Техника расчета 9 страница

количественных признаков

Обычно расчет статистического комплекса делается по специальным рабочим формулам, упрощающим вычислительную работу.

В статистических комплексах малого и большого объема техника расчета несколько различается. Понятия "большая" или "малая" выборки в значительной степени относительны и определяются наличием вычислительной техники той или иной разрешающей способности.

Однофакторные комплексы состоят только из одного фактора, имеющего несколько градаций. Для однофакторных комплексов требование пропорциональности или равномерности не действует, они ортогональны при любом соотношении частот по градациям фактора.

Прежде чем начать расчет статистического комплекса, следует для облегчения работы преобразовать значение результативного признака. При этом неудобные для работы многозначные или дробные числа могут быть преобразованы в малозначные числа.

После проведения счетной работы с преобразованными датами показатели h² и F не требуют поправок, их значения получаются точными. Другие показатели требуют восстановления согласно изложенным выше правилам.

Рассмотрим технику расчета однофакторного статистического комплекса для количественных признаков при малом объеме выборки на примере влияния фактора возраста на массу яиц.

В примере (табл.31) для расчета взяты данные от десяти кур. Результативным признаком является масса яиц, для фактора возраста устанавливаются три градации, соответствующие разным периодам яйцекладки: в начале, середине и в конце ее.

Таблица 31

Градации фактора
А₁	А₂	А₃

Полученные в исследовании числа легко преобразуются путем вычитания из всех чисел минимальной постоянной величины 45. В результате получаются достаточно удобные для расчета числа. Порядок расчета данного статистического комплекса приведен в алгоритме (табл. 32). В левой части алгоритма ведется расчет предварительных и вспомогательных величин, в правой части - расчет дисперсий, варианс, показателей h² и F.

В первой строке указаны градации фактора А и их число. Ниже этой строчки в левой части данного алгоритма столбиками записаны преобразованные значения результативного признака (даты x_i) для каждой градации фактора А. В третьей строке записаны частоты по градациям (по 10) и их сумма (N = Sn = 30). В четвертой строке приводится сумма дат по градациям и их общая сумма (SSx = 229). В пятой строке по градациям рассчитываются величины H_i, представляющие собой частные от деления квадратов сумм дат по каждой градации на соответствующие частоты, и сумма полученных величин (H_i =1977,1). Шестая строка представляет собой суммы квадратов дат по вариациям (Sx_i²) и их суммы по всему комплексу (SSx_i² =2071). Наконец, в седьмой строке записываются частные средние результативного признака по градациям, а также средняя по всему комплексу.

Таблица 32

Алгоритм дисперсионного анализа однофакторного статистического комплекса, расчет влияния фактора возраста кур на массу яиц

Преобразование: x_i - 45

Даты	Градации			r = 3	Дисперсии: факториальная: C_X = SH_i – H_S C_X=1977,1– 1748 = 229,1 случайная: С_Z=Sx² - SH_i C_Z=2071-1977,1=93,9 общая: С_Y=Sx²- H_S C_Y=2071-1748=323
Даты	А₁	А₂	А₃	r = 3
x_i				H_S= H_S= =1748,0 H_S=1748,0









n				N=30	Вариансы: факториальная = = =114,55 случайная = = =3,48
Sx_i				SSx_i=229
H_i=	152,1	722,5	1102,5	SH_i=1977,1
Sx_i²				SSx _i²=2071
	3,9	8,5	10,5	=7,63	= = =0,709
	48,9	53,5	55,5	= 52,63	F= = =32,9 n₁=r-1=2 n₂=N-r=27 F_st=3,3 – 5,5 – 9,0

В данном примере эти средние величины получены в преобразованном виде. Чтобы восстановить их действительное значение, необходимо к каждой средней прибавить ту величину, которая была вычтена из каждой даты в начале работы с цифровым материалом - 45. Эти средние величины в восстановленном виде приводятся в восьмой строке. Средние величины показывают, что с возрастом кур масса яиц возрастает. Однако средние величины только иллюстрируют действие фактора возраста, дают только первое, внешнее представление о происходящем процессе.

Чтобы сделать окончательные выводы, необходимо определить степень воздействия изучаемого фактора на результативный признак (или силу его влияния) и достоверность этого воздействия или достоверность полученных в эксперименте результатов.

