Алеф број 5 страница

Ал’ обућар настави, након што се подбочио:

„А да није то лице помало укриво...

И да нису груди, превише наге и беле? “....

Тада га сликар прекину нестрпљиво:

" Суди ти, друже, ал’ не изнад ципеле! “» (А. Пушкин, „Обућар“)

Кандидат

Наука заузима место религије и тиме се наставља са покушајима да се образује нов поглед на свет и да се, са ослонцем на њега, одговори на велика питања. Она покушава да обради ову тему, путем осмишљавања бесконачности. У почетку, покушава да је негира, у духу Томе Аквинског — оно што нема границе и својства, то ни не постоји. Тома се саплео о Бога, који се, при негирању бесконачности, испоставио као коначан. Када је већ наука негирала самог Бога, из тога је следило да не би смела да има проблеме попут Томиног.

Ипак, испоставља се да има проблема. Негирање бесконачности води до њеног... утврђивања. Ако се порекне бесконачност, следећи корак је признање: све што постоји НИЈЕ бесконачно, него коначно. Следи да има границу, која га раздваја од... Чега? Од тога, што постоји иза границе. Добијао се затворени круг: негирање бесконачности водило је до утврђивања границе. Граница је водила до утврђивања бесконачности.

Као нит Аријадне, која је поглед на свет могла да изведе из мрака, испостављала се бесконачност. Међутим, која то врста науке може да узме бесконачност за предмет свог интересовања? Никаква наука није делотворна у размерама погледа на свет. Деловање у тој области могуће је само чистим размишљањем, независним од посматрања и огледа.

Једина наука која није везана за материју — то је математика. Математичка знања не зависе од огледа и посматрања. Математика своје информације црпи из бројева. Број има природу бесконачности — он нема никакво обележје постојања.

Немачки математичар Хилберт пише следеће: „Дефинитивно препознавање суштине бесконачног, превазилази уске пределе интересовања специјализованих наука. “ И још: „Од давнина, никакво друго питање није толико дубоко забрињавало људску мисао, као питање бесконачности; бесконачно је деловало на ум једнако снажно и плодно као ниједна друга идеја; међутим, ниједан други појам не остаје и даље без појашњења, као бесконачност“.

Увек је било људи који су покушавали да у свету бројева пронађу законитости, хармонију и пропорције, не са циљем да извуку из тога практичне користи, него јер су се усхићивали тиме. Као што су уметнику узбудљиве линије, а музичару звуци, па цртају и свирају, на првом месту не зато што у томе виде бизнис, него јер им се свиђа да цртају и свирају, тако се и математичарима свиђа да састављају/растављаљу бројеве и да их пореде.

Математичари себе позиционирају попут питагорејаца — као да су изнад било ког огледа. Зато показују немар према било каквој реалности. Занимају их искључиво бројеви, сами по себи, њихова међусобна поређења и спознавање математичких законитости.

Велики математичар XX века Харди, у истраживању „Математичарева апологија“ пише: „Ништа од тога што сам икада радио нема ни најмањи практични значај“. Попут Гауса, краља математичара, који је свој живот посветио решавању задатака, типа, како помоћу компаса и лењира може да се изгради седамнестокрака звезда. Он је решио тај проблем, и тиме се толико поносио, да је тражио да му таква звезда буде и на споменику.

Са развојем природних наука, откривају се и законитости односа између бројева и материјалног света. Да физичке појаве немају математичке пропорције, да се честице и појаве не понашају према алгоритмима истим као и бројке, математика се ничиме не би разликовала од науке о змајевима, у којој се изучавају особености земље вилењака, или од богословије, усредсређене на детаљисање о климатским условима у рају и паклу. Али, математичке законитости осликавају физичке, притом у тој мери неочекивано и озбиљно, да не може дух човека да се не усхити од схватања шта то може да значи (ускоро и о томе).

