|
|||
Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядкаТеорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка Пусть – ФСР. Тогда общее решение имеет вид: – произвольные постоянные. Док-во: нужно доказать, что для такие, что частное решение удовлетворяет начальным условиям: . Решение , удовлетворяющее данным начальным условиям, существует и определено на всем . линейному пространству решений и разлагается по базису линейного пространства:
2.9. Формула Остроградского-Лиувилля для ЛОДУ n-го порядка и ее следствия.
Теорема (формула Остроградского-Лиувилля). Пусть – частные решения ЛОДУ n-го порядка на . – определитель Вронского системы решений . Тогда . Док-во: (для случая ) ЛОДУ 2-го порядка: – линейный дифференциальный оператор 2-го порядка. Пусть – частные решения, тогда Т.к. и – решения, то , , , Проинтегрируем от до : Следствие 1. Если , что , то Следствие 2 (Для ЛОДУ 2-го порядка). Пусть – частное решение ЛОДУ 2-го порядка. Тогда функция - частное решение ЛОДУ 2-го порядка причем образуют ФСР. Док-во: по формуле Остроградского-Лиувилля Считая известным, найдем такое, что , , значит . Т.к. , то линейно независимы и образуют ФСР. Пример. . – частное решение, найти
Тогда – произвольные постоянные.
2.10. Теорема о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка. Теорема о наложении частных решений.
– линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами Теорема (о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка). Пусть – частное решение ЛНДУ . Тогда Док-во: нужно доказать, что такие, что функция – решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям . Решение задачи Коши существует и определено на в силу теоремы существования. Рассмотрим разность :
Т.е. – решение ЛОДУ; – ФСР ЛОДУ;
Теорема (о наложении частных решений). Пусть – частное решение ЛНДУ; ; – частное решение ЛНДУ; . Тогда – частное решение ЛНДУ Док-во:
|
|||
|