Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Случай комплексных корней кратности 1.

⇐ ПредыдущаяСтр 24 из 28Следующая ⇒


3. Случай комплексных корней кратности 1.

Пусть  – корень характеристического уравнения кратности 1 . Тогда  – также корень кратности 1. Паре корней  соответствуют 2 линейно независимых решения:

.

Док-во:

Рассмотрим комплексную показательную функцию, которую введем по формуле Эйлера

Покажем, что  при :

Тогда для функции

е.  – комплексное решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Т.к.  – решение, то , т.е. , т.е. функции

,

– решения ЛОДУ, они линейно независимы, т.к. .

Примеры.

1. .

,

,

,

.

ФСР: ,

.

2. .

,

ФСР: .

.

4. случай кратных комплексных корней (возможен только при

Пусть  – корни кратности , . Им соответствуют  линейно независимых решений:

.

2.12. Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

 

Пусть  – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ:

 –  квазимногочлен;

 – многочлен степени ;

 

Тогда  частное решение ЛНДУ (2.12.1) вида

,

 – многочлен степени ; , если  не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; если  – корень, то  равен кратности корня .

Замечание. Коэффициентыв  - неопределенные (заранее не неизвестные), находятся методом неопределенных коэффициентов.

Пример 1.

Соответствующее ЛОДУ: ,

Найдем .

;

 – корень характеристического уравнения ЛОДУ кратности

,

,

,

Чтобы найти  и , подствим функцию в ЛНДУ:

,

,

,

.

Коэффициент при  2

Коэффициент при .

Получаем СЛАУ относительно  и

Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами

 – многочлен степени ;

 – многочлен степени ;

Тогда

;  – многочлены степени ;

, если  не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ;  равен кратности корня, если  является корнем.

Пример 1.

(уравнение колебаний при наличии внешней периодической силы частоты ).

.

,

,

,
.

.

Найдем .

,

(частота внешней силы равна собственной частоте резонанс, амплитуда колебаний неограниченно возрастает).

Чтобы найти  и , подставим в ЛНДУ:

.

Коэффициент при

Коэффициент при

Пример 2.

,

,

,

,

,

,

Чтобы найти  и , подствим в ЛНДУ:

Коэффициент при .

Коэффициент при .

 

 

 


⇐ Предыдущая19202122232425262728Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.