Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка
Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка
Пусть – ФСР. Тогда общее решение имеет вид:

– произвольные постоянные.
Док-во: нужно доказать, что для такие, что частное решение удовлетворяет начальным условиям:
.
Решение , удовлетворяющее данным начальным условиям, существует и определено на всем . линейному пространству решений и разлагается по базису линейного пространства:

2.9. Формула Остроградского-Лиувилля для ЛОДУ n-го порядка и ее следствия.

Теорема (формула Остроградского-Лиувилля).
Пусть – частные решения ЛОДУ n-го порядка на . – определитель Вронского системы решений . Тогда
.
Док-во: (для случая )
ЛОДУ 2-го порядка: 
– линейный дифференциальный оператор 2-го порядка.
Пусть – частные решения, тогда


Т.к. и – решения, то
,

,

,


Проинтегрируем от до :


Следствие 1. Если , что , то 
Следствие 2 (Для ЛОДУ 2-го порядка).
Пусть – частное решение ЛОДУ 2-го порядка. Тогда функция

- частное решение ЛОДУ 2-го порядка причем образуют ФСР.
Док-во: по формуле Остроградского-Лиувилля

Считая известным, найдем такое, что
,




, значит .
Т.к. , то линейно независимы и образуют ФСР. 

Пример.
.
– частное решение, найти 

Тогда


– произвольные постоянные.
2.10. Теорема о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка. Теорема о наложении частных решений.

– линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами 
Теорема (о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка).
Пусть – частное решение ЛНДУ . Тогда 
Док-во: нужно доказать, что такие, что функция – решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение задачи Коши существует и определено на в силу теоремы существования. Рассмотрим разность :
Т.е. – решение ЛОДУ; – ФСР ЛОДУ; 
Теорема (о наложении частных решений).
Пусть – частное решение ЛНДУ; ; – частное решение ЛНДУ; . Тогда – частное решение ЛНДУ 
Док-во: 
|