Асинхронная машина. 2 страница

                             (36)

В заключение необходимо отметить, что записанные системы уравнений (32), (35), (36) для синхронной и асинхронной машины не могут быть непосредственно использованы для расчета режимов в виду того, что содержат неизвестных больше, чем уравнений. Это значит, что полученные системы уравнений необходимо дополнить уравнениями связи между переменными.

Уравнения связи.

1. Связь между и.в. токов, и.в. намагничивающих сил и фактической (действительной) намагничивающей силой многофазной обмотки.

Из курса «Электрические машины» известно, что амплитуда первой (основной) гармоники пространственной волны намагничивающей силы (н.с.) фазной обмотки машины на пару полюсов как функция времени определяется выражением

                      (37)

Здесь  - коэффициент, связывающий амплитуду 1-й гармоники с амплитудой прямоугольной пространственной волны н.с.;

 - обмоточный коэффициент, равный произведению коэффициента укорочения шага обмотки на коэффициент распределения;

 - действительное число витков в фазе обмотки;

 - число пар полюсов машины.

Обозначим:

 - эффективное число витков в фазе обмотки.

Таким образом, амплитуда пространственной волны н.с. фазной обмотки

                                                                                   (38)

 - мгновенное значение тока в фазе обмотки.

Рассмотрим 3-х фазную обмотку. Н.с. каждой фазы действует по оси соответствующей фазы и определяется током её обмотки, то-есть

                                      (39)

Каждую из фазных н.с. можно представить пространственным вектором, связав с ортом оси своей фазы

                           (40)

Имея пространственные векторы фазных н.с., легко записать выражение для изображающего вектора 3-х фазной системы н.с. построенных и записанных в собственных фазных осях:

                                                             (41)

или

т.е.                                                                            (42)

Нет необходимости доказывать, что и.в. многофазной системы н.с., записанный в ортогональных осях x, y, вращающихся с произвольной скоростью относительно фазных осей, имеет выражение

или

                                                                                          (43)

Здесь, как и ранее,  - угол между осью фазы a и осью x, смотри рис. 7. Разумеется и.в.  может быть разложен по осям x и y. В комплексной форме записи, считая x осью действительных, а y – мнимых, получим

    (44)

Переходя к проекциям на оси,

                                                                                  (45)

Суммарный вектор н.с. 3-х фазной обмотки.

Результирующая намагничивающая сила 3-х фазной обмотки является геометрической суммой н.с. её фазных обмоток

                                                                                  (46)

Сравнивая выражения (41) и (46), имеем:

                                                                                           (47)

а следовательно,

                                                                                      (48)

Если число фаз отличается от 3-х, m≠3 и.в. токов

                                                     (49)

                                        (50)

Аналогично для намагничивающих сил

                                                     (51)

                       (52)

Результирующая н.с. m – фазной обмотки равна

                                                                   (53)

следовательно,

                                       и                                                 (54)

в осях x, y                                                     (55)

Связь между магнитными потоками, потокосцеплениями,

намагничивающими силами и токами.

Простоты ради будем рассматривать электрическую машину, у которой на статоре и на роторе имеются 3-х фазные обмотки. Пренебрегаем краевыми эффектами и считаем поля машины плоскопараллельными. На рис. 8 представлено поперечное сечение машины, на котором показаны фазные оси, оси x, y и векторы н.с. обмоток статора и ротора. В этом случае вектор н.с. 3-х

фазной обмотки статора в осях x, y

(56)

3-х фазной обмотки ротора в тех же осях

(57)

Результирующая намагничивающая сила обмоток статора и ротора машины

                                            (58)

Замечание.  В случае, когда на статоре и на роторе обмотки имеют различное число фаз, соответственно на статоре – m, на роторе – m_r, результирующая намагничивающая сила, , запишется в виде выражения

               (59)

Выражение (59), в частности, можно использовать при описании асинхронного двигателя с к.з. обмоткой на роторе, у которого число фаз ротора равно числу пазов (стержней беличьей клетки) ротора.

