![]()
|
|||||||
Асинхронная машина. 1 страницаСтр 1 из 16Следующая ⇒
Понятие о изображающем векторе многофазных величин Необходимость введения понятия «изображающий вектор» возникла при анализе работы электрических машин в различных электрических и электромеханических системах. Замечательной особенностью изображающего вектора (и. в.) является то, что он может служить для характеристики величин, имеющих как полевой характер, так и для величин, представленных в виде ограниченного множества дискретно распределенного в пространстве. Физической предпосылкой к введению понятия «изображающий вектор» служит общеизвестный факт, что в электрической машине существует единое магнитное поле, являющееся результатом совокупного действия токов, протекающих по всем её обмоткам. Пренебрегая краевыми эффектами на торцах магнитного ядра машины, единое электромагнитное поле в зазоре электрической машины можно считать плоско – параллельным. Следовательно, его можно изобразить в виде некоторого пространственного вектора в осях машины. С другой стороны, поскольку электромагнитное поле проявляется во всем рассматриваемом объеме электрической машины, изобразить его в виде единственной векторной величины можно чисто условно, отразив всего два его наиболее характерных признака (параметра) (в частности для магнитного поля это могут быть величина магнитного потока и направление вектора максимальной магнитной индукции относительно осей машины, либо два любых других параметра). Поэтому вектор (о котором речь) получил название «изображающий вектор». Наиболее просто понятие о и.в. получить, рассматривая трехфазную систему переменных величин, например токов. Пусть по фазным обмоткам a, b, c электрической машины протекают токи ia(f), ib(f), ic(f), являющиеся функциями времени. На рис. 1 в плоскости поперечного сечения машины представлены пространственные оси фазных обмоток рассматриваемой машины.
Следует сразу же оговориться, что в качестве положительного направления вращения принято направление против часовой стрелки. Поле в зазоре машины, вращаясь в положительном направлении, достигает максимума своей интенсивности последовательно в фазах a, b, и c. Поэтому при положительном обходе зазора машины за осью фазы a должна следовать ось фазы b и т.д. Обозначим По определению и.в. тока (точнее и.в. трехфазной системы токов), построенный и записанный в координатной системе фазных осей машины, равен
Примечание. В m – фазной системе соответствующий и.в. по определению равен
Здесь
Возвращаемся к 3-х фазной системе. Если рассматривать плоскость фазных осей как комплексную, совместив в частном случае ось действительных величин с осью фазы a , орты фазных осей симметричной трехфазной машины могут быть представлены выражениями:
В выражениях (4) Таким образом, и.в. тока, построенный в фазных осях машины, в принятой комплексной плоскости можно выразить уравнением
Прямое и обратное преобразование Парка – Горева.
Смысл преобразования Парка – Горева заключается в нахождении формул, позволяющих и.в., построенных в фазных осях машины, записать в ортогональных осях , вращающихся с произвольной скоростью относительно фазных осей. Рассмотрим две координатные системы с общим началом: a, b, c – система неподвижных фазных осей машины и x, y – система ортогональных осей, вращающихся относительно первой с некоторой произвольной скоростью Ωax (рис. 2). Здесь
В уравнении (6) сделан прозрачный намек на то обстоятельство, что скорость вращения осей x, y относительно фазных осей машины вовсе не обязана быть постоянной. Запишем и.в. тока
Каждый из пространственных векторов Если рассматривать плоскость осей x, y в качестве комплексной, приняв в качестве действительной ось x, а мнимой – y, можно записать:
Таким образом, пространственные векторы фазных токов машины, построенные в собственных фазных осях, но записанные во вращающихся осях x и y имеют вид:
Сам изображающий вектор тока, записанный в осях x, y, принимает вид
Из формулы (9) следует: для записи и.в., построенного и записанного в собственных фазных осях, в новых, вращающихся с произвольной скоростью, достаточно исходный и.в. умножить на оператор поворота, exp[-jγax(t)], исходной системы осей относительно новых, x, y. В осях x, y и.в. В комплексной форме можно записать
Перепишем выражения (8), используя формулу Эйлера:
а именно:
Как известно, два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны между собой их действительные и мнимые части. Аналогично для векторов можно утверждать: два вектора равны друг другу, когда равны между собой их проекции на выбранные координатные оси. На основании этих правил, используя выражения (9), (10) и (11), для действительной и мнимой части комплекса
По существу, система (12) является прямым преобразованием Парка – Горева и связывает проекции и.в. на ортогональные оси, вращающиеся с произвольной скоростью Ωax(t), с мгновенными значениями переменных фазных величин. Следует помнить, что γax(t), входящая в эти выражения, является в общем случае функцией времени (6). Формулу преобразования Парка – Горева часто записывают в матричной форме:
Для нахождения мгновенных значений фазных величин используют обратное преобразование Парка – Горева, которое можно получить, дополнив уравнение (13) выражением для тока нулевого чередования фаз 3 – х фазной системы
и разрешив полученные уравнения относительно фазных токов. В результате получаем обратное преобразование Парка – Горева
Здесь уместно сделать ряд замечаний: 1) введение уравнения (14) имеет, в известной степени, формальный характер и служит исключительно для придания определенности обратному преобразованию Парка – Горева; величины нулевого чередования фаз изображающих векторов не имеют, т.к. геометрическая сумма их пространственных векторов равна нулю; 2) в случае несимметричной многофазной системы последняя может быть разложена на симметричные и для систем прямого и обратного чередования фаз можно построить свои изображающие векторы. Изображающий вектор симметричной 3 – х фазной системы токов.
