Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
1. Линейность
Пусть функции и интегрируемы на Тогда
a. функция интегрируема на и
b. функция ( ) интегрируема на и
Док-во:
a. составим интегральную сумму для функции 

Тогда

b. Аналогично

Тогда

2. Аддитивность (см. рис. 3).
Пусть функция интегрируема на , точка , тогда

Док-во:
Рассмотрим разбиение отрезка такое, что для некоторого . Ему соответствуют разбиения отрезков и , соответственно, и 


Т.е.

Замечание. Если , то по определению ,
. Тогда равенство (1.4.1) справедливо при любом взаимном расположении точек , 
Теорема (об оценке определенного интеграла)
Пусть интегрируема на , .
Тогда
.
Док-во: . Т.к. , то , 
При получим 
Геометрическая интерпретация:
(площаль криволинейной трапеции заключна между площадьми прямоугольников высотой m и M.) (см. рис. 4).
Следствиe (интегрирование неравенства).
Пусть на , тогда .
Док-во: рассмотрим функцию на . Возьмем . По теореме об оценке

Пример.
т.к. , то . По теореме об оценке 
Теорема (о среднем значении для определенного интеграла).
Пусть непрерывна на . Тогда такая, что .
Док-во: т.к. непрерывна на , то она достигает на своего наибольшего и наименьшего значений , По теореме об оценке , (равенство возможно только для т.е. для непрерывных функций, отличных от константы . По теореме о промежуточном значении непрерывной функции: . Возьмем .
|