|
|||||||
Простейшие типы ДУ 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли) и их решение.2.3. Простейшие типы ДУ 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли) и их решение.
1. ДУ с разделяющимися переменными
или . Запишем ДУ в виде Проинтегрируем: – общий интеграл, – произвольная постоянная. Замечание. Если уравнение имеет корни , то функции являются частными решениями ДУ. Пример.
– также решение ДУ. 2. Однородные ДУ Замена , тогда Тогда, подставляя в ДУ получим – ДУ с разделяющимися переменными, находим . Пример.
(x>0). Замена: . Подставим в ДУ: , – общий интеграл. – решение, т.е. , т.е. . 3. Линейные ДУ 1-го порядка. – линейное однородное ДУ (ЛОДУ) 1-го порядка. – линейное неоднородное ДУ (ЛНДУ) 1-го порядка. I. ЛОДУ 1-го порядка. – с разделяющимися переменными – первообразная (р получаем при ). II. ЛНДУ 1-го порядка. a. Решим соответствующее ЛОДУ: – произвольная постоянная b. Решение ЛНДУ ищем методом вариации постоянной, т.е. в виде Тогда Подставим в ЛНДУ:
Находим ; интегрируем, находим . Пример.
a. Соответствующее ЛОДУ: b. Ищем решение ЛНДУ в виде Подставляем в ЛНДУ:
Проинтегрировав, получим Подставим в (2.3.1): = Замечание. ДУ сводится к ЛНДУ относительно обратной функции Решаем методом вариации произвольной постоянной: . 4. Уравнения Бернулли , . Ищем решения в виде . Подставим в ДУ: , Найдем функцию такую, что – ДУ с разделяющимися переменными (ЛОДУ). Используя (2.3.2), получим – ДУ с разделяющимися переменными. Найдем Пример.
Найдем из ДУ . Подставим в (2.3.3): , Тогда Замечание. ДУ
сводится к ДУ Бернулли относительно функции : Решение ищем в виде
|
|||||||
|