Клањање математици испоставља се чак и већим од оног код религиозне вере. Религијске догме се прихватају на веру, и ту има места за сумњу. У математици нема места за сумњу. Кад математички прорачуни нешто потврде или оповргну, то се сматра апсолутним и несумњивим доказом да је у питању истина. И баш по томе, математичка истина се, према чињеничном стању, испоставља као изнад религијске, која захтева веру.

У реалности, нема предмета који математика изучава. То омогућава да се она користи као целофан, у који може да се упакује било шта. Прекјуче су у њу увијали геоцентрични модел, или то како је топлота последица калоричности, а флогистон изражава природу ватре (потражите о флогистонској и калоријској теорији, ако желите да се боље упознате са овим одбаченим замислима). Такве маштарије, испоставило се, нису имале везе са реалношћу, али им то није сметало да буду научно објашњене и математички засноване.

Исправност прорачуна, сама по себи, нити ишта доказује, нити оповргава. Како је говорио Ајнштајн: „Главни је — садржај, а не математика. Математика може да докаже шта год затреба“. Прорачун проистиче из полазне тачке, основе, која је скуп аксиома, на коме се тај прорачун и заснива. Ако се у компјутер унесе програм по коме је 2+2=5, машина која ради према таквом алгоритму ће давати исправне прорачуне. Међутим, они ће бити исправни само за тај програм, а не у односу на читаву реалност.

Упркос заслугама математике, она у себи садржи апсурдности, које захтевају озбиљно математичко образовање да би били разумљиви. Математика је противречна и сва њена невероватна лепота је — само илузија. Или, одраз другог света.

Несавршеност математике је очигледна, чак и без посебних знања, већ по томе што она установљава забране које нису ни на чему засноване (на пример, да се не може делити нулом). Њена правила налажу и да је сваки број једнак самом себи: 5 = 5. Као и да сваки број има себи супротан. На пример, броју 5 је супротан број (-5). Показатељ да су у питању међусобно супротни бројеви је да у збиру дају нулу: 5 + (-5) = 0. Aко је 0 + 0 = 0, значи да се нула испоставља, истовремено, и бројем и себи супротним бројем. Али, како било шта може да буде и то што јесте, и сопствена супротност, тј. да не буде то што јесте?

Математика озбиљно шкрипи, чим се дотакне нуле и бесконачности. Једно из њених априорних тврдњи, тј. оних које не изискују доказ, је и ово: део (нпр. половина целог) је мањи од целог. Додавање јединице на било коју вредност, чини је већом, а одузимање мањом. Све је ту јасно и помоћу тих истина ми радимо у свету величина, без сумњи.

Међутим, чим се започне рад са нулом и бесконачношћу, уз коришћење истих ових истина, настају апсурдности. Половина нуле је једнака нули, а половина бесконачности — целој бесконачности. Сабирање, одузимање, множење и дељење дају разултате који никако немају смисла, из угла логике. И ако је од нуле било могуће да се некако огради, проглашавајући је за ништа, код бесконачности такав приступ не може да прође, јер ње има. Ипак, покушаји да се о њој мисли доводе у ћорсокак. Мисао као да пропада у бездно.

И поред свега тога, треба поновити да је математика била једина наука која је уопште испред себе могла да постави задатак осмишљавања бесконачности. Ниједна од осталих наука није могла чак ни уста да отвори, када је реч о овој теми.

Алеф број

У другој половини XIX века, немачки математичар Кантор почиње да се озбиљно бави темом бесконачности. Пошто јединствена бесконачност не може да се замисли, он покушава да обухвати њену природу преко схватања њених бесконачних делова. У томе се ослања на различитост између актуелне и потенцијалне бесконачности, према Аристотелу.

Подсећам на разлику између ове две бесконачности. Примера ради, сви постојећи бројеви су — актуелна бесконачност. Када овакво њихово невероватно мноштво, у свој својој свеукупности, наставља да се повећава — то је потенцијална бесконачност, величина која тежи бесконачности, али у сваком тренутку има границу.

