Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

Пример 10

Прямоугольная дверь ABCD весом Р=640 Н, имеющая вертикальную ось вращения АВ, крепится с помощью цилиндрического шарнира в точке А и подпятника в точке В. Дверь открыта на угол САЕ =  и удерживается в этом положении двумя веревками, одна из которых прикреплена к двери в точке С, перекинута через блок Е и натягивается с помощью груза К весом , а другая  прикреплена к двери в точке D и закреплена в точке F пола под углом 60º к двери. Ширина двери l = АС = 1,8 м, высота h = AB = 2,4 м.

Определить натяжение Т веревки DF , а также реакции цилиндрического шарнира А и подпятника В.

Решение

1. Выберем в качестве ОР дверь ABCD (см. рис. 82).

Рис. 82

    2. Обозначим на рисунке заданные внешние нагрузки, действующие   на дверь: силу тяжести  и силу натяжения нити СЕ , равную по величине весу груза К.

3. Реакцию цилиндрического шарнира в точке А разложим на две составляющих , реакцию подпятника в точке В разложим на три составляющих  , силу натяжения веревки DF  направим вдоль веревки.

4. Получили пространственную произвольную систему сил, для которой справедливы шесть независимых уравнений равновесия. Выберем три оси декартовой системы координат и перейдем к составлению уравнений равновесия.

На первых порах при решении пространственных задач статики полезно рисовать вспомогательные рисунки, на которых проекции объекта равновесия и действующих на него сил на координатные плоскости. Такие рисунки облегчают вычисление моментов сил относительно координатных осей. Можно составлять уравнения равновесия и без вспомогательных рисунков, но при вычислении моментов сил относительно осей координат нужно научиться мысленно представлять такие рисунки.

Посмотрим на дверь и действующие на нее силы со стороны оси x. Проекцию двери и проекции действующих сил на плоскость yz изобразим на рис. 83. Такой вспомогательный рисунок позволяет вычислять моменты сил относительно оси x как алгебраические моменты изображенных на нем проекций сил относительно точки В.

Рис. 83

Составим с помощью рис. 83 три уравнения равновесия:

Изобразим теперь проекцию двери и действующих сил на плоскость xz, посмотрев навстречу оси y.

Рис. 84

С помощью рис. 84 составим еще два уравнения равновесия:

Для записи последнего уравнения равновесия изобразим еще один вспомогательный рисунок (проекция двери и действующих на нее сил на плоскость xy).

Рис. 85

С помощью рис. 85 составим последнее уравнение равновесия:

Решая полученную систему шести уравнений, найдем величины искомых сил:  

§ 6.3. Непрерывно распределенная нагрузка

В механике рассматривают три вида силовых нагрузок:

1) сосредоточенная сила (сила) – силовая нагрузка, приложенная к телу в определенной точке и изображаемая в виде вектора;

2) пара сил – система из двух сил, подробно рассмотренная в главе 4;

3) непрерывно распределенная нагрузка – силовая нагрузка, действие которой распределено вдоль линии, по поверхности или по объему тела.

В данном параграфе рассмотрим последний вид силовых нагрузок.

Действие непрерывно распределенной нагрузки на тело характеризуется интенсивностью q, то есть, величиной силы, приходящейся на единицу длины, поверхности или объема.

Рассмотрим далее только простейший вид такой нагрузки – нагрузку из параллельных сил, непрерывно распределенную вдоль отрезка прямой линии.

Действие такой нагрузки на тело принято изображать в виде эпюры.

Рис. 86

Покажем далее, как такую нагрузку заменить одной равнодействующей силой. Для этого отрезок  разобьем на элементарные отрезки длиной . Действующая на каждый такой отрезок нагрузка может быть приближенно заменена сосредоточенной силой  (см. рис. 87), величина которой равна .

Рис. 87

(77)

Для нахождения точки приложения силы  применим теорему Вариньона, согласно которой момент относительно точки  равнодействующей силы  равен сумме моментов относительно точки  элементарных сосредоточенных сил . Из этой теоремы после предельного перехода при  получим

Отсюда найдем расстояние от начала координат до точки приложения равнодействующей силы

(78)

С помощью формул (77), (78) можно находить равнодействующую силу для непрерывно распределенной нагрузки с произвольной эпюрой. Рассмотрим применение этих формул на примере двух важных для практики простейших случаев.

