Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

Теорема Коши существования и единственности решения задачи Коши для ДУ 1-го порядка.

Теорема Коши существования и единственности решения задачи Коши для ДУ 1-го порядка.

Пусть функция  и ее частная производная  непрерывны в области . Тогда для  точки существует и при том единственное решение задачи Коши.

Геометрический смысл:  единственная интегральная кривая, проходящая через т. .

Замечание. Решение определено только в окрестности т. .

Пример.

 и  непрерывны в области

, т.е. в окрестности точки 0. В любой большей окрестности 0 функция  и не удовлетворяет ДУ в этих точках.

Пример (неединственность в задаче Коши).

,

Из начального условия .

 – также решение данной задачи Коши.

Рис. 31

Через точку  проходит более одной интегральной кривой (см. рис. 31). Не выполняется условие непрерывности

Опр. Общим решением ДУ называется семейство функций, зависящих от параметра , т.е. ,  – произвольная постоянная, такое, что:

1. для  фиксированного  функция  является частным решением,

2. для  т.  такое, что частное решение  удовлетворяет начальному условию

Замечание. ДУ можно записать в виде  (используя то, что .

Опр. Равенство , неявно задающее общее решение называется общим интегралом ДУ

2.2. Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Поле направлений. Геометрическое решение ДУ 1-го порядка с помощью изоклин.

Пусть для ДУ выполняется условие существования и единственности, т.е. через любую точку  проходит ровно одна интегральная кривая - график частного решения .

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке  равен . Таким образом, в каждой точке области  ДУ (2.1.2) задает направление касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку  В  задано поле направлений (см. рис. 32).

Рис. 32

Опр. Изоклиной ДУ (2.1.2) называется кривая, во всех точках которой угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через заданную точку, одинаковый и равен заданному .

Уравнение изоклины:

Рис. 33

Пример.

Рис. 34

Уравнение изоклин:

Прямая  является изоклиной  и является интегральной кривой, т.к.  – частное решение ДУ, т.е. является асимптотой для интегральных кривых (другие интегральные кривые приближаются к этой прямой, но не пересекают ее, т.к. через одну точку проходит только одна интегральная кривая.)

При

При

Отсюда на прямой  находятся точки локального минимума решений ДУ.

.

 (см. рис. 34).