С этою целью рассмотрим какое-либо возмущенное движение, которому соответствуют величины ~s, числевно достаточно малые для того, чтобы условия (41) выполнялись во все время, следующее за моментом, когда t == Т.
.Пегко убедиться, что если постоянная Н достаточна мала, то при названных свойствах функции V (которую опять предположим определенно-положиельною) нельзя найти такого положительного числа l, оторое было бы меньше всех значений, получаемых функцией V в этом движении при t > Т.
В самом деле, если бы такое число существовало, то по свойствуV кан функции переменных (39), допуекающей бесконечно малый высший предел, мы нашли бы такое положительное число А., при котором было бы х > )\ ( если х попрежнему означает наибольшую из величин I », j) для всех значений t, превосходящих Т. А тогда для фуннции-V' при тех же значениях t существовал бы некоторый положительный низший предел l'.
Действительно, функцин - V', согласно допущенному, есть определенно-положительная. Поэтому постоянные Т и Н всегда можно предположить такими, чтобы при t >- Т и х < Н выполнялось условие-V' >- W', в котором W' есть некоторая независящая от положительная функция переменных х5, не уничтожающаяся при условии х < Н иначе, нан для х = О. Но этот последний случай будет исключен, если переменные xs подчинить условию
л < х < Н.
Поэтому при последнем функция W' будет иметь некоторый положительный низший предел l'.
Но если при t > Т всегда выполняется условие - V' > l', то иа уравнения (43) выведем
V<V0-l'(t-T)
для всех превосходящих Т значений t. А это невоз можно, ибо первая часть неравенства есть положитель-1
g
Г.-М~ЯПУНОВ
выведем
(51)
для всех значений t, превосходящих Т и удовлетво ряющих требованию, чтобы в промежутке от Т до условия (48) оставались постоянно выполненными.
Мы замечаем теперь, что по свойству фуннцви V
остоянную Т можно предположить достаточно большою для того, чтобы надлежащим выбором величин ~s, удовлетворяющих условиям
( s = 1, 2, ... , п),
при веяном отличном от нуля, но сколь угодно малом положительном s, постоянную V0 можно было сделать
u
оложительнои.
Если же V0-положительная величина, то по свойству V как функции, цопускающвй бесконечно малый ысший предел, найдем такое положительное число л, которое будет менее всех значений, возможных при словии (51) (когда в нем предполагается t > Т) для наибольшей х из величин ! xs 1 • А тогда, если овнаим через l какое-либо положительное число, меньшее всех значений, возможных для функции W при условии
ЕНИЛ
• 1~1. ЛЯПУНlJВ
ОБЩАЯ 3АДАЧА ОБ УСТОИЧИВОС'Тll движвния
~в
Т е о р ем а III. Если дифференциальные уравиения возмущенного движения таковы, что возможно найти ограниченную функцию V, производная которой в силу этих уравнений приводилась бы к виду:
t!V = ),V + W, dt
(53)
где } ... =положитеяьная постоянная, а W или тождественно равна нулю, или представляет некоторрю внакопостояннцю функцию, и если в последнем случае найденная функция V такова, что при всяком t, большем некоторого предела, надлежащим выбором величин Х8, насколько угодно 'Численно малых, ее можно сделать величиною одинакового знака с W, - то невоемцшенное движение неистойчиво,
Пусть найденная функция V, удовлетворяющая этим требованиям, такова, что W есть фупкцин положительная.
По свойству функций V и W найдутся такие постоянные Т и Н, при которых для всех значений переменных, удовлетворя1ощих условиям: t :> Т и
(s==1,2, ... ,п), будут выполняться следующие:
1 V 1 < L, W > О,
(54)
где L-неноторая положительная постоянная. Притом постоянную Т можем предположить достаточно большою для того, чтобы надлежащим выбором значений ~s функций xs для t == Т, насколько угодно численно малых, соответствующее значение V0 функцив V можно было сделать положительным.
