Фазовая плоскость.. Первые интегралы нормальных систем ДУ.

Фазовая плоскость.

Рассмотрим

Пусть вектор-функция – частное решение автономной системы . Рассмотрим на плоскости кривую , заданную параметрическими уравнениями

Кривая – фазовая кривая системы на фазовой плоскости . Если система удовлетворяет условию теоремы существования и единственности, т.е. имеют непрерывные частные производные первого порядка в области , то через каждую точку области проходит ровно одна фазовая кривая.

Касательный вектор к фазовой кривой в произвольной точке (см. рис. 41):

Рис. 41

Рассмотрим как функцию , заданную параметрически, тогда

Таким образом фазовые кривые системы интегральными кривыми ДУ 1-го порядка

Пример.

ДУ фазовых кривых:

Рис. 42

Первые интегралы нормальных систем ДУ.

Опр. Равенство

называется первым интегралом системы в области , если выполняется 2 условия:

1. Функция имеет непрерывные частные производные 1-го порядка в области и для , что .

2. Для решения системы

Первый интеграл позволяет понизить число уравнений в системе. Пусть в т. . Тогда по теореме о неявной функции из можно в некоторой окрестности т. выразить

Подставив в уравнения системы , начиная со второго, получим систему из (n-1) уравнения:

Чтобы полностью решить систему , нужно знать независимых первых интегралов:

Независимость первых интегралов означает, что ни один из них не может быть выражен через остальные. Система независимых первых интегралов неявно задает решение системы.

Симметричная форма записи нормальных систем ДУ:

Получив из симметричной формы системы интегрируемые комбинации (полные дифференциалы), можно найти 1-е интегралы. При нахождении интегрируемых комбинаций удобно использовать следующее свойство пропорций:

Пример 1.

Симмметричная форма системы:

По свойству пропорций получаем

Аналогично

Пример 2.

Для автономной системы найдем два независимых 1-х интеграла, не содержащих

Симметричная форма системы:

- (1-й интеграл).

Чтобы найти второй 1-й интеграл запишем симметричную форму системы в виде

Таким образом, найденные первые интегралы задают фазовые кривые системы:

Пример 3.

Симметричная форма:

- 1-й интеграл.

2.16.Нормальные системы ЛДУ, однородные и неоднородные. Матричная запись системы. Линейность пространства решений системы ЛОДУ. Вронскиан системы вектор-функций и его свойства. Теорема о размерности пространства решений системы ЛОДУ. Структура общего решения. Фундаментальная система решений.

– нормальная система ЛНДУ, здесь , – функции, непрерывные на некотором интервале

Если , то – система ЛОДУ.

Матричная форма системы ЛДУ :

где

матрица

Соответствующая

Теорема. Множество всех частных решений системы ЛОДУ является линейным пространством относительно операций сложения вектор-функций и их умножения на число.