Контакты

Случайная статья

Несобственные интегралы 2-го рода

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 28Следующая ⇒

Несобственные интегралы 2-го рода

Рис. 14

Пусть

непрерывна на

, но не ограничена в левой окрестности точки

. Определенный интеграл

не существует, т.к.

– неограниченная. Рассмотрим

. Т.к.

непрерывна на

, то

– определенный интеграл.

Опр. Несобственным интегралом 2 рода по от функции , неограниченной в окрестности точки , называется предел

Если существует конечный предел (1.8.2), то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Геометрический смысл:

при – площадь фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 15).

Рис. 15

– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой .

– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой

Рис. 16

Свойство линейности.

Если , сходятся, то сходятся интегралы

.

Вычисление несобственного интеграла 2-го рода.

Случай функции с особой точкой

– первообразная для

Таким образом, сходится конечный предел первообразной .

Примеры.

Рассмотрим интегралы

Рассмотрим случай интеграла с особой точкой в левом конце отрезка:

Случай

Аналогично рассматривается интеграл с особой точкой в правом конце отрезка. Таким образом

имеет при порядок роста относительно ).

Исследование несобственных интегралов 2-го рода на сходимость.

Признаки сходимости:

1. Признак сравнения:

пусть

a. Если сходится, то также сходится.

b. Если расходится, то также расходится.

2. Предельный признак сравнения.

Пусть для и при , т.е. .

Тогда и оба сходятся или оба расходятся.

3. Если сходится , то сходится и .

Примеры.

1.

При ,

2.

При

Замечание: если непрерывна на кроме точки и не ограничена в окрестности точки , тогда

(для первого и второго интегралов в правой части особой точкой является правый или левый конец отрезка).

сходится сходятся оба интеграла и

Пример.

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.