Интегрирование периодических функций.

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 28Следующая ⇒

Интегрирование периодических функций.

Рис. 7

Пусть

– периодическая с периодом

, (т.е.

), интегрируемая на

Тогда

(см. рис. 7).

1.7. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

Несобственные интегралы 1-го рода

Пусть определена на и интегрируема на любом отрезке вида . Зафиксируем и рассмотрим определенный интеграл .

Опр. Несобственным интегралом 1 рода функции от до называется предел при определенного интеграла от до :

Рис. 8

Если

конечный предел

, то несобственный интеграл от

до

называется сходящимся, в противном случае (т.е. если предел

равен

или не существует) – расходящимся.

Геометрический смысл – площадь бесконечной фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 8).

Рис. 9

Аналогично для функции

, определенной на

по определению

(см. рис. 9).

Свойство линейности.

Если , сходятся, то сходятся интегралы

Аналогично для .

Вычисление несобственного интеграла 1-го рода.

Пусть – первообразная для на , тогда

Таким образом, сходится конечный предел первообразной

Примеры.

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Исследование несобственных интегралов 1-го рода на сходимость.

Рис. 13

Признаки сходимости:

1. Признак сравнения.

Пусть

a. Если сходится, то также сходится (см. рис. 13).

b. Если расходится, то также расходится.

2. Предельный признак сравнения:

пусть для и при , т.е. .

Тогда и оба сходятся или оба расходятся.

3. Если сходится , то сходится и (обратное неверно!).

В качестве «образцов» интегралов для сравнения обычно используются интегралы

(a>0).

Примеры.

1. .

при расходится исходный интеграл расходится по предельному признаку.

При ; ; ,

; интеграл сходится по предельному признаку.

3.

Т.к. при (логарифм растет медленней степенной функции), то исходный интеграл сходится по признаку сравнения.

.

– сходится сходится по признаку 3.

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