Тачка представља стање између ничега и величине. Еуклид је у својим „Елементима“ дефинише као „оно што нема делова“. Она такође тежи ка бесконачности, али за разлику од потенцијалне бесконачности, не у смеру увећања, него умањења. И као што низ бројева никада не дође до бесконачности, тако ни тачка никада не дође до нуле.

Бројеви и тачке садржани су у бесконачности. Ако се размишља о појмовима из којих се састоји целина, постоји нада да се може осмислити и сама целина. О броју и тачки се може размишљати. Дакле, са бесконачношћу може да се ради. Сматрало се да ће развој у овом правцу дати резултате кроз које ће моћи некако да се схвати бесконачност, као нешто.

Кантор је расуђивао овако: ако међу елементима једног бесконачног низа постоји узајамни однос са елементима другог бесконачног низа, значи да та два низа имају једнак број елемената, што значи да су те две бесконачности једнаке. Уколико овакав узајамни однос не може да се успостави, онда је једна бесконачност већа или мања од друге.

То, на примеру, изгледа овако: замислите бесконачан низ војника. Паралелно са њим стоји други такав бесконачан низ војника. Уколико сваки војник може да ухвати за руку свог суседа паралелно од себе, то значи да је број војника у ова два низа једнак. На језику математике, то значи да су та два скупа једнака (или да имају исту кардиналност). Ако је овакво упаривање немогуће, тада је број војника различит — ова два бесконачна низа нису једнака (један бесконачан скуп има већу или мању кардиналност од другог).

Чини се да би бесконачни низ природних бројева морао да буде двоструко већи од низа парних (или непарних) бројева. Међутим, тако се само чини. Пола бесконачности једнако је целој бесконачности. Бесконачни низ природних бројева и бесконачни низ парних (или непарних) бројева су једнаки — сваки број из једног низа може да ухвати за руку свог суседа из другог реда, који стоји паралелно са њим. Или, другим речима, сваки број у било ком низу може да се сматра објектом и нумерише редом: 1, 2, 3, 4...

Кантор дели све низове бројева на скупове који се могу пребројати и који се не могу пребројати. Пребројиви су — када се могу пребројати од почетне до завршне бројке за коначно (ограничено) време. Колико је то време, да ли тренутак или милијарде година — то није важно. Главно је да бројање може да се почне и да се заврши.

Непреброји скуп је — када овакво бројање не може ни да се почне. На пример, између било која два природна броја је бесконачно много реалних бројева, односно бројева који представљају некакву величину. И пошто нема дна (колико год да се број дели на пола, до нуле не може да се дође), онда ни не може да се каже који је најмањи реалан број.

На пример, не може да се каже који је први реалан број, који иде после нуле. Ниједан најмањи могући број, који можемо да замислимо, не би био први. Чак и ако, након зареза, испишемо толико нула да се тим записом испуни цела наша васиона, дакле 0, 0000000..... 1, између нуле и тог броја ће, такође, бити бесконачно много још мањих бројева.

Ово се не тиче само нуле, него било ког броја. Немогуће је рећи који је први реалан број, који иде након неког броја. Такво бројање не може ни да се почне. Може само да се каже да, између 0 и 1, или између 147 и 148, има бесконачно много реалних бројева. Ипак, пошто могу да се сместе између два природна броја, њихов скуп се назива коначним.

Ово превазилази логику света на коју смо навикли, и зато је ван онога што можемо да замислимо. По логици, после нуле иде нека прва величина. Међутим, никаква најмања замислива величина не може да буде прва, зато што се свака величина може у мислима поделити напола, а то значи да она није прва — јер није најмања и даље недељива.

То што се дешава између нуле и првог броја после ње, има аналогију са тим што је било до Великог праска и од првог трена постојања нашег света. Као што не може да се каже који је први број после нуле, који је већи од нуле, али мањи од свих осталих бројева, тако не може ни да се установи први трен постојања нашег Универзума.

