Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.

⇐ ПредыдущаяСтр 18 из 28Следующая ⇒


2.5. Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.

 

1.

(ДУ не содержит )

Замена

Получаем для  ДУ 1-го порядка:

Находим . Тогда

Пример.

Замена

Получаем для  ДУ 1-го порядка:

Замечание.

ДУ , сводится к ДУ  

2.

(ДУ не содержит явно )

Замена . Подставим в ДУ:

ДУ 1-го порядка относительно . Решая его, получаем общее решение

.

 с разделяющимися переменными

Пример.

.

Замена . Подставим в ДУ:

2.6. Линейные ДУ (ЛДУ) n-го порядка: однородные (ЛОДУ) и неоднородные (ЛНДУ). Теорема существования и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор. Свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ЛОДУ.

 

ЛДУ n-го порядка (неоднородное):

Коэффициенты  и правая часть  – функции, непрерывные на  или на . Для . Разделим на . Получим ДУ вида

(2.6.1)– ЛНДУ го порядка. Соответствующее ЛОДУ:

Задача Коши для ДУ: найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям:

где .

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ЛДУ го порядка

Пусть  непрерывны на . Тогда для  точки  и решение задачи Коши (2.6.1),(2.6.2), причем оно определено на всем интервале .

           Рассмотрим левую часть ЛДУ (2.6.1) и (2.6.10) – дифференциальный оператор

 .

Покажем, что  является линейным оператором, т.е.  и , где .

,

Таким образом,  – линейный дифференциальный оператор.

Операторная форма ЛДУ:

ЛНДУ:

ЛОДУ:

⇐ Предыдущая13141516171819202122Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.