Пример 10 4 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8Следующая ⇒

где вектор перпендикулярен отрезку и направлен противоположно вектору . Найдем модуль вектора

Таким образом, получаем, что . Мгновенный центр скоростей (точка ) построен. Теорема доказана.

Если мгновенный центр скоростей известен, то приняв его за полюс, для точки плоской фигуры получим

(46)

Рис. 37

причем скорость

перпендикулярна к отрезку

. Аналогично и для любой другой точки

(47)

и вектор перпендикулярен отрезку (см. рис. 37).

Из (46) и (47) следует, что

(48)

(49)

Следовательно, скорости точек фигуры при плоском движении могут вычисляться как при вращении этой фигуры в данный момент вокруг мгновенного центра скоростей с угловой скоростью .

Таким образом, если построен МЦС и найдена угловая скорость, вычисление скоростей точек тела при плоском движении существенно упрощается. Угловая скорость обычно находится после построения МЦС по формуле (48). Рассмотрим далее основные способы построения МЦС.

Основные способы построения МЦС

1. Один способ уже рассмотрен при доказательстве теоремы о существовании МЦС.

Рис. 38

2. Визуальный способ. Иногда сразу удается указать точку плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Например, в случае качения тела по неподвижной поверхности без проскальзывания точка контакта тела с неподвижной поверхностью имеет нулевую скорость и является мгновенным центром скоростей. На рис. 38 точка

является мгновенным центром скоростей для тела 2.

3. Если известны направления скоростей в двух точках тела, то, как видно из рис. 37, мгновенный центр скоростей найдется как точка пересечения перпендикуляров к скоростям этих точек тела. Этот способ нахождения МЦС чаще всего используется на практике. Здесь следует отметить два частных случая.

3.а. Если точки лежат на общем перпендикуляре к скоростям этих точек, нужно дополнительно знать величины скоростей. В этом случае МЦС найдется как точка пересечения общего перпендикуляра к скоростям и прямой, проведенной через концы векторов скоростей точек, изображенных в выбранном масштабе (см. рис. 39). Этот способ построения следует из пропорциональности скоростей точек тела расстояниям от этих точек до МЦС (см. формулу (49)).

3.б. Если перпендикуляры к скоростям точек тела (случай 3) или общий перпендикуляр к скоростям точек и прямая, проведенная через концы векторов скоростей, (случай 3.а) параллельны, то говорят, что МЦС находится в бесконечности (см. рис. 40).

Рис. 39

Рис. 40

В этом случае движение тела называют мгновенно-поступательным. При мгновенно-поступательном движении угловая скорость тела равна нулю

и скорости всех точек тела равны по величине и одинаково направлены

Заметим, что при мгновенно-поступательном движении в отличие от поступательного траектории различных точек тела и их ускорения не будут одинаковыми.

Пример 6

Кривошип длиной вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . C помощью шатуна кривошип приводит в движение диск радиуса , катящийся по горизонтальной плоскости без проскальзывания. В положении, указанном на рисунке 41 (когда кривошип вертикален, а шатун горизонтален), найти угловую скорость диска и скорости точек и .

Рис. 41

Решение

Вычислим вначале скорость точки

Покажем вектор на рисунке, направив его перпендикулярно и согласовав по направлению с направлением угловой скорости . Шатун совершает плоское движение. Построим для шатуна мгновенный центр скоростей. Проведем перпендикуляры к скоростям точек и (при этом учтем, что скорость точки направлена горизонтально, так как траекторией этой точки является горизонтальная прямая). Проведенные перпендикуляры параллельны. Следовательно, мгновенный центр скоростей шатуна находится в бесконечности и скорости точек и равны по величине

и одинаково направлены. Покажем вектор на рисунке. Так как диск катится без проскальзывания, то его МЦС находится в точке контакта с опорной поверхностью (точка на рисунке). Найдем теперь угловую скорость диска

Покажем ее на рисунке, согласовав по направлению со скоростью точки . Далее легко вычислить величины скоростей точек и диска

Покажем векторы и на рисунке, направив их перпендикулярно отрезкам и и согласовав по направлению с .

§ 4.4. Ускорения точек тела при плоском движении

Теорема сложения ускорений при плоском движении тела

Ускорение любой точки плоской фигуры может быть найдено как геометрическая сумма ускорения полюса и ускорения точки при ее относительном вращении вокруг подвижной оси, мысленно связанной с полюсом.

Доказательство

Рассмотрим движение точки плоской фигуры как сложное, связав поступательно перемещающуюся подвижную систему координат с полюсом . Тогда ускорение точки можно найти по теореме Кориолиса:

(50)

Так как переносное движение является поступательным вместе с полюсом , то переносное ускорение

и переносная угловая скорость . Поэтому ускорение Кориолиса

Рис. 42

Относительное ускорение точки при относительном вращении вокруг полюса обозначим

Тогда формула (50) примет вид

(51)

что и доказывает теорему.

Поясним более подробно векторное равенство (51). Ускорение при относительном вращении вокруг полюса состоит из нормальной и тангенциальной составляющих (см. рис. 42)

Поэтому более подробно векторное равенство (51) можно записать в виде

(52)

Причем

Отметим, что полное относительное ускорение составляет с отрезком угол , тангенс которого можно определить по формуле (см. рис. 42)

(53)

Из формулы (53) следует, что угол для всех точек плоской фигуры одинаков. От ускорения к отрезку его надо откладывать в направлении углового ускорения .

