймовірності, що стоять у другому рядку таблиці. Наприклад,  при  при  при  і т. д. У результаті дістанемо

і графік  на рис. 1

Рис. 1

Відповідь.

Задача 8. Випадкову величину Х задано такою диференціальною функцією розподілу:

Потрібно: а) знайти коефіцієнт а; б) знайти інтегральну функцію розподіл  в) побудувати графіки функцій  і  г) знайти математичне сподіванняі дисперсію випадкової величини Х.

Розв’язання.

а) Знаходимо а з умови  Отримуємо

б)

 при

 при

 при

 при

Таким чином,

в) Див. рис. 2 і рис. 3

Рис. 2 Рис. 3

 

г)

Відповідь.

Задача 9.Відбуваються три випробування, в кожному з яких подія А з’являється з імовірністю 0,4. Знайти закон розподілу кількості появ події А і математичне сподівання випадкової величини.

Розв’язання. За умовою задачі задано біномінальний розподіл. Закон цього розподілу записується на основі формули Бернуллі і має вигляд:

 

х
р (0,6)3 3 × (0,6)2 × 0,4 3 × 0,6 × (0,4)2 (0,4)3

 

або

 

х
р 0,216 0,432 0,288 0,064

 

Математичне сподіваннявипадкової величини можна обчислити за загальною формулою

або за формулою для математичного сподіваннябіномінального розподіл

Відповідь.

Задача 10. Знайти імовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуде значення з інтервалу , якщо ця величина набуде значення більше 14 з імовірністю 0,1, а значення менше 7 з імовірністю 0,05.

Розв’язок. Імовірність того, що випадкова величина, що має нормальне розподіл, набуде значення з інтервалу , обчислимо за формулою

де  і  — математичне сподіванняі середнє квадратичне сподівання випадкової величини  — функція Лапласа. За умовою

Звідси випливає, що

Розв’язуючи систему двох рівнянь з двома невідомими, маємо

Шукану ймовірність знаходимо за початковою формулою

на основі таблиці значень функції

Відповідь.

Задача 11. Для визначення середньої тривалості горіння електролампочок в партії з 100 однакових ящиків було взято по одній електролампочці з кожного ящику. Оцінити імовірність того, що відхилення середньої тривалості горіння лампочки в усій партії не перевищить 8 год. якщо середнє квадратичне відхилення тривалості горіння електролампочки з кожного ящика не перевищує 10 год.

Розв’язок. Через нерівність Чебишева

де  — число, що обмежує дисперсії випадкових величин  …,

Вважаючи, що для кожного ящика середня тривалість горіння лампочки постійна, тобто  запишемо при

Відповідь.

Задача 12. Знайти коефіцієнт кореляції випадкових величин Х і Y, якщо задано двовимірний розподіл цих величин:

 

Х Y
–3 0,3 — —
–2 0,05 0,1 0,05
–1 — — 0,2
—   0,3

 

Розв’язок. Складемо закони розподіл випадкових величини Х і Y:

 

Х   Y –3 –2 –1
р 0,35 0,1 0,55   р 0,3 0,2 0,2 0,3

 

Знайдемо характеристики випадкових величин х і у.

Знайдемо математичне сподіваннядобутку випадкових величин Х і Y

Обчислимо коефіцієнт кореляції

Відповідь.

 

 

ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

при підготовці до іспиту

 

1. Що називається простором елементарних виходів? Що називається подією? Які виходи називають рівноможливими? Які виходи називаються сприятливими для даної події? В чому полягає класичне означення імовірності і коли воно застосовується? Навести формули і приклади обчислення кількості розміщень, кількості переставлень, кількості сполучень і кількості розміщень з повтореннями.

2. Які події називаються достовірними і неможливими? Які події називаються несумісними? Яка множина подій називається повною групою подій? Які події називаються протилежними? Які події називаються незалежними?

Що називається сумою скінченної кількості подій?

Що називається добутком скінченної кількості подій?

3. У чому полягає теорема додавання імовірностей? У чому полягає теорема множення імовірностей? Що таке умовна ймовірність події? Як знайти імовірність того, що відбулася хоча б одна подія з даних подій, якщо відомі імовірності даних подій?

4. В чому полягає формула повної імовірності? В чому полягають формули Бейєса?

5. Що таке послідовність незалежних іспитів з двома виходами? В чому полягає формула Бернуллі?

6. Сформулювати теорему Пуассона. Сформулювати локальну теорему Муавра—Лапласа. Сформулювати інтегральну теорему Лапласа.

7. Що таке закон розподілу дискретної випадкової величини? Що таке функція розподілу випадкової величини і які її властивості? Які особливості має функція розподілу дискретної випадкової величини? Як визначаються математичне очікування, дисперсія і середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини?

8. Чим відрізняється дискретна випадкова величина від неперервної випадкової величини? Що таке функція щільності імовірності неперервної випадкової величини і які її властивості? Як пов’язані між собою функція розподілу неперервної випадкової величини і функція щільності імовірності цієї випадкової величини? Як визначаються математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини? Як визначити імовірність того, що випадкова величина набуде значення з заданого інтервалу?

9. Що називається сумою дискретних випадкових величин? Які випадкові величини називаються незалежними? Що називається добутком незалежних дискретних випадкових величин? Властивість математичного сподівання добутку і дисперсії суми незалежних випадкових величин. Біномінальний розподіл та його числові характеристики. Рівномірний розподіл і його числові характеристики.

10. Нормальний розподіл і його числові характеристики. Нормований нормальний розподіл. Крива Гаусса і її властивості. Функція Лапласа і її властивості. Імовірність прийняття нормально розподіленої випадкової величини значень з заданого інтервалу. Центральна гранична теорема. Правило трьох сигм.

11. В чому полягає закон великих чисел? Нерівність Чебишева з математичним сподіванням і нерівність Чебишева з дисперсією. Практичне значення нерівності Чебишева.

12. Поняття про систему двох випадкових величин. Закон розподілу імовірності дискретної двомірної випадкової величини. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції і його властивості. Лінійна регресія. Прямі лінії регресії.

 


⇐ Предыдущая45678910111213
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.