Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций

Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций

Пусть функции линейно зависимы на . Тогда :

Док-во: по определению линейной зависимости функций , не все равные , такие, что . Последовательно продифференцируем это равенство:

Зафиксируем

(2.7.2) – СЛАУ (однородных) относительно , которая имеет ненулевое решение, т.е. определитель системы равен , т.е. ( ).

Замечание. Обратное неверно, т.е. если , то функции могут быть линейно независимы.

Пример.

Т.е. на , но и линейно независимы, т.к. . Не существует , таких, что для всех .

Теорема о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ

Пусть – линейно независимые на – частные решения ЛОДУ n-го порядка . Тогда

Док-во: (от противного)

Пусть . Рассмотрим СЛАУ относительно :

Ее определитель , следовательно, система имеет ненулевое решение, т.е. , не все равные , такие, что выполняется система (2.7.3).

Рассмотрим частное решение ЛОДУ .

Оно удовлетворяет в т. начальным условиям (в силу (2.7.3)):

Рассмотрим частное решение ЛОДУ

Оно удовлетворяет в т. начальным условиям

Таким образом, частные решения ЛОДУ и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям задачи Коши. По теореме о единственности решения задачи Коши , т.е. , т.е. – линейно зависимы на – противоречит условию линейной независимости .