Техника расчета 2 страница

1. Если при преобразовании все даты были разделены на одно и то же число К, то поправки, вносимые в конечные результаты, состоят в умножении величин и S на К, а величин С и S² на К².

2. Если при преобразовании все даты умножены на число К, то поправки, вносимые в конечные результаты, обратные предыдущему случаю.

3. Если при преобразовании из всех значений дат вычитается (или прибавляется) одно и то же число А, то поправка, вносимая в конечные результаты, состоит только в сложении (или вычитании) величины А из величины . Для значений С, S и поправок не требуется.

ВАРЬИРОВАНИЕ ПРИЗНАКОВ. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАБЕЛЬНОСТИ

Значения признаков, составляющих совокупность, имеют различные величины. Различия иногда очень велики, иногда почти незаметны, однако имеются всегда, поскольку полной однородности внутри групп биологических объектов не бывает. Эта неоднородность вариант в совокупности называется разнообразием,варьированием или изменчивостью.

В биологии и, в частности в животноводстве, изменчивость признаков выражена очень сильно и имеет большое научное значение. Коровы в одном стаде различаются величиной удоев за лактацию, живой массой, процентом жира в молоке; овцы - настригами шерсти, длиной и тониной шерстного волокна, живой массой; куры-несушки - количеством яиц, снесенных в течение года, их массой и другими параметрами качества. Вариабельность признаков у животных является основой селекционного процесса, отбора и воспроизводства наиболее продуктивных особей. Вместе с тем, зооинженер постоянно стремится к наибольшей однородности стада животных, к снижению вариабельности признаков, поскольку однородное по продуктивности стадо может использоваться наиболее эффективно.

Отношение зооинженера к вариабельности признаков у животных не всегда однозначно, вариабельность в разных случаях может рассматриваться и как положительное, и как негативное явление. Но неизменно одно - вариабельность во всех случаях зоотехнической работы должна учитываться и измеряться. Важно знать и уметь рассчитывать показатели вариабельности признаков у животных.

Существенно также и то, что показатели вариабельности используются не только для непосредственного измерения вариабельности, но и для конструирования многих других статистических параметров. Биологическая или вариационная статистика является наукой, предназначенной для математических исследований биологических совокупностей на основе вариабельности составляющих их объектов.

Ниже в этом разделе рассматриваются основные показатели вариабельности признаков в биологических совокупностях.

Средняя арифметическая величина не может отразить этой вариабельности. При одном и том же среднем значении в двух разных совокупностях может быть неодинаковое разнообразие признаков. Это видно на простом примере.

Масса яиц в двух партиях и значения разнообразия следующие:

1) 45-48-52-54-56 Sx_i = 255 = 51

2) 43-50-50-52-60 Sx_i = 255 = 51

однако: 1) lim₁ = 45-56

2) lim₂ = 43-60,

т. е. разнообразие во второй группе больше. В данном случае разнообразие выражено в лимитах.

Лимиты - это наиболее простой показатель разнообразия. Они показывают размах значений (наивысший и наименьший уровни значений) и применяются достаточно широко. Однако лимиты не являются достаточно точным показателем и не всегда могут вскрыть все тонкости разнообразия в данной группе. Это определяет необходимость расчета более сложного показателя разнообразия признаков - среднего квадратического отклонения. Предположим, что в двух группах кур была получена следующая масса яиц (в граммах):

1) 44-46-47-48-50-54-56-57-58-59

lim = 44-59; = 51,9; Sx_i = 519; S = 5,53

2) 44-52-52-52-52-52-52-52-52-59

lim = 44-59; = 51,9; Sx_i = 519; S = 3,58 .

В этих группах средние арифметические и лимиты одинаковы, однако очевидно, что степень разнообразия в них совсем неодинакова. Уловить это разнообразие при помощи лимитов невозможно.

Для этого привлекается среднее квадратическое отклонение, которое в среднем характеризует отклонение каждой варианты от средней арифметической величины (табл. 6).

