Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций
Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций
Пусть функции линейно зависимы на . Тогда : 
Док-во: по определению линейной зависимости функций , не все равные , такие, что . Последовательно продифференцируем это равенство:

Зафиксируем 
(2.7.2) – СЛАУ (однородных) относительно , которая имеет ненулевое решение, т.е. определитель системы равен , т.е. ( ). 
Замечание. Обратное неверно, т.е. если , то функции могут быть линейно независимы.
Пример.
,
.


Т.е. на , но и линейно независимы, т.к. . Не существует , таких, что для всех .
Теорема о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ
Пусть – линейно независимые на – частные решения ЛОДУ n-го порядка . Тогда 
Док-во: (от противного)
Пусть . Рассмотрим СЛАУ относительно :

Ее определитель , следовательно, система имеет ненулевое решение, т.е. , не все равные , такие, что выполняется система (2.7.3).
Рассмотрим частное решение ЛОДУ .
.
Оно удовлетворяет в т. начальным условиям (в силу (2.7.3)):

Рассмотрим частное решение ЛОДУ 

Оно удовлетворяет в т. начальным условиям
.
Таким образом, частные решения ЛОДУ и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям задачи Коши. По теореме о единственности решения задачи Коши , т.е. , т.е. – линейно зависимы на – противоречит условию линейной независимости .
Т.е. 
Замечание. Пусть – частные решения ЛОДУ . График функции может иметь вид (см. рис. 37, 38):
Рис. 37
|
Рис. 38
| (для линейно независимых решений)
| (для линейно зависимых решений)
| Не может иметь вид (см. рис. 39, 40):
Рис. 39
|
Рис. 40
|
|