Рассматривая только не меньшие Т значения t, из уравнения (53) выведем:
dV -лV>О
овщхя ЗАДАЧА О
для всех значений t, при которых условии (54) остаются выполненными.
Поэтому если от Т до t условия эти постоянно выполняются, будем иметь:
и, следовательно,
Но при положительном V0 последнее неравенств может иметь место только для значений t, меньших величины
Примечание. До сих пор мы предполагали, что для еременных х8 возможны веяние вещественные велиины, численно достаточно малые. Но могут встретиться случаи, когда, по самому значению этих переенных , для некоторых из них возможны величины олько одного из двух знаков (более сложных условий рассматриватъ не будем).
А. 1\1. лнпмнов
Для этого, конечно, дифференциальные уравнения 1) должны быть таковы, чтобы условия эти, которые удут вида
(55)
выполнялись во все время движения, будучи выпол
u
ены в начальныи момент.
В этом случае в теоремах 11 и 111,при выражении ребования относительно звана функции V, условия (55) всегда должны быть подразумеваемы. Притом во всех предыдущих теоремах терминам «внанопостоян-
ая» или << знакоопределенная функция» доста точн приписывать более условное значение, которое он получили бы, если бы в определениях предыдущег араграфа предполагалось, что переменные подчи ноны не только условиям (40), но и условиям (55) [9].
--------------~c::::a--~-co:,i---------------
ГЛАВА 11 исслвдовшив УСТАНОВИВШИХСЯ движвнии
О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
17. Определяющее уравнение. Типы решений, соответствующие простым и кратным корням его. Группы решений.Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
(s=1,2, ... ,п) (1)
с постоянными коаффициентами Psa·
Интегрирование этой системы ваппг пт от rешrнт: п алгебраичесного уравнения
Рн-х
Р]2
. . .
Р1п
Р21
Р22 --х
• • •
Р2п
Р21
Р22 --х
Р2п
==0
. .
. . . . . . . .
. . .
•
Рп1
Рп2
• • •
Рнь>: У.
V V
п-ои степени относительно неиавестнои х.
Мы будем называть это уравнение определяющим, а определитель, представлнющий первую его частъ,--основным. Рассматривая последний как функппк величины х, будем означать его через D (х).
А. м, ЛНПУНОВ
На,ндому корню х определяющего уравнения соответствует решение системы ( 1) вида
X1=-=K1ext, X2=K2ext, ... ' Xn=Knext, (2)
Мы будем говорить, что в этом случае корню х соот-
v
ветствует одна группа решении.
Случай этот представится веяний раз, когда рассматриваемый корень х не обращает в нуль по крайней 1мере одного из первых миноров основного определителя.
ОБЩАЯ ЗАДАЧАОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 97
Может случиться, что р-нратвый корень х обращает в нуль все миноры этого определителя до порядна k -1 включительно, не обращая в нуль по крайней мере одного из миноров k-го порядна.
Тогда корню этому будет соответствовать k групп независимых решений, составленных подобно предыдущей.
Высшим пределом для числа k служит число fJ,.
Этот высший предел может достигаться, и тогда все решения, соответствующие корню х, будут типа (2).
Все эти теоремы можно считать настолько хорошо всем известными, что было бы излишним приводить их доказательства, которые притом не представляют
U V
ни малеиших 3а труднении.
Заметим, что если х1, х2, ••• , xn суть все корни определяющего уравнения, то вещественные части величин
представят для уравнений (1) то, что мы назвали характеристичными числами системы линейных дифферен-
u
циальных уравнении.
18. Линейное преобразование дифференциальных уравнений н некоторому простейшему виду.Для системы уравнений (1) можно найти п независимых интегралов вида
У1Х1 + У2Х2 + · · · + УпХп, где Ys суть некоторые функции t.
Функции эти будут удовлетворять системе уравнений