Таблица 6
x_i	x_i -
	-7,9
	-5,9
	-4,9
	-3,9
	-1,9
	+2,1
	+4,1
	+5,1
	+6,1
	+7,1

S(x_i - );

(-7,9) + (-5,9) + (-4,9) + (-3,9) + (-1,9)

= - 24,5;

(+2,1) + (+4,1) + (+5,1) + (+6,1) + (+7,1)

= +24,5;

S(x_i - )= (-24,5) + (+24,5) = 0 .

Поскольку сумма всех центральных отклонений равна нулю, для получения цифры, характеризующей эту изменчивость, каждое отклонение возводится в квадрат и получается их сумма, т.е. берется сумма квадратов цен-

тральных отклонений:S(x_i - )².

Эта величина называется дисперсией, выражаемой через С.

; или

Первое равенство - сумма квадратов центральных отклонений - S(x_i - )² - определяет математическую сущность дисперсии.

Второе равенство, читаемое как сумма квадратов дат минус квадрат их суммы, деленный на объем выборки, - является производным первой формулы и имеет широкое применение как рабочая формула, удобная для расчета дисперсии (она может называться еще машинным алгоритмом дисперсии).

При расчете среднего квадратического отклонения необходимо отнести полученную величину дисперсии к числу дат минус единица и извлечь квадратный корень:

Как видно, чтобы определить удельную величину изменчивости, дисперсию делят на число дат, но не полное, а без единицы - (n - 1), что называется числом степеней свободы.

Число степеней свободы равно числу элементов свободного разнообразия, т. е. числу всех имеющихся элементов изучения без числа ограничений разнообразия. Сущность этого понятия может быть рассмотрена на следующем примере.

Если мы хотим взять для опыта три курицы без каких-либо условий отбора, то величина их продуктивности не имеет ограничений. Число степеней свободы в этом случае n = 3 - 0 = 3. Если же мы должны взять для опыта три курицы, обусловив заранее их среднюю продуктивность в группе, равную 200 яиц в год, то эта средняя величина является фактором, ограничивающим выбор. В этом случае первые две курицы могут иметь любую продуктивность, например, 150 и 210 или 180 и 190 яиц. Третья же курица тогда может иметь только одно значение продуктивности, а именно такое, при котором средняя продуктивность будет равна 200 яиц.

Если продуктивность двух первых куриц 150 и 210 яиц, то третьей -только 240 яиц:

; 600 = 150 + 210 + x; = 600 - 150 - 210 = 240; = 240 яиц.

При продуктивности двух первых кур 180-190 продуктивность третьей составит:

; 600 = 180 + 190 + x; = 600 - 180 – 190 = 230; = 230 яиц.

В этих случаях два числа выбирать можно свободно, а третье не имеет свободы выбора Для этих трех чисел есть только две степени свободы: n = 3 - 1 = 2.

При вычислении средней арифметической никаких ограничений значения признака не имеется, поэтому число образующих ее элементов равно числу дат ( ).

При вычислении среднего квадратического отклонения имеется одно ограничение, оно рассчитывается для группы, имеющей определенную среднюю арифметическую величину. Поэтому разнообразие элементов, образующих среднее квадратическое отклонение, ограничено одним этим условием и n = n - 1.

При делении дисперсии на число степеней свободы получится величина, называемая девиатой, вариансой или средним квадратом:

Извлечение квадратного корня из девиаты дает сигму, среднее квадратическое или стандартное отклонение:

Расчет вышеуказанного примера может быть выполнен следующим образом (табл. 7):

Таблица 7

n	x_i	x_i²










	Sx_i=519	S x_i²=27211

; = 27211-26935,1 = 274,9

= ; S = 5,53; = 51,9 .

То же самое можно получить путем оперирования с величиной отклонения от любого числа вариационного ряда (табл. 8).

Таблица 8
n	x_i	D	D²










		SD=79	SD²=899

Выбираем условную величину А равную 44.

Ведем расчет относительно наименьшей величины 44:

;

С = 899 – 624,1 = 274,9

= =5,5 .

