Пример. Решить систему. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений

Пример. Решить систему

(1.6)

Можно показать, что rangA=rang =2. В качестве базисного минора рассмотрим , следовательно, система равносильна системе

Оставим слева члены, содержащие коэффициенты базисного минора, получим систему

Решаем по формулам Крамера, принимая

Тогда

Решением (1.6) является упорядоченная четверка чисел. Учитывая, что и - свободные переменные, которые могут принимать любые значения, получим :

Ясно, что система имеет бесконечно много решений.

1.4. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений

В п. 1.2. рассматривали решение систем, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и с определителем из коэффициентов, от-личным от нуля. Метод Гаусса – еще один способ решения, не требующий таких ограничений.

Рассмотрим систему

Будем считать, что . Если , то перенумеровывая неиз-

вестные, получим первый коэффициент, отличный от нуля.

Умножим первое уравнение на и сложим почленно со вторым, затем первое умножим на и сложим с третьим. Продолжая этот процесс, получим равносильную систему при условии, что первое уравнение остается неизменным :

где - новые коэффициенты, - новые свободные члены.

Умножая второе уравнение на и складывая с соответ-

ствующими уравнениями, получим систему

Продолжая этот процесс, можем получить одну из следующих ситуаций:

Одно из уравнений системы имеет отличную от нуля правую часть и нулевые коэффициенты в левой. В этом случае система не имеет решений.
Система имеет вид

где

Если m=n, то система совместна, имеет единственное решение. В этом случае из последнего уравнения определяется , из предпоследнего и так далее (обратный ход Гаусса).

Если m<n, то переменные - свободные переменные и, следо-вательно, переносятся в правую часть (см. п. 1.3.). Затем обратным ходом Гаусса переменные выражаются через свободные переменные.

В процессе последовательного исключения неизвестных могут поя-виться уравнения 0=0. Эти уравнения отбрасываются.

На практике удобнее работать не c системой (1.7), а с ее расширенной матрицей, так как в рассмотренном процессе преобразовываются коэффи-циенты при неизвестных, в расширенной матрице при этом производятся элементарные преобразования со строками.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