Для проведения дальнейших расчетов необходимы вспомогательные величины: SH_i; Sx² и H_S. Первые две величины имеются, а для получения третьей необходимо возвести в квадрат сумму всех дат результативного признака и разделить полученную величину на объем выборки:

H_S= .

Дальнейшие расчеты указаны в правой половине алгоритма.

Дисперсии рассчитываются не непосредственно, а по рабочим формулам, упрощающим счетную работу.

1. Факториальная дисперсия:

C_X = SH_i – H_S; C_X =1977,1 – 1748 = 229,1; C_X = 229,1.

2. Случайная дисперсия:

С_Z=Sx² - SH_i; С_Z = 2071 - 1977,1 = 93,9; С_Z = 93,9.

3. Общая дисперсия:

С_Y=Sx²- H_S; С_Y = 2071 – 1748 = 323; С_Y = 323.

Расчет может быть проверен, поскольку действует равенство дисперсий:

С_Y = С_X + С_Z; С_Y = 229,1 + 93,9 = 323.

Затем рассчитываются значения варианс, для чего необходимо предварительное определение числа степеней свободы для каждого значения дисперсий:

1. Факториальная варианса:

= ; = =114,55; = 114,55.

2. Случайная варианса:

= ; = =3,48; = 3,48.

3. Степень влияния организованного фактора

= ; = = 0,709; = 0,71.

4. Критерий Фишера, характеризующий достоверность влияния изучаемого фактора:

F= ; F= =32,9; F = 32,9.

Полученное значение F сравнивается с его стандартными значениями, имеющимися в специальных статистических справочниках. Эти стандартные значения находятся на пересечении столбцов и строчек, соответствующих числу степеней свободы, причем за n₁ принимается число степеней свободы для факториальной дисперсии (n_X), а за n₂ - число степеней свободы для случайной дисперсии (n_Z). В нашем примере для n₁ = 2 и n₂ = 27 стандартные значения равны 3,3-5,5-9,0.

Поскольку расчетное значение F = 32,9 превышает наивысшее значение F_st (32,9>9,0), полученный результат достоверен при третьем уровне вероятности (Р>0,999).

Таблица 33

Разнообразие	С	n	S²	Показатели влияния
Факториальное	229,1		114,55	=0,71
Случайное	93,9		3,48	F = 32,9
Общее	323,0		11,3	P>0,999

Полученные в расчете показатели разнообразия и показатели влияния фактора заносятся в сводную таблицу алгоритма. Произведенный расчет дает основание сделать следующее заключение.

В изучаемой популяции кур с возрастом существенно увеличивается масса яйца, фактор возраста оказывает большое и достоверное влияние при Р>0,999. Среди всех возможных факторов доля влияния возраста на результативный признак составляет 71%, а 29% влияния приходится на другие, не учтенные в данном исследовании факторы.

Дисперсионный анализ двухфакторных равномерных или пропорциональных комплексов количественных признаков

При расчете влияния двух факторов в одном статистическом комплексе появляются новые требования к организации комплекса, которых не было при расчете однофакторного комплекса. Обязательным требованием в двухфакторных комплексах является независимость изучаемых факторов. Удобнее работать с комплексами, в которых имеется пропорциональное или равномерное распределение частот, - в этих случаях расчет значительно облегчается. Как все статистические комплексы, двухфакторные комплексы должны быть рэндомизированы, перед расчетом варианты могут быть предварительно преобразованы.

В отличие от однофакторных, двухфакторные статистические комплексы позволяют выявить не только долю каждого фактора в отдельности, но и долю их совместного влияния, вызывающего дополнительную дисперсию (С_АВ). Эта дисперсия не является результатом простой суммы действия обоих факторов, а возникает благодаря их совместному, интегрированному взаимодействию.

Техника расчета двухфакторного комплекса может быть рассмотрена на следующем примере. В условиях тропического климата проводился эксперимент по изучению влияния различных уровней кальция (фактор А) и аскорбиновой кислоты (фактор В) на толщину скорлупы яиц у кур-несушек. Изучались три уровня кальция (3,7%, 4,0% и 4,5%) и три уровня аскорбиновой кислоты (без добавок витамина, 50 мг и 100 мг на один килограмм смеси). По каждому варианту кормосмеси использовались 4 группы кур в качестве повторностей. Средние данные по каждой повторности приведены ниже.