Среднее квадратическое отклонение служит основным показателем разнообразия значений признака в группе. Используется и как самостоятельный показатель, и как основа для конструирования многих других показателей: коэффициента вариации, ошибок репрезентативности, коэффициентов корреляции и регрессии, элементов дисперсионного анализа.

Рис 2. Квадратическое отклонение S как показатель и мера вариабельности признака

Среднее квадратическое отклонение - показатель именованный и выражается в тех же единицах, что и средняя арифметическая величина.

Практически стандартное отклонение может быть определено по размаху вариант в данном ряде. При числе дат в выборке от 30 до 200 в размахе укладывается 5S, при числе дат от 200 до 1000 - 6S, при числе дат более 1000 - 7S.

Можно сказать, что среднее квадратическое отклонение является мерой изменчивости в пределах данного вариационного ряда. Эта закономерность позволяет решить многие практические задачи, что рассматривается в последующих разделах настоящего пособия.

Среднее квадратическое отклонение служит хорошим показателем выражения разнообразия при соблюдении следующих условий.

1. Если сравнивается разнообразие в разных вариационных рядах, но по аналогичному признаку.

Например: масса яйца: = 55,3 S₁ = 4,06

= 54,3 S₂ = 3,93

= 58,6 S₃ = 3,71.

2. Если математические выражения средних величин сравниваемых показателей обозначаются числами одного порядка (яйценоскость, число пор в скорлупе, удой за лактацию, многоплодие и т.п.).

При отсутствии этих условий среднее квадратическое отклонение не дает возможности сравнить разнообразие в выборках разных показателей.

Например:	масса яйца	-	S = 4,06 г
	индекс формы яйца	-	S = 0,059
	толщина скорлупы	-	S = 0,034 мм
	число пор в скорлупе	-	S = 25,3 пор
	индекс белка	-	S = 0,028 ед.
	единицы Хау	-	S = 6,04
	индекс желтка	-	S = 0,041

По этим величинам нельзя установить, какой из показателей качества яйца отличается большим разнообразием, так как эти показатели несравнимы.

Для возможности сравнения такого разнообразия применяется особый, относительный показатель - коэффициент вариабельности, выражающий величину среднего квадратического отклонения по отношению к средней арифметической в процентах:

При расчете коэффициента вариабельности (V) вышеприведенный пример выглядит следующим образом:

			S		V,%
масса яйца	-	55,3		4,06 г		7,35
индекс формы яйца	-	1,387		0,059		4,03
толщина скорлупы	-	0,3125		0,034 мм		10,90
число пор в скорлупе	-			25,3 пор		18,50
индекс белка	-	0,1193		0,028 ед.		23,50
единицы Хау	-	92,2		6,04		6,54
индекс желтка	-	0,49		0,041		8,40

Такой расчет показывает, что в этой группе показателей наибольшим разнообразием отличается индекс белка и наименьшим - индекс формы яйца. Индекс формы - признак менее изменчивый, чем масса яйца Единицы Хау - величина, подверженная меньшей изменчивости, чем индекс белка вследствие того, что она скорректирована на массу яйца. Индекс желтка подвержен меньшей вариабельности, чем показатель индекса белка.

Коэффициент вариабельности может иметь значение важного технологического показателя. Так, при определении сортимента овечьей шерсти помимо среднего значения тонины исключительное значение имеет ее однородность, характеризуемая коэффициентом вариабельности волокна по тонине. Каждому уровню качества шерсти соответствуют предельные параметры коэффициентов вариабельности (или неравномерности). В частности, для отнесения шерсти к группе тонких шерстей ее коэффициент вариабельности не должен превышать 25,5%.

АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СРЕДНЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ И СРЕДНЕГО KBАДРАТИЧЕСКОГО (СТАНДАРТНОГО) ОТКЛОНЕНИЯ

(без применения вычислительной техники)

I. Основной (элементарный) алгоритм расчета

В каждом конкретном случае в зависимости от характера цифрового материала, подлежащего обработке, избирается определенный, наиболее подходящий метод расчета.

