Рнь>: У. 5 страница




| | | | | | | | | Таким образом веяной системе п линейных дифференпиалъных уравнений рассматриваемого вида будет соответствовать группа п характеристичных чисел, между которыми могут быть и равные.
Пусть система уравнений ( 15) преобразовывается при помощи линейной подстановки
zs == qs1X1 + qs2X2 + • · · + qsnXn (s= 1, 2,· • •, n), обладающей следующими свойствами: все коэффициенты q s<J суть непрерывные и ограниченные функции t, ихпервые производные суть функции такого же характера, и величина, обратная составленному из этих коэффициентов определителю, есть ограниченная функция t.
Притаком преобразовании коэффициенты в преобразованных уравнениях будут обладать теми же основными свойствами, что и в первоначальных.
Нетрудно доказать, что группа характеристичных чисел преобразованной системы уравнений всегда будет тождественной с группою характеристичных чисел пе реоначаяъной,
В самом деле, по свойству рассматриваемой подстановки не только ее коаффициепты, но и коаффициенты обратной подстановки суть ограниченные функции t. Поэтому, если при посредстве соотношений между функциями х и функциями z из какого-либо
U V
решения однои системы уравнении выведем решение
| |
| | | | | | | | | | другой, то оба эти решения будут обладать одним и тем же характеристичным числом. А отсюда (в силу понятия о нормальной системе решений) следует, чта всякое число, встречающееся известное число раз в группе характеристичных чисел одной системы уравнений, необходимо встретится такое же число раз и в группе характеристичных чисел другой.
Таким образом характеристичные числа системы инейных дифференциальных уравнений по отношению R рассматриваемым преобразованиям обладают свойствами инвариантов. Теми же свойствами по отношеию к этим преобразованиям обладают и характеристичные числа функций
ef ~JJs~dt и e-f ~Pssdt.
| | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | U V
есть наидецная для нее нормальная система решении,
в которой j-oe решение обладает характеристичным числом ) ... j.
Означая через ~ определитель, составленный из функций Xij, допустим, что все функции
| | | | | | | | | | | | | суть ограниченные.
Можно показать, что при этом условии система ~уравнений (15) есть приводимая.
В самом деле, означая минор определителя Л, соответствующий элементу xu, через Ли, из предыдущего условия выводим, что все функции
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |





| | | | | | | | | | | О НЕКОТОРОМ ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИ11 ВОЗМУЩЕННОГО движвнин
11. Определение некоторого нового типа рядов, расположенных по степеням постоянпых произвольных.Обращаемся теперь н уравнениям (1).
Рассматривая попрежнему только вещественные значении t, не меньшие некоторого предела t0, будем предполагать в этих уравненилх все коэффициенты Psa, ps·m1, т2, ... , тп) непрерывными и ограниченными
вещественными функциями t. Притом будем предполагать, что могут быть найдены такие положительные постоянные М и А, при которых для рассматриваемых а начений t будут справедливы неравенства
| | | | Допустим, что система дифференциальных уравнений, соответствующая первому приближению, есть правильная и что
Л 1' Л 2' • • . , /, n
суть характеристичные числа этой системы.
Мы покажем, что, выбирал из этих чисел какиел ибо k
(24)
можно составить формально удовлетворяющие уравнениям: (1) и содержащие k постоянных проиввольных
| | | | | | | | | |



| | | | ОБЩАЯ 3АДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ движвния
| | | | где L/m1, т2, ···, mk: суть не зависящие от постоянных ai непрерывные функции t, характеристичпые числа которых не менее нуля, причем суммирование распространяется на все целые неотрицательные значения чисел ni1, ni2, ••• , mk, подчиненные yc;ronиro
т1 +- т2 + ... + т1с > О.
Мы будем затем исключительно рассматривать тот случай, когда выбранные характеристичные числа (24) все положительны, и в этом предположении покажем что при всяких о:1, cr.2, ••• , (/.k, модули которых не превосходят некоторого предела, ряды (25) будут абсолютно сходящимися и представят функции, действительно ~довлетворл1ощие уравнениям (1) для всех значений t превосходящих t0•
Обращаемся н формулам § 3.
Допустим, что система частных решений уравнений (6), которою мы там пользовались, есть нормальная п что решение
| | | | обладает характеристичным числом лs (s-::::-: 1, 2, ... , п).
Полагаем
(s==1, 2, ... ,п).
| | | | |


