Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка

⇐ ПредыдущаяСтр 22 из 28Следующая ⇒


Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка

Пусть  – ФСР. Тогда общее решение имеет вид:

 – произвольные постоянные.

Док-во: нужно доказать, что для  такие, что частное решение  удовлетворяет начальным условиям:

.

Решение , удовлетворяющее данным начальным условиям, существует и определено на всем .  линейному пространству решений и разлагается по базису  линейного пространства:

 

2.9. Формула Остроградского-Лиувилля для ЛОДУ n-го порядка и ее следствия.

 

 

 

Теорема (формула Остроградского-Лиувилля).

Пусть  – частные решения ЛОДУ n-го порядка  на .  – определитель Вронского системы решений . Тогда

.

Док-во: (для случая )

ЛОДУ 2-го порядка:

 – линейный дифференциальный оператор 2-го порядка.

Пусть  – частные решения, тогда

Т.к.  и  – решения, то

,

,

,

Проинтегрируем от  до :

Следствие 1. Если , что , то

Следствие 2 (Для ЛОДУ 2-го порядка).

Пусть  – частное решение ЛОДУ 2-го порядка. Тогда функция

- частное решение ЛОДУ 2-го порядка причем  образуют ФСР.

Док-во: по формуле Остроградского-Лиувилля

Считая  известным, найдем  такое, что

,

, значит .

Т.к. , то  линейно независимы и образуют ФСР.

Пример.

.

 – частное решение, найти

Тогда

 – произвольные постоянные.

 

 

2.10. Теорема о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка. Теорема о наложении частных решений.

 

 – линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами

Теорема (о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка).

Пусть  – частное решение ЛНДУ . Тогда

Док-во: нужно доказать, что  такие, что функция  – решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям

.

Решение задачи Коши существует и определено на  в силу теоремы существования. Рассмотрим разность :

Т.е.  – решение ЛОДУ;  – ФСР ЛОДУ;

Теорема (о наложении частных решений).

Пусть  – частное решение ЛНДУ; ;  – частное решение ЛНДУ; . Тогда  – частное решение ЛНДУ

Док-во:

 


⇐ Предыдущая17181920212223242526Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.