Пусть на отрезке длиной  распределена нагрузка с постоянной интенсивностью  (см. рис. 88). Вычисляя в этом случае величину равнодействующей и расстояние  по формулам (77), (78), получим

(79)

Рис. 88

Рассмотрим теперь нагрузку, у которой интенсивность на отрезке  возрастает по линейному закону от нуля до максимального значения  (см. рис. 89). В этом случае закон изменения интенсивности запишется в виде

Рис. 89

Величина равнодействующей найдется по формуле (77)

Для расстояния  из (78) получим

§ 6.4. Равновесие системы тел

Пусть в равновесии находится составная конструкция, состоящая из  твердых тел определенным образом соединенных друг с другом. Для того, чтобы составить полную систему независимых уравнений равновесия такой конструкции, нужно поочередно в качестве объекта равновесия выбрать каждое из тел конструкции, в соответствии с видом действующей системы сил записать для каждого тела независимые уравнения равновесия (см. табл. 1) и после этого все полученные уравнения равновесия объединить в одну общую систему уравнений.

В процессе решения задачи при обозначении на рисунках реакций внутренних связей (сил взаимодействия между телами конструкции) следует учитывать аксиому равенства действия и противодействия.

Обозначим через  число независимых уравнений равновесия составной конструкции. Пусть в местах соединения тел, входящих в конструкцию, и во внешних опорах имеется  независимых компонент реакций внутренних и внешних связей. В зависимости от соотношения между  и  в механике принята следующая классификация конструкций.

Если , то конструкция называется статически определимой.

Для статически определимой конструкции все реакции внешних и внутренних связей можно найти из уравнений статики. Число независимых уравнений совпадает с числом неизвестных реакций.

Если , то конструкция называется статически неопределимой.

Для статически неопределимой конструкции из уравнений статики реакции связей найти не удается, так как число независимых уравнений равновесия меньше числа неизвестных реакций. Для изучения равновесия таких конструкций к уравнениям равновесия статики добавляют  уравнений совместности деформаций, изучаемых в сопротивлении материалов.

Если , то конструкция называется механизмом с  степенями свободы.

Равновесие механизма всегда будет шатким (неустойчивым). Для его реализации внешние активные силы не могут быть произвольными, а должны удовлетворять  условиям, вытекающим из уравнений равновесия.

Приведем примеры, поясняющие введенную классификацию составных конструкций.

Рассмотрим находящуюся в равновесии конструкцию, состоящую из двух стержней  и , соединенных в точке  с помощью шарнира (см. рис. 90). В качестве внешних опор выступают жесткая заделка в точке  и подвижная шарнирная опора в точке . Внешними нагрузками являются сила , приложенная к стержню  и пара сил с моментом , приложенная к стержню . В соответствии с изложенной методикой выберем в качестве объектов равновесия поочередно стержни  и , обозначив действующие на каждый из них внешние силы, включая реакции связей (см. рис. 91, 92).

Рис. 91

Рис. 90

Рис. 92

Рис. 93

Рис. 94

Рис. 95

Для стержня  изменится реакция в опоре , которую в данном случае следует разложить на две составляющих , . На каждое из тел конструкции по-прежнему действует произвольная плоская система сил. Общее число независимых уравнений равновесия будет . Независимыми компонентами реакций связей в данном случае будут , , , , , , , их количество . Получили , следовательно, конструкция, изображенная на рис. 89, будет статически неопределимой.

Рис. 96

Выбрав в качестве объектов равновесия стержни  и , обозначим действующие на них внешние силы (см. рис. 97, 98). Как и в двух предыдущих случаях на каждое из тел действует плоская произвольная система сил и общее число независимых уравнений равновесия этой конструкции будет .

Рис. 97

Рис. 98

Рис. 99

Глава 7. Трение и фермы

§ 7.1. Трение скольжения

Как отмечалось ранее, если в качестве связи для несвободного тела выступает шероховатая поверхность, то силу реакции  удобно раскладывать на две составляющих. Одну из них , перпендикулярную касательной плоскости, проведенной в точке контакта тела с опорной поверхностью, называют нормальной реакцией, а другую , лежащую в касательной плоскости, называют силой трения скольжения (см. рис. 99).

В теоретической механике рассматривают только сухое трение, когда между соприкасающимися поверхностями нет смазывающего вещества. Но даже в этом случае величина силы трения определяется явлениями механического, электрического, термического, внутримолекулярного характера и детальное изучение трения относится к области физики. Точные формулы здесь очень сложны. В технике обычно используют приближенные законы сухого трения, установленные Ш. Кулоном опытным путем в 1781 г.

1. Сила трения скольжения расположена в общей касательной плоскости, проведенной в точке контакта тела с опорной поверхностью, и направлена в сторону, противоположную направлению скольжения тела (возможного скольжения в случае покоя) под действием активных сил. Величина силы трения в случае покоя зависит от активных сил и может изменяться от нуля до максимального значения, достигаемого в момент выхода тела из положения равновесия:

2. Максимальная сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению (нормальной реакции)

где безразмерный коэффициент  называют коэффициентом трения скольжения.

3. Коэффициент трения скольжения не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей.