| | | | | | | | | | | постоянных под видом целых однородных функций
V
п~-ои степени.
Пусть
| | | | | л.. ~ (
r J R, т ) Т rn 1 , m 2 , ••• , т ,'.) ,., т 1 ,., m J 1У т k
Д i =-= ij ~ \А,1 \А,1 •• • .,,..k '
| | | | | где Т суть функции t, не зависящие от постоянных rJ.5• Тогда, делая
| | | | | п п
х~т) = ~ ~ X8j ~ ~i R~m) dt,
i=1j=1
\ длii R\m)dt. = ~ а.т1 ат2 ..• amk fTi1.rm.1, т2, ••• , mk) dt,
~ l 1 2 k )
| | | | | | | | | в котором поби.нтеераяъная фун-,;,цил обладает положительным характеристичным числом, будем брать в пределах от + со до t. Что же касается тех, для когорых характеристичные числа подинтегральных функций отрицательны или нули, то, вообще делая
~ T}i1, m2,••. ' mk) dt = t
= ~ T}i1, m2,..• , mk)dt + C~jl• m2,•.• , mk>,
to
| | | | | будем только предполагать, что постоянным С приписываются накие-либо не зависящие от постоянных as определенные значения.
Рассматриваемые интегралы будут при этом обладать характеристичными числами, не меньшими характеристичных чисел соответствующих поцинтегральных функций (лемма VIII).
| |


| | | | | | | | | | | | | Желая придать им вид (25), мы лолжны будем сделать:
| | | | | | | | | то по свойству величин R~m) ааключим (леммы IV, V), что характеристичное число функции T}j1' т2, ••• , mk), для которой
| | | | |



| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | а следовательно, и характеристичное число интеграла ~ тf Т" щ2, ••• ' m k) dt
| | | | | | | | | Отсюда же выведем, что характеристичное число всякой функции L, для которой сумма значков m i равна 1n, не менее нуJ1я.
Поэтому рассматриваеl\1ое свойство функций l;, будучи справедливым в случае ~ mi =-: 1,справедливо вообще.
Примечание. Чтобы пригти н таному результату, очевидно нет надобности при составлении рядов (25) интегрировать в пределах от + со до t непременно каждую из функций T{j1' тз,.,.' т,) с положительным харантеристичным числом. Достаточно интегрировать н таких пределах только те из них, для которых
т1л1 + т2)·2 + · · · + mkл.k-) j > О.
12. Теорема о сходимости рядов.Переходя теперь н вопросу о сходимости рядов (25), будем предполагать, что все взятые для составления их характеристичные числа (24) положительны.
При этом лля упрощения игследопания примем l0 == О.
Тогда цокажется следующее предложение.
Т е о р е м а. Если, разумея под s некоторцю положитмъную . постоянную, сделаем
| | | | | | | | | | | | | | и величины ГJ.8 в рядах (25) заменим следующими отсюда их выр ажениями, то получим новые ряды
| | | | | _ ~ Q(m1, n:2, ••• , mk) m1qm~ qmk
Xs - ~ s q1 'l · • • k
(s == 1, 2, ... , п),
| | | | | | |