Запишем cosαв виде
Подставим найденные выражения фазных токов (16) в уравнение (5) для Таким образом, имеем:
Разделим в последнем выражении слагаемые содержащие
Таким образом, можно сделать вывод, что и.в. симметричной 3 – х фазной системы переменных величин – это вращающийся вектор, модуль которого остается постоянным и равным амплитуде фазной величины, а скорость вращения относительно фазных осей равна угловой частоте, Опять же на примере и.в. 3 – х фазной системы токов покажем, что проекция и.в. на фазную ось дает (равна) мгновенному значению переменной данной фазы. Действительно, по определению скалярного произведения двух векторов
Поэтому проекцию и.в. на какую-либо ось находим как скалярное произведение соответствующего и.в. на единичный орт оси. Если векторы на плоскости заданы своими координатами: Проекции
Считая ось действительных осью x, а мнимых – y, находим:
Подставив (20) в (19), имеем Аналогично можно доказать, что
Обобщенные уравнения для напряжений многофазных обмоток машин переменного тока. Рассмотрим 3-х фазную якорную обмотку синхронной или асинхронной машины. Уравнения напряжений, приложенных к фазным обмоткам имеют вид:
Следовательно, Здесь Ua, Ub, Uc – напряжения (мгновенные значения), приложенные к фазным обмоткам из внешней цепи; ia, ib, ic – токи в фазных обмотках; ψa, ψb, ψc – потокосцепления соответствующих фазных обмоток. r – активное сопротивление каждой из фазных обмоток (считаем их симметричными). По определению и.в. напряжений, потокосцеплений и токов, построенные в фазных осях машины и записанные в произвольной ортогональной координатной системе x, y, равны:
Найдем производную по времени от и.в. откуда
Здесь Подставим выражения (23) в уравнение для Используя выражения (24) и (25), получаем Выражение (26) является обобщенным уравнением для напряжений обмоток машины переменного и постоянного тока, записанное в векторной форме. При использовании этого уравнения необходимо помнить, что Рассматривая плоскость осей x, y как комплексную, где x – ось действительных, а ось y – мнимых, каждый из и.в.
Подставим выражения (27) в уравнение (26) и выделим действительные и мнимые величины. Известно, что два комплекса равны тогда и только тогда, когда равны между собой их действительные и мнимые части. После элементарных преобразований имеем: Таким образом, вместо одного векторного уравнения (26) получили два скалярных уравнения (28). Все разнообразие частных случаев записи обобщенного уравнения определяется выбором осей, в которых записываются изображающие векторы и осей, в которых эти векторы строятся. Если исследуются электродинамические процессы, и.в. всегда должны строиться в фазных осях того элемента эл. Машины (статор, ротор), которому принадлежат соответствующие фазные величины. Записывать же изображающие векторы можно в любых осях из условия наиболее простого решения конкретной задачи. Существуют общепринятое обозначение ортогональных осей, а именно: α, β – оси, неподвижные относительно фазных осей; d, q – оси, жестко закрепленные на роторе; U, V – оси, вращающиеся с синхронной скоростью относительно фазных осей; x, y – оси, вращающиеся с произвольной скоростью относительно фазных. Физический смысл элементов обобщенного уравнения. По определению Отсюда вытекает, что Здесь Ua – внешнее напряжение, приложенное к фазе a;
Исходя из этих соображений, будем называть
а
В обмотке W это потокосцепление будет индуктировать Э.Д.С.
Сравнивая выражение (30) с Выбирая те или иные ортогональные оси, мы можем избавиться либо от первого, либо от второго слагаемого в выражении (31), но чаще всего в обобщенном уравнении напряжений присутствуют обе составляющие Э.Д.С.
Рабочая система единиц. При выполнении расчетов электроэнергетических систем привычными для нас являются Вольты, Амперы, Омы или относительные единицы (о.е.). В обобщенные уравнения напряжений входят потокосцепления, измеряемые в Веберах = Для удобства, с целью упрощения расчетов, обобщенные уравнения преобразуют таким образом, что потокосцепления приобретают размерность – Вольты, а время становиться безразмерным с размерностью о.е. или радиан. Это достигается достаточно просто: элементы в правой части уравнения (31) умножаются и делятся на базисную или синхронную частоту
В результате получаем Переходя к размерностям, имеем:
Таким образом, в дальнейшем, используя уравнения напряжений, если не будет специально оговорено, принимаем, что
Уравнения электрического и механического состояния синхронной и асинхронной машины в ортогональных осях. Обобщенное уравнение напряжений многофазных обмоток позволяет записать уравнения электрического равновесия в ортогональной системе осей, вращающихся с произвольной скоростью, для любой электрической машины. Однако при записи уравнений необходимо учитывать конструктивные особенности машины и выбирать оси, в которых магнитные проводимости машины остаются неизменными независимо от положения ротора. Это есть условием получения полной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при переменных функциях.
|
|||||||
|