У свом делу „О природи“, Парменид је доказао да не постоји мост између бића и не-бића. Не може да се замисли како се нула постепено претвара у величину. Величина се појављује одмах. Али, која је прва величина после нуле? Покушајте да је замислите, и дате одговор на то питање. Уколико разумете суштину питања, осетићете дах бесконачности.

Чак ни у самој теорији не може да се уочи моменат када ништа постаје величина. У томе се види недостижност бића. Оно је монолитно и та монолитност не може да се наруши ни на једном месту. Ипак, притом, има почетак, до кога не може да се дође.

Између пребројивих и непребројивих скупова не може да се успостави узајамни однос. Из тога следи да је непребројивих скупова бесконачно више него пребројивих — једна бесконачност је већа од друге. Кантор доказује да постоји хијерархија бесконачности — да је сваки наредни скуп бесконачно већи од претходног. Хијерархија бесконачности се бесконачно шири и на горе и на доле. Свеукупност овога је — целина Бесконачности.

По Кантору, Бесконачност се састоји од бесконачности два типа: први се односи на скупова величина, а други на скупове тачака, чија је кардиналност — континуум. Бесконачни редови бројева могу да буду међусобно једнаки, а и не морају. Континууми (низови) тачака једнаки су у било којој запремини. Било који скуп тачака и било који скуп бројева су бесконачни, али притом постоји бесконачно више тачака.

На било ком исечку квадрата постоји онолико тачака, колико их има и на самом квадрату, изграђеном од тих исечака. И то упркос чињеници да бесконачни број исечака гради квадрат. На коцки, изграђеној на основу овог квадрата, налази се онолико тачака колико и на исечку квадрата. Како пише Кантор, ни он сам није могао да поверује шта се добија прорачунима које је извео. Ипак, грешке није било, и резултат се морао признати.

Бесконачност је изван граница здравог разума и закона постојања нашег света. Замислимо да се свет састоји од бесконачне количине елемената, и да смо их све нумерисали. Број објеката које смо нумерисали парним бројевима једнак је броју објеката које смо нумерисанили непарним — ту је све у реду. Међутим, како се односити према томе што објеката нумерисаних парним бројевима има толико, колико и свих објеката укупно? Део целине не може да буде једнак целини. Ипак, једнак је, уколико радимо са бесконачношћу. Услед такве чињенице, напросто се јавља интелектуална нелагода.

Да би се радило са бесконачним скуповима, Кантор је осмислио трансфинитне бројеве. Финитни бројеви — то су коначне величине. Трансфинитни бројеви означавају бесконачне величине. На таквим бројевима, он гради посебну трансфинитну аритметику.

Основа трансфинитне аритметике је — прво слово јеврејског писма «ℵ » (алеф). Мислим да Кантор није случајно узео баш то слово. Мистици њоме означавају тачку апсолутног знања, са којим се види све и разуме одмах, без појашњавања.

Алеф — то је нешто попут нуле у децималном систему, али у другом смислу. Уобичајени бројеви се могу бесконачно делити наниже — опонашају бесконачност која иде надоле (могло би се рећи, ишчезава умањењем). Трансфинитни бројеви су преврнути наопако, они опонашају бесконачност која иде нагоре (ишчезава увећањем).

Смисао трансфинитних бројева је — да се њима изразе различити нивои, или степени бесконачности. Први такав број зове се алеф-нула — «ℵ 0». Он означава пребројиве скупове, који се могу нумерисати. Други број алеф 1, «ℵ 1» — то је 2^{ℵ 1} (2 на степен „алеф 1“), који означава први непребројив скуп. Наредни је алеф 2 — то је 3^{ℵ 1} (3 на степен „алеф 1“). И тако даље... Сваки наредни трансфинитни број бесконачно је већи од претходног. Према Кантору, ти бројеви, у својој свеукупности, обухватају бесконачност.