Единый магнитный поток машины условно можно представить в виде суммы трех составляющих: потока взаимоиндукции, пронизывающего витки обмоток статора и ротора и создающего ними соответствующие потокосцепления; потока рассеяния обмотки статора и потока рассеяния роторной обмотки. Обозначим:

 - вектор, модуль которого равен магнитному потоку взаимоиндукции, а направление совпадает с вектором наибольшей магнитной индукции этого потока (вектор потока взаимоиндукции);

 - вектор потока рассеяния обмотки статора;

 - вектор потока рассеяния обмотки ротора.

Безусловно эти векторы могут быть записаны в любых осях. При их записи в осях x, y, добавим к их обозначениям индекс x, а именно:

 ,   , .

Каждый из этих потоков можно представить в виде суммы составляющих по осям x, y:

                                                                           (60)

Связь между компонентами магнитных потоков по осям x и y и соответствующими компонентами намагничивающих сил определяется магнитными проводимостями машины по выбранным осям. Обозначим:

 - магнитная проводимость машины потоку взаимоиндукции по оси x;

 - то же, но по оси y;

 - магнитная проводимость путей рассеяния обмотки статора;

 - магнитная проводимость путей рассеяния обмотки ротора.

Так как потоки рассеяния обеих обмоток замыкаются по воздуху, проводимости им не зависят от выбора осей. Вышеизложенное позволяет записать следующие уравнения связи:

                                                                               (61)

Само собой разумеется, что магнитный поток взаимоиндукции порожден результирующей (суммарной) намагничивающей силой обмоток статора и ротора, магнитный поток рассеяния статора – н.с. обмотки статора, магнитный поток рассеяния ротора – н.с. обмотки ротора.

Ввиду того что магнитные проводимости машины по осям x и y могут отличатся (а для явнополюсных машин отличаются существенно) векторы н.с. и магнитного потока, в общем случае, не совпадают. Это показано на рис. 9.

Потокосцепления, реактивности, токи.

                                           Уравнения связи.

В принятой нами системе единиц потокосцепление ψ измеряется в вольтах, т.е. , В. Следовательно, если  (в Веберах),    т.е.  , для записи потокосцепления в принятой системе единиц необходимо магнитный поток умножить на число витков обмотки и базисную угловую частоту, . Таким образом,

                                                                                           (62)

Совершенно аналогично запишется выражение для потокосцепления фазы a_r ротора. С той лишь разницей, что здесь будет фигурировать число витков фазы ротора W_r, потоки рассеяния ротора по осям x и y, Ф_rsx и Ф_rsy, а также угол поворота осей x, y относительно оси фазы a ротора, a_r.

(64)

Здесь  - потокосцепление фазных обмоток ротора, отнесенное к числу витков фазы, W_r , созданное составляющей магнитного потока машины, действующей по оси x, и пронизывающей фазные обмотки;

 - то же, но по оси y.

Из выражений для ψ_х, ψ_y, ψ_rx, ψ_ry видно, что их можно рассматривать как потокосцепления с потоками взаимной индукции и рассеяния некоторых воображаемых фаз a’ и b’, a’_r и b’_r, которые имеют одинаковые с фазными обмотками соответственно статора и ротора эффективные числа витков, но расположены по осям x и y и вместе с последними вращаются, то-есть жестко закреплены на осях x и y, смотри рис. 11.

К этому же выводу можно прийти при помощи следующих простых рассуждений:

Из этого соответствия следует, что когда с осью фазы a совпадает ось       x  или y  и  равны . То же относится к случаю когда оси x и y совпадают с осью фазы a_r ротора. При , ; при  (оси y и a_r совпадают) .

Это непосредственно вытекает из уравнений (63) и (64). Можно показать, что при совпадении осей x и y с осями фаз b и c потокосцепления  или соответственно будут также равны потокосцеплениям этих фазных обмоток. Естественно предположить, что и во все остальные моменты времени  и  будут равны потокосцеплениям некоторых фиктивных фаз статора, расположенных по осям x и y и имеющих то же число эффективных витков, что и реальные фазные обмотки, с реальными составляющими магнитных потоков по этим осям.