| | | | | | ОБЩАЯ ~АДАЧАОБ УСТОИЧИВОСТИ ДВИН{ЕНИН расположенные по восходящим степеням величин q 8, которые будут такого свойства, что при всяком ~, как бы оно мало ни было, найдится такие поло жительные постоя.нные Q:m1, т2, · · · , mk), при которых для всех неотрицательных вначений t будут справедливы нер а-
венства
| | | | | | | | | (27)
будеп~ абсолютно сходящимся, пока моду.ли величин, qs не превосходят некоторого отяичного 01n пуля предела q.
Будем рассматривать только такие положительные значения е, которые менее каждого из чисел
| | | | | Тогда найдется такое целое положительное число l, что все выражения
т 1 (), 1 - s) -J- т2 ()-. 2 - г) + . . . + mk ( i. k - е) - л j + е (j == 1, 2, ... , п)
| | | | | |



| | | | | | | | | | | | | | | | Пусть такие пределы, которые притом предположим не зависящими от s и означим через Q<m1, т2, ···, 1111<),
V
наидены для всех тех из них, для которых
т1 + т2 + ... + mk < l.
Между ними будут между прочим функции (л. - a+·IJ) t
Xije 1 •
Если же предположим еще JJ > ; , то и для модулей фуннций
| | | | | |
| | | | | | | | | | | | | ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯТогда, полагая для сокращения
т1л1 + т21-..2 + ... + mkл.k- та= N, из (29) выведем:
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | для которых сумма значков r 1, r-~, ... , Р» не более 1п. Притом относительно величин (31) степень каждого члена этой функции не ниже второй.
| |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | ОБЩАЯ 3АдАЧА ОБ }'·стоnчивости ДВИН'\ЕНИЯ
| | | | | | | | | Но, выбирая достаточно большие величины для К и К' или достаточно малую величину для 11, очевидно, можем достигнуть того, что величины Q, определяемые но этой формуле для аначков, удовлетворяющих условию
1 < т1 + т2 + ... + mk < l,
будут не менее тех, которые мы нашли для них раньше.
Поэтому, заменяя последние, если это необходимо, большими величинами и означая через G некоторую достаточно большую положительную постоянную, можем сделать
Q(т1, т1., •••, тk) = GR(ml' ml., ••• , тk) . (33)
для вся них т., m2, ••• , mk, сумма кого рых больше 1. Для тех же, сумма ноторых равна 1, можем положить
Q(m1,m2, , •• , mk) == /(.
| | | | | Оаначим сумму
~Q(m1,m2, ••• , тk) q~l q~12 •..q'f:k,
| | | | | | | | | .,
расположенныи по восходящим степеням величин q8,
будет обладать членами, модули :которых более модулей
| |
| | | | | | | | | соответственных членов каждого из рядов (26) для веяного положительного t (они будут даже более этих модулей, умноженных на е111).
Но ряд (34) можно рассматривать как расположен-
u
ныи по восходящим степеням величины
ql + q2 + • • • + qk,
и если, согласно замеченному в предыдущем параграфе за высший предел числовых значений величин (32) примем следующую
]у]
| | | | то ряд этот, по существу, не будет отличаться от того, н исследованию которого привелся вопрос в § 4.
Поэтому, если остановимся на такой гипотезе, то наверно найдется такая положительная величина q, что для всяких q1, q2, ••• , qk, удовлетворяющих условиям
(s===1, 2, ... , k),
ряд (34) будет абсолютно сходящимся.
Теорема, следовательно, доназана.
След ст в и е. Можно найти такую пояо жителънрю постоянную а, что при есяниа а.1, а.2, ••• , а.;\, удовлетворяющих усJ1овиям
1 cts\-<~ (s= 1, 2, ... , k),
и для всякого неотрицательного t ряды (25) буду,п абсолютно сходящимися, представляя притом неп.реывн ые фу нкц ии t.
Что функции эти удовлетворяrот уравнениям ( 1), докажется гак же, на 1, в § 4.
Примечание. Если система дифференциальных уравнений первого приближения не есть правильная . то означая через S сумму всех ее характеристичны.>.
| |
|