Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



ЛОДУ с постоянным коэффициентами. Характеристическое уравнение и построение общего решения по его корням (вывод для ).

⇐ ПредыдущаяСтр 23 из 28Следующая ⇒


2.11. ЛОДУ с постоянным коэффициентами. Характеристическое уравнение и построение общего решения по его корням (вывод для ).

 

,

 – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами:

.

Рассмотрим случай :

Для произвольного  найдем частное решение вида

.

.

Тогда

Опр. Уравнение  называется характеристическим уравнением ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Таким образом, при  имеем  и функция  является частным решением  является корнем его характеристического уравнения.

Построение ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами по корням характеристического уравнения.

1. Случай различных действительных корней.

Пусть  - различные корни характеристического уравнения. Тогда функции

образуют ФСР ЛОДУ.

Док-во:

 – частные решения, т.к.  - корни характеристического уравнения. Покажем, что  – линейно независимы.

 – линейно независимы.

(

При : ).

Тогда .

 

Пример.

.

Характеристическое уравнение:

,

,

,

,

.

2. Случай кратных действительных корней.

Пусть  - корень кратности , т.е.  – многочлен, причем .

Корню кратности  соответствует  линейно независимых решений:

.

Док-во: (для n=2)

Пусть  - корень кратности  характеристического уравнения

.

Тогда по теореме Виета .

 – решение, т.к.  – корень.

Покажем, что  – также решение:

.

(

 ).

Тогда

.

 – решения, линейно независимые, т.к.  – ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами 2-го порядка и кратным корнем .

Пример.

Характеристическое уравнение:

,

,

.

ФСР: .


⇐ Предыдущая18192021222324252627Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.