За уобичајене бројеве, постоје аналогије у реалном свету. На пример, уобичајена јединица може да се изрази једним предметом — једном јабуком. За трансфинитне бројеве, нема аналогије у нашем свету. Зато су и названи таквим нечовечијим термином. Број „алеф 1“ већи је од свих елементарних честица видљивог Универзума. Број „алеф 2“ — налази се изнад граница замисливог. Не постоји скуп чија би кардиналност изразила тај број.

Нас не збуњује чињеница да сваки природан број садржи у себи бесконачно много делова који га образују, и ми га слободно користимо. Међутим, нас збуњује што сваки трансфинитни број обухвата бесконачност на горе. Кад бисмо превазишли ту збуњеност, како тврде математичари, могли бисмо да користимо и трансфинитне бројеве.

Теорија скупова — била је нешто квалитативно ново, што се разликује од свих претходних налета на бесконачност. Она је имала дубину и хармонију, а једини недостатак јој је био што је била у нескладу са интуицијом. Главно достигнуће Кантора: доказ да постоје различите бесконачности. И како нису једнаке, значи да са њима може да се ради.

Математичка заједница се живо интересује за нову теорију. На самом почетку XX века, Расел уочава парадокс. Његова суштина је да све што постоји може да се подели на две врсте скупова. Једни не садрже себе у својству сопственог елемента, а други садрже.

Пример прве врсте: скуп свих ципела не представља саму ципелу. Пример друге: скуп свих скупова представља скуп. Први не садржи сам себе у својству свог елемента, а други садржи. По логици, сваки скуп припада, или првој, или другој врсти. Међутим, ако све скупове прве врсте удружимо у засебан скуп, испада да се такав скуп не може окарактерисати ни као да припада првој, ни као да припада другој врсти.

Да би лакше објаснио овај парадокс, Расел је смислио град у коме закон налаже свима да морају бити обријани. И још, према том закону, брица мора да брије само оне, који се сами не брију. Како да брица и сам буде обријан? Ако се буде сам бријао, онда он припада људима које не сме да брије брица, тј. он сам. Дакле, крши закон. Ако се не буде сам бријао, онда по том закону мора да га брије брица, тј. мора да брије сам себе.

До откривања оваквог парадокса, Поенкаре се активно занимао за теорију скупова. Након тога, он почиње да говори да је то болест од које математика мора да се лечи. Поенкаре одлучује да је занемари и свим другим научницима предлаже да усвоје то да нема бесконачности. Ту је он баш налик на оног, већ поменутог професора Кремонинија, са Универзитета у Падови, који је предлагао да се занемари то што се види кроз телескоп.

Подсети то и начелника Бородавкина, који пише “... тајно устав о «неограничавању начелника законима». Једини његов члан гласио је «Ако ли осећаш да ти закон представља препреку, спусти га са стола и стави испод себе. А онда ће ти све ово, постајући невидљиво, знатно олакшати да радиш»... “ (Салтиков-Шчедрин, „Историја једног града“).

Свет математике се, у односу према бесконачности, дели по Канторовој линији на два табора. Неки математичари је се одричу, попут Поенкареа, светске величине под физичком и математичком капом небеском. Поенкаре говори да бесконачности нема места у науци, јер са њом не може да се ради и она само уноси забуну.

На Поенкареову страну сврстава се и Кронекер, учитељ самог Кантора. Поричући бесконачност, свог ученика назива шарлатаном и мучитељем младих. Слично томе, али мање категорично против Кантора, изјашњавају се и многи други познати математичари.

Друге светске величине, на челу са Хилбертом, одушевљавају се Канторовом идејом. Хилберт пише: „Нико нас не може протерати из раја, који је створио Кантор“. Канторова идеја му изгледа као: “... достојан дивљења цветак математичког духа и уопште једно од највећих достигнућа човекове чисто умне активности. “ Велики математичари, Дедекинд и Фреге, такође уздижу Кантора готово до небеса.