Таким образом, с помощью формулы (52) можно вычислить ускорение любой точки плоской фигуры, если известны ускорение полюса , угловая скорость и угловое ускорение .

§ 4.5. Мгновенный центр ускорений

Теорема о существовании мгновенного центра ускорений

В любой момент времени при плоском движении фигуры в ее плоскости, если и не равны нулю одновременно, существует единственная точка подвижной плоскости, мысленно связанной с фигурой, ускорение которой равно нулю. Эту точку называют мгновенным центром ускорений (МЦУ).

Доказательство

Рис. 43

При доказательстве укажем конкретный способ построения МЦУ. Пусть известны ускорение какой-либо точки плоской фигуры

, ее угловая скорость

и угловое ускорение

(см. рис. 43).

Вычислим угол по формуле

Мысленно повернем вектор на угол в сторону и проведем из точки луч в полученном направлении. Отложим на этом луче расстояние , вычисленное по формуле

Найдем далее ускорение точки по теореме сложения ускорений, выбрав в качестве полюса точку ,

Величина ускорения точки при ее относительном вращении вокруг полюса равна

Вектор будет направлен под углом к отрезку , как показано на рис. 43. Поэтому и для ускорения точки имеем

Следовательно, точка является мгновенным центром ускорений. Теорема доказана.

Если мгновенный центр ускорений выбрать в качестве полюса, то для ускорения точки плоской фигуры из (51) получим

Для модуля ускорения точки имеем

Рис. 44

Вектор

направлен под углом

к отрезку

, причем поворот от вектора

к отрезку

на угол

осуществляется в направлении углового ускорения

(см. рис. 44).

Аналогично для точки

и ускорение также направлено под углом к отрезку .

Из двух последних формул следует, что

т.е. ускорения точек плоской фигуры при плоском движении пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений.

Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что

ускорения точек плоской фигуры при плоском движении можно находить так же, как и при ее вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений.

Пример 7

В кривошипно-шатунном механизме даны длина кривошипа , длина шатуна и постоянная угловая скорость вращения кривошипа . Для заданного положения механизма, когда кривошип составляет с вертикалью угол и шатун перпендикулярен кривошипу (см. рис. 45), найти ускорение поршня , а также положение МЦУ для шатуна .

Рис. 45

Решение

Найдем сначала ускорение точки . Так как кривошип вращается с постоянной угловой скоростью, то

Изобразим вектор на рис. 45, направив его к оси вращения. Выбрав точку в качестве полюса, ускорение точки можно найти по теореме сложения ускорений (формула (52))

(54)

Нормальное ускорение точки при ее относительном вращении вокруг полюса равно:

Для нахождения угловой скорости построим мгновенный центр скоростей для шатуна (точка на рис. 45), восстановив перпендикуляры к направлениям скоростей точек и . После этого можем вычислить

Теперь можно найти

Вектор направим от точки к полюсу .

Для двух оставшихся векторов в равенстве (54) известны линии действия. Вектор направлен по горизонтали вдоль траектории точки . Вектор направлен перпендикулярно шатуну по касательной к относительной траектории точки . Точное направление этих векторов неизвестно, поэтому направим их вдоль указанных линий действия наугад: вектор – по горизонтали вправо, вектор – перпендикулярно вверх (см. рис. 45). Выберем оси координат и векторное равенство (54) в проекциях на эти оси:

Так как направления векторов и выбраны наугад, то в записанных формулах их модули заменены соответствующими алгебраическими значениями и , которые могут быть как положительными, так и отрицательными величинами. Решая эту систему уравнений, найдем

Полученные результаты показывают, что вектор направлен на рис. 45 верно, а направление вектора следует изменить на противоположное. Для модулей этих векторов имеем

Построим теперь МЦУ для шатуна . Вычислим сначала угловое ускорение

Изобразим на рис. 45 в виде дуговой стрелки, согласованной с направлением вектора . Найдем далее угол

и расстояние от точки до МЦУ

Построим теперь точку на рис. 45, повернув вектор на угол в направлении и отложив на полученном луче расстояние .

Если теперь соединить МЦУ с точкой , то вектор должен составлять с отрезком такой же угол ускорения точек и должны быть пропорциональны расстояниям от точек до МЦУ

§ 4.6. Вычисление угловой скорости и углового ускорения тела при плоском движении

Как видно из выше изложенного, при вычислении скоростей и ускорений точек тела при плоском движении важно уметь найти угловую скорость и угловое ускорение тела. Остановимся на этом отдельно.

Основные способы вычисления угловой скорости

Рис. 46

1. Если заданы кинематические уравнения плоского движения тела (41), то угловую скорость можно вычислить согласно ее определению

2. Если известны скорость какой-либо точки тела и положение МЦС, то угловая скорость может быть найдена по формуле (48)

Рис. 47

Направление угловой скорости в этом случае определяется направлением вектора

(см. рис. 46).

3. Угловая скорость может быть также найдена, если известна скорость при относительном вращении какой-либо точки вокруг полюса . В этом случае

Направление угловой скорости здесь должно быть согласовано с направлением вектора относительной скорости (см. рис. 47).

Основные способы вычисления углового ускорения

1. Если заданы кинематические уравнения движения тела (41), то угловое ускорение найдется согласно определению

2. Если угловая скорость была найдена по формуле (48)

и расстояние от точки до мгновенного центра скоростей не изменяется при движении тела ( ), то, дифференцируя по времени последнее выражение для углового ускорения, получим

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая ⇒