Для удобства проведения расчетов данные по измерениям толщины скорлупы яиц предварительно преобразованы путем умножения каждой из дат на 1000 и последующего вычитания 300. Получаются целые двухзначные числа, которые и записываются в форму расчета статистического комплекса.

Таблица 34

Уровни кальция в кормосмеси, %
А₁ – 3,7			А₂ – 4,0			А₃ – 4,5
Уровни аскорбиновой кислоты, мг
В₁-0	В₂-50	В₃-100	В₁-0	В₂-50	В₃-100	В₁-0	В₂-50	В₃-100
0,327	0,333	0,332	0,317	0,340	0,354	0,334	0,342	0,346
0,319	0,328	0,338	0,345	0,330	0,341	0,350	0,340	0,343
0,325	0,343	0,338	0,341	0,321	0,344	0,333	0,339	0,358
0,316	0,333	0,339	0,349	0,363	0,353	0,345	0,349	0,355

В двухфакторном статистическом комплексе расчет производится в основном так же, как и в случае однофакторного комплекса. В части I алгоритма ведутся расчеты предварительных и вспомогательных величин. Как и в случае однофакторного комплекса, последовательно по строчкам записываются значения n и N, суммы дат Sх_i по градациям и в целом по комплексу, суммы квадратов дат Sх_i² по градациям и по комплексу в целом, величины H_i (представляющие собой частные от деления квадратов сумм дат по градациям на соответствующие частоты) и сумма полученных величин (SH_i =56894). В двух последних строчках (часть 1 алгоритма) записываются средние значения результативного признака в преобразованном и восстановленном виде. Находится также вспомогательная величина Н_S. В дальнейшем рассчитываются новые показатели: дисперсия отдельно по каждому изучаемому фактору (С_А и С_в) и дисперсия, характеризующая взаимодействие этих двух факторов (С_АВ). Для этого в части 2 алгоритма по каждой градации фактора А и фактора В отдельно подсчитываются сумма частот n и сумма дат Sх_i. На основе полученных величин рассчитывается ряд значений H_i = - отдельно по каждой градации каждого фактора. Сумма этих величин в разрезе каждого фактора (Н_А и H_В) является исходной величиной для определения влияния каждого фактора. Если из нее вычесть общую для комплекса поправку H_S = , получаем точное значение дисперсии по данному фактору. Например:

С_А = H_A – H_S = 55900 - 54678 = 1222.

Поскольку в начале исследования даты были преобразованы умножением на 1000 и вычитанием 300, восстановленное значение дисперсии получается делением расчетной величины на 1000² (1000000). Восстановленное значение дисперсии С_А = 0,001222.

Аналогично находится величина C_В= 0,000822. Эти действия записываются в части 3 алгоритма. Как и в расчете однофакторного комплекса, получаются значения C_Х, С_Y и С_Z.

Специфической особенностью расчета двухфакторного комплекса является нахождение дисперсии, характеризующей взаимодействие двух факторов (С_АВ): она получается вычитанием дисперсий С_А и С_В из факториальной дисперсии С_Х:

С_АВ = С_Х - С_А – С_В.

Дальнейшее определение величин ; υ; S_i² и F показано в части 3 алгоритма.

Зная число степеней свободы, по таблице стандартных значений критерия Фишера легко определить уровень достоверности влияния каждого изучаемого фактора. Анализ полученных результатов позволяет заключить: сила влияния фактора А или уровня кальция в кормосмеси на толщину скорлупы яиц оказалась равной 26,6% от всех влияний и достоверной при Р>0,99. Сила влияния фактора В, т.е. аскорбиновой кислоты, равна 17,9% от влияния всех других факторов и достоверна при Р>0,95.

Таблица 35

Алгоритм дисперсионного анализа двухфакторного равномерного статистического комплекса.

Расчет влияния различных уровней кальция (фактор А) и аскорбиновой кислоты (фактор В) в кормосмесях кур на толщину скорлупы яиц. Признак преобразован умножением на 1000 и вычитанием 300.

