Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Интегральное исчисление функций одного переменного

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 28Следующая ⇒


1. Интегральное исчисление функций одного переменного

 

1.1. Первообразная. Теоремы о первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.

 

Опр. Функция называется первообразной функции  на , если .

Пример.  – первообразная функции  на интервале

Теорема 1 (об арифметических свойствах  первообразной).

Пусть  и  – первообразные функций  и  соответственно. Тогда функция  – первообразная функции  (  

Док-во: , т.е.  функция  – первообразная функции

Теорема 2 (об общем виде первообразной).

Пусть  – первообразная функции . Тогда любая первообразная функции  имеет вид

, где

Док-во: т.к. , то  – тоже первообразная функции . Покажем, что любая первообразная имеет вид . Пусть  – первообразная функции . Рассмотрим функцию : . Рассмотрим произвольные . т.е. . Значит,

Опр. Совокупность всех первообразных функции  называется неопределенным интегралом от функции .

Обозн.: .

Пусть  – первообразная функции . Тогда , где  – произвольная постоянная.

Пример.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.  или

4. , где

Док-во:

1. , где  – первообразная функции

2. .

3. Т.к.  – первообразная , то .

4. Пусть  и  – первообразные функций  и  соответственно.

Тогда функция  – первообразная функции  ( . Отсюда

Таблица интегралов:

1.

2. . (Т.к. при

3.  ( )

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. ,

11. ,  (длинный логарифм)

12. ,

13. или (высокий логарифм)

14.

15.

16.

17.

Примеры.

 

1.2. Интегрирование подстановкой и по частям. Примеры. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.

 


⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.