![]()
|
|||||||
Фазовая плоскость.. Первые интегралы нормальных систем ДУ.Фазовая плоскость. Рассмотрим Пусть вектор-функция Кривая Касательный вектор к фазовой кривой в произвольной точке (см. рис. 41): Рис. 41 Рассмотрим Таким образом фазовые кривые системы Пример. ДУ фазовых кривых: Рис. 42 Первые интегралы нормальных систем ДУ. Опр. Равенство
называется первым интегралом системы 1. Функция 2. Для
Первый интеграл позволяет понизить число уравнений в системе. Пусть в т. Подставив Чтобы полностью решить систему Независимость первых интегралов означает, что ни один из них не может быть выражен через остальные. Система Симметричная форма записи нормальных систем ДУ:
Получив из симметричной формы системы интегрируемые комбинации (полные дифференциалы), можно найти 1-е интегралы. При нахождении интегрируемых комбинаций удобно использовать следующее свойство пропорций: Пример 1. Симмметричная форма системы: По свойству пропорций получаем
Аналогично
Пример 2. Для автономной системы найдем два независимых 1-х интеграла, не содержащих Симметричная форма системы:
Чтобы найти второй 1-й интеграл запишем симметричную форму системы в виде
Таким образом, найденные первые интегралы задают фазовые кривые системы: Пример 3.
Симметричная форма:
2.16.Нормальные системы ЛДУ, однородные и неоднородные. Матричная запись системы. Линейность пространства решений системы ЛОДУ. Вронскиан системы вектор-функций и его свойства. Теорема о размерности пространства решений системы ЛОДУ. Структура общего решения. Фундаментальная система решений.
– нормальная система ЛНДУ, здесь Если Матричная форма системы ЛДУ где матрица
Соответствующая Теорема. Множество всех частных решений системы ЛОДУ Док-во: пусть т.е. Аналогично при
т.е.
Опр. Вронскианом системы вектор-функций
называется определитель
Теорема (о вронскиане системы линейно зависимых вектор-функций). Пусть вектор-функции Теорема (о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ) Пусть Теорема (о структуре общего решения нормальной системы ЛОДУ).
где Док-во: 1. Покажем, что
для некоторой
2. Покажем, что произвольное решение задачи Коши для (2.16.2) с начальным условием Покажем, что заданному начальному условию удовлетворяет вектор-функция Действительно,
Т.е. линейная комбинация удовлетворяет заданному начальному условию. Таким образом любое решение является линейной комбинацией Опр. Система Теорема (о структуре общего решения системы ЛНДУ).
|
|||||||
|