Часть 1

Даты	А₁			А₂			А₃			r_A = 3 r_B = 3
Даты	B₁	B₂	B₃	B₁	B₂	B₃	B₁	B₂	B₃	r_A = 3 r_B = 3
x_i	27 19 25 16	33 28 43 33	32 38 38 39	17 45 41 49	40 30 21 63	54 41 44 53	34 50 33 45	42 40 39 49	46 43 58 55	H_S= = =54578
n										N = 36
Sx_i										Sx = 1403
Sx_i²										Sx² = 59273
H_i =	1892,2	4692,2	5402,2	5776,0	5929,0	9216,0	6561,0	7225,0	10201,0	S H_i = 56894
=										= 38,8
Восстанов-ленное	0,322	0,334	0,337	0,338	0,338	0,348	0,340	0,342	0,350	= 0,3388

Таблица 35

Часть 3

	А	В	АВ	Х	Z	Y
C	H_A – H	H_B – H	C_X – C_A - C_B	SH_i - H_S	Sx² - SH_i	Sx² - H_S
восстановленное	0,001222	0,000822	0,000172	0,002216	0,002379	0,004595
=	0,266	0,179	0,037	0,432	0,518	1,000
υ	r_A – 1	r_B – 1	(r_A-1)(r_B-1)	r_A×r_B-1	N- r_A×r_B ₂₇	N – 1
S² =	0,000611	0,000411	0,000043	0,000277
F =			0,55		-	n₁ n₂
							9,0 5,5 3,3	6,3 4,1 2,7	4,8 3,3 2,3

Таблица 35

Часть 2

Градации	n	Sх_i	H_i =		H_i по факторам
А₁				0,3310	H_A = H_A1 + H_A2 + H_A3 H_A = 55900
А₂				41,5 0,3415
А₃				44,5 0,3445
В₁				33,4 0,3334	H_B = H_B1 + H_B2 + H_B3 H_B= 55500
В₂				38,4 0,3384
В₃				45,1 0,3451

Полученная в данном анализе степень совместного влияния двух факторов оказалась очень небольшой (3,7%) и недостоверной (Р<0,95). Это позволяет заключить, что кальций и аскорбиновая кислота в кормосмесях оказывают самостоятельное влияние на толщину скорлупы яиц, действие одного фактора не создает взаимодействия с другим.

В результате общее влияние организованных в эксперименте факторов составило 48% от влияния всех других возможных факторов и достоверно при первом уровне значимости (Р>0,95).

Дисперсионный анализ однофакторного статистического комплекса для качественных признаков

Особенностью дисперсионного анализа статистических комплексов для качественных признаков является то, что общие и частные средние арифметические по градациям факторов и по всему комплексу выражаются долями, т.е. частью особей в группе, обладающих интересующими нас признаками. Доля получается в результате деления числа особей с наличием интересующего нас признака в данной градации на общее число особей, имеющихся в ней. Так, если число особей (или измерений) в комплексе равно n, а число особей (или измерений) с данным признаком равно m, то отношение составит долю с данным признаком, или p = . Эта величина р имеет то же значение, что и среднее арифметическое для количественных признаков. Доля особей, не имеющих данного признака, выражается как q = 1- p.

Ранее было показано, что квадратическое отклонение для качественных признаков выражается формулой

S = ,

отсюда варианса равна S² = p - q.

Дисперсия для качественных признаков рассчитывается по формуле:

С = n ´ S² или С = n ´ ×p ´ q.

Если в эту формулу подставить значения р и q, то получим

С = n ´ (1 - ) или С = m - .

Это есть основная формула дисперсии для качественных признаков. Рабочие формулы дисперсий для однофакторного комплекса качественных признаков имеют следующий вид:

С_Х = SH_i - H_S

C_Z = Sm - SH_i

C_Y = Sm - H_S ,

где SH_i = S ; H_S = .

Рассмотрим технику расчета дисперсионного анализа комплекса для качественных признаков на примере материалов по эмбриональной смертности во время инкубации яиц с разной степенью мраморности скорлупы. Партия яиц была распределена на части по степени выраженности мраморности скорлупы в соответствии с баллами мраморности от 1 до 5. Большая цифра балла говорит о большой выраженности мраморности скорлупы. После этого яйца были заложены на инкубацию в отдельных лотках. Полученные результаты записаны в табл. 36.

Таблица 36

Результаты инкубации яиц разной степени мраморности скорлупы

Показатели	Обозначения	Баллы мраморности скорлупы яиц (градации)
Показатели	Обозначения
Заложено яиц на инкубацию	n
Погибло эмбрионов	m

Эти исходные материалы включаются в форму алгоритма для дисперсионного анализа.

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