Ипак, Хилберт своје прихватање Канторове теорије на неки чудан начин упарује са покушајем да негира бесконачност. Он тако пише и: „Има наде да се може радити са бесконачним, али само преко коначног“; или: „Научно спознавање изискује одређену геометријско-визуалну представу“. Па онда, још и да: „Из чињенице да ван било ког делића простора увек постоји нови простор, следи само неограниченост простора, а не његова бесконачност“. Без жеље да умањим ауторитет овог генијалног математичара, само ћу рећи како су неограниченост и бесконачност — синоними.

Иза тога ће се појавити група француских математичара, под псеудонимом „Никола Бурбаки“, са циљем да целу математику преведу у трансфинитне бројеве. Чини се да идеја није баш најсрећнија. Погледајте на нету како изгледа јединица у њиховом извођењу...

Сам Кантор је у потпуности свестан размера предметне теме. Он пише: „Разврстао сам бесконачност у три категорије: прва, где се она остварује у највећем савршенству, независном, не-земаљском бићу, in Deo, где је називам апсолутном бесконачношћу или, просто, апсолутним; друга, где се она открива у зависном, твореном свету; трећа, где је размишљање може ухватити in abstracto, као математичку величину, број или врсту низа“.

Одувек је било људи који су позивали на то да се тешко разумљиве идеје препусте забораву. Пошто је Канторова таква, и дан-данас постоје овакви позиви у математичким круговима. У стилу, шта ће нам то, кад постоји гомила још нерешених стварних проблема.

Одувек је било и људи који су се усхићивали тешко разумљивим, јер у томе виде интелектуални изазов. Такви га са жаром прихватају и упуштају се у битку са њим. Такви људи доживљавају одушевљење услед Канторових идеја.

Како год било, оне се данас сматрају каменом темељцом више математике. Нема у свету математичког факултета, на коме се не изучава теорија скупова. Захваљујући њој, математика разликује један бесконачни скуп од другог. Путем ње, математика се пробила до нових граница, пред њом су се отворили нови видици. Ипак, то није приближило човечанство разумевању бесконачности. У теорији скупова се не оперише са самом бесконачношћу, него са променљивим које теже бесконачности, са величинама „ → ∞ “.

Moгуће да је то први корак на путу ка истини. Могуће да је пут ка нигде. Може бити и да ова теорија није још увек разоткрила свој пун потенцијал, и да је само први корак ка бесконачности. Ипак, можда је и само модел који даље не може да се примени.

Мени лично недостају знања да бих је оценио. Зато и кажем да немам мишљење о теорији скупова. За сада сам склон да интуитивно и простодушно сматрам како Канторова теорија не обухвата онтолошке размере бесконачности.

Ја бесконачност замишљам као бескрајну мрежу нити бесконачне дужине и различитих дебљина. Канторова теорија ради са нитима. Она помаже науци да се протегне преко тих нити, тако да један крај тежи ка минималном, тачки, а други крај ка максимуму — према Целини. Међутим, за сада, није обухватила суштину ни тачке, ни бесконачности.

Моје размишљање је блиско размишљању Лобачевског о еуклидској геометрији: „Узалудни напори још од времена Еуклида, током две хиљаде година, натерали су ме да посумњам како се та истина, коју су желели да докажу, ни не налази у самим појмовима. “

Бесконачност се не уклапа ни у какву величину, и зато су антички мислиоци тражили начин да премосте величину. Савремени мислиоци траже начин да премосте бесконачност и да размишљају о величини. Ниче је позивао да се добровољно капитулира пред бесконачношћу, да се не мисли о незамисливом и да се тако биће испуни „радошћу пропасти“. У овом тренутку, бесконачност наставља да буде недокучива тајна за човечанство. „Знамо да бесконачности има, али не знамо јој природу“ (Паскал).

⇐ Предыдущая 19 20 21 22 232425 26 27 28 Следующая ⇒