Жоғары ретті дербес туындылар мен дифференциалдар
4.Жоғары ретті дербес туындылар мен дифференциалдар
екі айнымалының функциясы берілсін. Дербес туындылар жалпы айтқанда х және у айнымалыларының функциясы болады. Сондықтан олардан тағы да дербес туынды табуға болады. Екі айнымалының екінші ретті туындысы төртеу болады. Өйткені функциясының әрқайсысын х және у бойынша дифференциалдаймыз. Оларды былай белгілейміз.
, .
Жалпы айтқанда n-ші ретті туынды (n-1)-ші ретті туындыдан алынған бірінші ретті туынды болады. Әртүрлі айнымалысы бойынша алынған екінші ретті немесе жоғарғы дербес туындылар аралас дербес туындылар деп аталады.
Келесі 3-ші, 4-ші тағы сол сияқты ретті туындылар да осылай анықталады. Әр түрлі айнымалылар бойынша алынған жоғары ретті туындыны аралас дербес туынды дейді.
Мысал Берілген функциясының екінші ретті дербес туындыларын табайық.
, 
Енді екінші рет дифференциалдаймыз: 
Аралас дербес туындылар жөнінде мынадай теорема орындалады.
Теорема функциясы Q облысында анықталып осы облыста туындылары бар болса, және пен туындылары нүктесінде үзіліссіз болса, онда теңдігі орындалады.
функциясының Q облысында бірінші ретті үзіліссіз туындылары болса, онда функцияның толық дифференциалы деп мына формула бойынша анықталады:
,
мұндағы - тәуелсіз айнымалыларының дифференциалдары (ақырсыз аз өсімшелері).
Егер функциясының екінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болса, онда -тің бірінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болады және осы дифференциалының толық дифференциалы берілген функциясының екінші ретті дифференциалы деп аталады. Сонымен, дифференциалдау ережесін пайдаланып төмендегі формулаға келеміз:


немесе, аралас туындылардың өзара тең болатынын ескеріп,

теңдігіне келеміз. Үшінші ретті дифференциал -те және одан жоғары ретті басқа дифференциалдар да осы сияқты анықталады. Жалпы функцияның -ші ретті дифференциалы
теңдігі арқылы анықталады.
|