Все рассуждения, приведенные выше, для статорных цепей справедливы также и для цепей ротора электрической машины.

Поскольку в создании потокосцеплений фиктивных обмоток участвуют как потоки самоиндукции, при их вычислении необходимо учитывать намагничивающие силы всех обмоток статора и ротора машины.

В частности, для машины с 3-х фазными обмотками на статоре и на роотре:

или

          (65)

Здесь  - собственная реактивность фиктивной статорной обмотки, закрепленной на оси x, приведенная к намагничивающей силе, создаваемой по оси x токами, протекающими по всем фазам статора.

- реактивность взаимоиндукции фиктивной статорной обмотки, расположенной по оси x, приведенная к н.с., создаваемой по оси x токами, протекающими по всем 3-м фазам ротора.

 или

 (66)

Реактивности  

и              - собственная и взаимоиндукции с роторными фиктивной статорной, но закрепленной на оси y.

Аналогичным образом находятся потокосцепления и реактивности фиктивных роторных обмоток, закрепленных на вращающихся осях x и y:

     (67)

(68)

Реактивности:

                                                                      (67)

Собственные реактивности фиктивных обмоток ротора соответственно по осям x и y;

                                                                    (68)

Реактивности взаимоиндукции фиктивных обмоток ротора по осям x и y со статорными цепями.

Сравнивая выражения реактивностей взаимоиндукции обмоток статора и ротора по соответствующим осям при одинаковом числе фазных обмоток на статоре и роторе, приходим к выводу: принцип взаимности соблюдается.

                                                      (69)

Рассмотрим наиболее общий случай машины с различным числом фаз на статоре.

Пусть m – число фаз обмотки статора;

         m_r – число фаз обмотки ротора.

Тогда, принимая во внимание формулы (55) и (59), можно записать для потокосцеплений  и .

(70)

 (71)

В свою очередь, для потокосцеплений   и  имеем:

(72)

            (73)

В выражениях (70 73) собственные и взаимные реактивности статорных и роторных цепей представляются формулами: для статора

                                                                     (74)

и для цепей ротора

                                                                     (75)

Реактивности x_x, x_y – называют собственными реактивностями статорной обмотки по осям x и y; x_arx и x_ary – получили название реактивности взаимоиндукции статорной обмотки с роторной опять-таки по осям x и y. Однако упомянутые реактивности заслуживают более глубокого рассмотрения. Нам известны два вида реактивностей: самоиндукции и взаимоиндукции. Реактивность самоиндукции какой-либо обмотки в принятой системе единиц измерения характеризует отношение потокосцепления обмотки к току в этой обмотке, породившему данное потокосцепление. Реактивность взаимоиндукции предполагает наличие двух контуров с токами и характеризует отношение потокосцепления первого контура, порожденного током, протекающим по второму контуру, к току последнего и наоборот.

Реактивности, с которыми мы имеем дело, имеют несколько иной физический смысл. Действительно, обратимся, например, к выражению (70)

                    или

 ,               где

 ; .                       (76)

Здесь  - потокосцепление фазной обмотки статора машины при совпадении оси x с осью данной обмотки, обусловленное токами, протекающими по всем m – фазам обмотки статора; - потокосцепление фазной обмотки статора машины при совпадении оси x с осью данной обмотки, но обусловленное токами, протекающими по всем m_r – фазам обмотки ротора.

В соответствии с (76) собственная и взаимная реактивности определяются как

                                           (77)

 и - это реальные потокосцепления фазной обмотки статора (при оговоренных условиях) или можно считать, что это потокосцепление фиктивной обмотки, закрепленной на оси x, параметры которой совпадают с параметрами фазной обмотки статора, но  и  - это не реальные токи, а проекции и.в. m – фазной системы токов статора и m_r – фазной системы токов ротора на ось x. Поэтому, строго говоря, x_x и x_arx следует рассматривать как некоторые обобщенные реактивности.