Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Линейные однородные ДУ (ЛОДУ) n-го порядка.

⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 28Следующая ⇒


Линейные однородные ДУ (ЛОДУ) n-го порядка.

Теорема. Множество частных решений ЛОДУ n-го порядка  является линейным пространством относительно операций сложения функций и умножения на число.

Док-во. Нужно доказать, что операции сложения частных решений и умножения частных решений на число не выводит из множества частных решений, т.е. сумма частных решений  – также решение, произведение частного решения на число  – также решение, .

Пусть  – решения, тогда , т.е.  – решение, , т.е.  – также решение. Нулевым вектором в линейном пространстве решений ЛОДУ является функция .

Итак, решения ЛОДУ n-го порядка  образуют линейное пространство.

 

 

2.7. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций и о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ.

 

Опр. Функции  называются линейно зависимыми на , если , не все равные , такие, что

Опр. Если выполнение равенства ( ) на всем интервале  возможно только при , то функции называются линейно независимыми на .

Критерий линейной зависимости:

Функции  линейно зависимы на  для некоторого k=1,….n (т.е. хотя   бы одна из функций линейно выражается через остальные).

Пример.

Т.к. , то функции линейно зависимы на

Пусть функции  раз дифференцируемы на .

Опр. Определителем Вронского (вронскианом) системы функций  называется определитель

.


⇐ Предыдущая14151617181920212223Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.