Рис. 100

Многие задачи на равновесие тела на шероховатой поверхности удобно решать геометрически. Для этой цели введем понятие угла и конуса трения.

Пусть твердое тело под действием активных сил находится на шероховатой поверхности в предельном положении равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения при данном значении нормальной реакции (см. рис. 100).

В этом случае полная реакция шероховатой поверхности  отклонена от нормали к общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол , который называют углом трения.

Из рисунка видно, что

то есть, тангенс угла трения равен коэффициенту трения.

 Конусом трения называют конус, описанный полной реакцией, построенной на максимальной силе трения, вокруг направления нормальной реакции. Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то конус трения круговой.

Можно сформулировать условия равновесия тела на шероховатой поверхности, используя конус трения. Если активные силы, действующие на тело, приводятся к равнодействующей силе , то при равновесии тела на шероховатой поверхности равнодействующая активных сил уравновешивается полной реакцией  шероховатой поверхности. По аксиоме о равновесии двух сил, приложенных к твердому телу, эти силы равны по величине и направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой. Полная реакция проходит через вершину конуса трения, следовательно, через эту вершину проходит и равнодействующая активных сил (см. рис. 100).

Рис. 101

Поэтому условие равновесия тела на шероховатой поверхности можно сформулировать в виде:

для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину (см. рис. 101).

Тело нельзя вывести из равновесия любой по величине активной силой, если ее линия действия проходит внутри конуса трения через его вершину.

§ 7.2. Трение качения

При качении цилиндрического катка по опорной плоскости и наличии деформации этих тел соприкосновение катка с плоскостью фактически происходит не вдоль одной образующей, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке (см. рис. 102).

Рис. 102

Если активные силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, то они вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей и можно изучать только одно среднее сечение катка. Далее будем придерживаться этого предположения и изображать среднее сечение катка в плоскости рисунка.

Рис. 103

Если эти распределенные силы привести к центру , то вместо распределенной нагрузки получим главный вектор  с составляющими  (нормальная реакция) и  (сила трения скольжения), а также пару сил с моментом , который называют моментом сопротивления качению (см. рис. 103).

Для трения качения установлены приближенные законы аналогично законам трения скольжения.

1. Если каток находится под действием активных сил, стремящихся катить его по опорной поверхности, то возникает пара сил, препятствующая качению, момент которой направлен противоположно угловой скорости катка (в случае покоя катка – противоположно возможной угловой скорости под действием приложенных сил). В случае покоя момент этой пары сил (момент сопротивления качению) зависит от действующих сил и может изменяться от нуля до некоторого максимального значения, достигаемого в момент начала качения катка по опорной поверхности:

2. Наибольший момент сопротивления качению пропорционален нормальному давлению:

Коэффициент пропорциональности  называется коэффициентом трения качения и имеет размерность длины.

3. Коэффициент трения качения в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

4. Коэффициент трения качения зависит от материала и физического состояния поверхностей катка и опорной поверхности.

Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и опорной поверхности, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке.

Сформулированные выше законы трения скольжения и законы трения качения справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся тел и опорных поверхностей.

§ 7.3. Расчет ферм

Фермой называется геометрически неизменяемая конструкция, состоящая из достаточно легких прямолинейных стержней (весом которых по сравнению с внешними нагрузками можно пренебречь), соединенных между собой с помощью шарниров, которые называются узлами фермы. При этом внешние нагрузки приложены только в узлах фермы.

Далее будем рассматривать только плоские фермы. Можно доказать, что плоская ферма будет статически определимой, если выполняется равенство

(80)

где  – число стержней,  – число узлов фермы.

Расчет фермы осуществляется в два этапа.

На первом этапе определяются реакции внешних опор. Для этого в качестве объекта равновесия выбирается вся ферма в целом и составляются соответствующие уравнения равновесия.

На втором этапе определяются усилия в стержнях фермы. Эти усилия действуют со стороны стержней на узлы фермы и направлены вдоль соответствующих стержней в ту или другую сторону в зависимости от физического состояния стержня (он может быть сжат или растянут). Расчет усилий в стержнях может осуществляться тремя способами.

1) Метод вырезания узлов

Здесь в качестве объектов равновесия поочередно выбираются узлы фермы. При этом каждый раз рекомендуется выбирать такой узел, на который действует не более двух стержней с неизвестными усилиями.

2) Метод сечений (Риттера)

В этом случае мысленно проводят сечение фермы, разделяющее ее на две части. В качестве объекта равновесия выбирают одну из частей фермы. При этом сечение следует проводить так, чтобы оно пересекало не более трех стержней с неизвестными усилиями.

 3) Графический метод (построение диаграммы Максвелла-Кремоны)

Этот метод будет подробно пояснен ниже при рассмотрении примера решения задачи.

