Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.
Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.
Рассмотрим кривую, , где функция непрерывна на .
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image590.png)
Рис. 22
Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями . Пусть – разбиение :
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image592.png)
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image593.png)
Рассмотрим площадь части фигуры, удовлетворяющей условию (см. рис. 22). Пусть и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции :
.
заключена между площадями круговых секторов радиусов и :
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image597.png)
Сложим по от до :
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image598.png)
Т.е.
где – интегральные суммы функции , соответствующие разбиению и выбору точек и соответственно (нижняя и верхняя интегральные суммы).
При из (1.9.2) получаем: .
Замечания:
1. (см. рис. 23).
Рис. 23
2. (см. рис. 24).
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image608.png)
Рис. 24
1.9. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения.
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image609.png)
Рис. 25
Рассмотрим в пространстве тело , каждая точка которого удовлетворяет неравенству . Пусть площадь сечения плоскостью равна непрерывна на . Найдем объем тела . Зафиксируем . Рассмотрим малое . Рассмотрим часть (слой) тела , соответствующий отрезку . Объем этой малой части приблизительно (c точностью до бесконечно малых выше первого порядка относительно равен объему цилиндра с площадью основания и высотой
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image625.png)
Суммируя по всем таким тонким слоям, получаем
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image626.png)
Объемы тел вращения.
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image627.png)
Рис. 26
Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси (см. рис. 26).
Найдем объем тела вращения. Зафиксируем . Сечение тела плоскостью – круг радиуса . Тогда
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image631.png)
Ту же фигуру вращаем вокруг оси (см. рис. 27).
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image633.png)
Рис. 27
Рассмотрим малый отрезок , где . При вращении соответствующей части фигуры получаем тело объема , где – площадь кольца радиусов и соответственно:
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image638.png)
Тогда
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image639.png)
Суммируя по тонким "слоям", получим
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image640.png)
Общий случай:
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image641.png)
Таким образом получаем для вращения фигуры, ограниченной линиями , имеем
При вращении фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 28).
Рис. 28
![](https://helpiks.su/imgart/baza1/2630559568938.files/image648.png)
|