Когда число вариант невелико и они выражены малыми числами, применяется наиболее простой метод (табл.9).

Таблица 9

n курицы	x_i число яиц	x_i²








n=8	Sx_i=55	S x_i²=407

1. = ; =

2. ;

3. ; = 2,03

= 6,87

S = 2,03

Эта схема расчета является основной для нахождения заданных величин. Из нее видно, что для расчета дисперсии необходимо определить сумму дат, возвести даты в квадрат и получить сумму квадратов дат.

По этой схеме расчет может проводиться как ручным способом (в случае малочисленных групп и малозначных дат), так и с использованием калькуляторов или компьютеров при обработке любого числового материала.

II. Расчет в малочисленных выборках при многозначных датах

В случае необходимости расчета в числовом массиве, состоящем из многозначных дат, и отсутствия вычислительной техники рекомендуется применять свойства средней арифметической, позволяющие производить предварительные преобразования исходных величин.

Пример: Имеются данные по числу пор на 1 см² скорлупы яиц в партии из 10 яиц (табл.10).

Таблица 10

N п.п.	x_i число пор	D = (x_i – 100)	D²










n=10	-	SD = 455	SD² = 24361

D = x_i - A

A = 100 .

Применяется свойство IV средней арифметической об уменьшении или увеличении каждой даты на определенное число (в данном случае на 100). Ряд чисел в порядок не приводится.

1. = A + ; = 100 + 45,5 = 145,5; = 145,5

2. С = ; С = = 24361 – 20702,5 = 3658,5

3. ; = 20,16 .

III. Расчет с использованием вычислительной техники

При наличии вычислительной техники все имеющиеся даты первичного материала без какой бы то ни было систематизации возводят в квадрат без регистрации промежуточных результатов. Производится аккумуляция дат с получением сумм дат и сумм их квадратов (Sx_i и Sx_i²). Эти две суммы являются исходными для расчетов необходимых величин ( , С, S).

Пример. Имеются данные по массе кур, полученные в одном из экспериментов (табл.11).

Таблица 11

58,5	59,9	61,1	58,7	56,6	59,4	56,4	59,2	50,3	51,8
58,7	53,5	56,8	56,1	48,8	52,5	45,5	56,6	50,6	55,9
44,3	56,7	50,2	60,5	55,0	54,4	62,1	55,0	60,6	62,6
64,5	60,2	59,9	61,6	62,7	61,5	55,0	52,2	55,7	55,3
53,1	56,6	57,6	65,5	62,6	61,2	59,0	55,1	53,9	58,0
52,6	59,5	60,9	65,7	54,2	56,4	61,0	57,9	60,4	60,4

Введя исходные данные в калькулятор, получаем:

Sx_i = 3428,8 ; Sx_i² = 197171,4 ; n = 60 .

Дальнейший расчет может быть произведен по известным формулам:

; = = 57,14; = 57,14

; = 1226,9

; = = = 4,58 .

При использовании программируемых калькуляторов или компьютеров все расчетные операции могут быть запрограммированы с получением сразу выходных величин, необходимых в конкретном исследовании ( , С, S, V и др.).

IV. Расчет в многочисленных выборках с составлением вариационных рядов

При необходимости расчета большого цифрового материала и отсутствия вычислительной техники первичный материал предварительно должен быть приведен в систему. Для этого составляется вариационный ряд.

Техника составления вариационного ряда при большом объеме выборки обсуждается на следующем примере. Имеется первичный материал эксперимента по подсчету числа пор на 1 см² скорлупы яиц (табл.12).

Таблица 12

Этот цифровой материал состоит из 100 чисел. Составление вариационного ряда из этого первичного материала выполняется по следующим этапам:

1. В выборке определяются максимальные и минимальные величины. В данном случае min=60; max=156. На основании этих величин определяется размах (р):

lim = max - min = 156 - 60 = 96; р = 96 .

2. Определяется число классов (ч), на которые можно разбить весь вариационный ряд. Оно может быть выбрано произвольно и обычно колеблется около 8-12. В данном случае наиболее удобно избрать ч = 10.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