Пример 11

Задана плоская ферма, изображенная на рис. 100. Внешними нагрузками являются силы  и , заданные углы показаны на рисунке. Требуется определить реакции опор и усилия во всех стержнях фермы.

Решение

Рис. 104

Для данной фермы число стержней  (их номера показаны на рис. 104 арабскими цифрами) и число узлов  (их номера показаны на рис. 104 римскими цифрами). Условие (80) выполняется, следовательно, ферма является статически определимой.

Начнем с определения опорных реакций. Выберем в качестве объекта равновесия всю ферму. Действующие на нее внешние нагрузки (силы  и ) уже показаны на рис. 100. Мысленно отбросим связи, заменив их действие соответствующими реакциями: неподвижный шарнир в точке  заменим двумя составляющими реакции , , стержневую опору в точке  заменим реакцией  (см. рис. 104). Выберем оси координат и составим уравнения равновесия (для краткости обозначим длину стержня 1 через ):

Из первого уравнения найдем , из третьего уравнения . Далее из второго уравнения найдем .

Рис. 105

Выберем в качестве объекта равновесия узел  (см. рис. 105). На этот узел действует реакция стержневой опоры  и два стержня 6 и 7. Здесь и далее будем направлять усилия, действующие со стороны стержней на узел, от узла вдоль соответствующего стержня, считая стержни растянутыми. Тогда стержни, в которых усилия при расчетах получились положительными, будут растянутыми, а стержни с отрицательными усилиями будут сжатыми. Выберем оси координат и составим для полученной плоской сходящейся системы сил два уравнения равновесия:

Решая эту систему уравнений, найдем , .

После этого применим метод сечений, мысленно проведя через стержни 1, 3 и 4 сечение, разрезающее ферму на две части. В качестве объекта равновесия выберем правую часть фермы (см. рис. 106).

Рис. 106

На этот объект действуют заданная сила , реакция стержневой опоры  и три стержня 1, 3 и 4. Выберем оси координат и для полученной плоской произвольной системы сил запишем три уравнения равновесия:

Решая эту систему уравнений, найдем , , .

Для нахождения усилия в стержне 5 выберем далее в качестве объекта равновесия узел  (см. рис. 107). На этот узел действуют три стержня 4, 5 и 6.

Рис. 107

Отсюда найдем .

Для нахождения усилия в стержне 2 выберем в качестве объекта равновесия узел  (cм. рис. 108). На этот узел действуют три стержня 2, 3, 4 и заданная сила . Обозначим на рисунке соответствующие силы, выберем оси координат и запишем для нахождения  одно уравнение равновесия:

Отсюда найдем .

На этом расчет фермы закончен. Найдены реакции опор и усилия во всех стержнях фермы.

Рис. 108

Далее на примере той же фермы разберем

графический метод нахождения усилий в стержнях фермы с помощью диаграммы Максвелла-Кремоны.

Рис. 109

Для этого изобразим на отдельном рисунке контур фермы, приложим к нему в соответствующих узлах заданные внешние силы и найденные реакции опор, вынося их за контур фермы. Для опорных реакций указываем их истинное направление с учетом полученных при вычислениях знаков (см. рис. 109).

После этого ограничим на рисунке внешние области между обозначенными силами. Далее обозначим полученные внешние области большими буквами латинского алфавита , , , , . Внутренние области фермы, заключенные между ее стержнями, также обозначим буквами , , . Выберем направление обхода фермы, указав его стрелкой на рисунке (на рис. 109 направление обхода выбрано по часовой стрелке).

Переходим теперь непосредственно к построению диаграммы. На этой диаграмме каждой из областей рисунка 109 будет соответствовать точка, обозначенная такой же малой буквой латинского алфавита. Выбрав масштаб сил, проведем построение диаграммы на рис. 110.

Вначале строим многоугольник внешних сил, обходя внешние области в выбранном направлении. Начнем построение диаграммы с точки , соответствующей внешней области .

Рис. 110

Двигаясь вокруг фермы в выбранном направлении, из области  попадаем в область , пересекая силу . На диаграмме для получения точки , соответствующей области , нужно из точки  в направлении силы  в выбранном масштабе провести отрезок, равный величине силы . Продолжая обход внешних областей фермы, аналогично строим на диаграмме точки ,  и . Отметим, что при правильном нахождении опорных реакций многоугольник внешних сил должен получиться замкнутым, то есть, при проведении на диаграмме из точки  отрезка, равного силе , мы должны попасть в точку  (начало построения).

После этого строим на диаграмме точки, соответствующие внутренним областям фермы. Начинать построение нужно с такай внутренней области, которая граничит с двумя внешними областями. Такой областью, например, является область . Она граничит с областью  (границей является стержень 6) и с областью  (границей является стержень 7). Для построения соответствующей точки  на диаграмме нужно через точку  про