Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.

Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.

Рассмотрим кривую, , где функция непрерывна на .

Рис. 22

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями . Пусть – разбиение :

Рассмотрим площадь части фигуры, удовлетворяющей условию (см. рис. 22). Пусть и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции :

заключена между площадями круговых секторов радиусов и :

Сложим по от до :

Т.е.

где – интегральные суммы функции , соответствующие разбиению и выбору точек и соответственно (нижняя и верхняя интегральные суммы).

При из (1.9.2) получаем: .

Замечания:

1. (см. рис. 23).

Рис. 23

2. (см. рис. 24).

Рис. 24

1.9. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения.

Рис. 25

Рассмотрим в пространстве тело , каждая точка которого удовлетворяет неравенству . Пусть площадь сечения плоскостью равна непрерывна на . Найдем объем тела . Зафиксируем . Рассмотрим малое . Рассмотрим часть (слой) тела , соответствующий отрезку . Объем этой малой части приблизительно (c точностью до бесконечно малых выше первого порядка относительно равен объему цилиндра с площадью основания и высотой