Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.
Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.
Рассмотрим кривую, , где функция непрерывна на .

Рис. 22
Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями . Пусть – разбиение :


Рассмотрим площадь части фигуры, удовлетворяющей условию (см. рис. 22). Пусть и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции :
.
заключена между площадями круговых секторов радиусов и :

Сложим по от до :

Т.е.
где – интегральные суммы функции , соответствующие разбиению и выбору точек и соответственно (нижняя и верхняя интегральные суммы).
При из (1.9.2) получаем: .
Замечания:
1. (см. рис. 23).
Рис. 23
2. (см. рис. 24).

Рис. 24
1.9. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения.

Рис. 25
Рассмотрим в пространстве тело , каждая точка которого удовлетворяет неравенству . Пусть площадь сечения плоскостью равна непрерывна на . Найдем объем тела . Зафиксируем . Рассмотрим малое . Рассмотрим часть (слой) тела , соответствующий отрезку . Объем этой малой части приблизительно (c точностью до бесконечно малых выше первого порядка относительно равен объему цилиндра с площадью основания и высотой

Суммируя по всем таким тонким слоям, получаем

Объемы тел вращения.

Рис. 26
Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси (см. рис. 26).
Найдем объем тела вращения. Зафиксируем . Сечение тела плоскостью – круг радиуса . Тогда

Ту же фигуру вращаем вокруг оси (см. рис. 27).

Рис. 27
Рассмотрим малый отрезок , где . При вращении соответствующей части фигуры получаем тело объема , где – площадь кольца радиусов и соответственно:

Тогда

Суммируя по тонким "слоям", получим

Общий случай:

Таким образом получаем для вращения фигуры, ограниченной линиями , имеем
При вращении фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 28).
Рис. 28

|