Построение эпюр внутренних усилий

12.4 Построение эпюр внутренних усилий

Для построения эпюры моментов в статически определимой системе мо-жно использовать зависимость:

М=

Существует так называемая кинематическая проверка, состоящая в про-верке равенства нулю условного перемещения основной, или, что то же, задан-ной системы по направлению всех неизвестных от всех неизвестных и заданной нагрузки, т.е.

Δ_S=

Должны выполнятся и отдельные условия:

Δ_i= (i=1,2…,n).

Эти условия называют деформационной проверкой, суть которой состоит в том, что перемножают окончательную эпюру изгибающих моментов M_z и одну из единичных эпюр изгибающих моментов M_i, определяя при этом перемещение в i-той лишней связи, зная, что оно должно быть равным нулю.

Эпюры поперечных сил Q и продольных сил N строятся для основной системы с заданной нагрузкой и вычисленными неизвестными. В то же время для построения эпюры Q можно использовать заданную нагрузку и эпюру М и рассматривать равновесие отдельных стержней. Для построения эпюры N можно использовать заданную нагрузку и эпюру Q и рассматривать равновесие узлов.

Проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсечённой части рамы суммы проекций на две оси внешних и внутренних сил должна равняться нулю (статическая проверка).

Для определения перемещения любой точки статически неопределимой

системы достаточно образовать основную систему и в точке, перемещение ко-торой необходимо определить, приложить единичную нагрузку в направлении искомого перемещения. Построив эпюру изгибающих моментов от этого воз-действия в любой основной системе, следует перемножить её с окончательной эпюрой изгибающих моментов статически неопределимой системы. Если пере-мещение получено со знаком “минус”, то действительное направление переме-щения противоположно направлению единичной нагрузки.

12.5 Практикум

Примеры 1. Определить прогиб V_с и угол поворота φ_с в точке С балки, считая

жёсткость сечения балки постоянной (EJ_z=const).

Определяем реакции в опорах ис-пользуя симметрию расчётной схе-мы, то

R_A=R_B=

Балка имеет два участка. На левом участке:

M_F=R_Аx-

Эпюра M_F представлена на (рис. б).

Для определения вертикального перемещения в точке С приложим единичную силу в вертикальном

направлении (рис. в).

На левом участке изгибающий момент определяем рассмотрев, как и первом случае левую часть балки

На правом участке

Подставив в интеграл Мора полученные аналитические выражения, имеем:

Полученное перемещение отрицательно, следовательно точка С перемес-тилась вверх ( в направлении противоположном вектору единичной силы).

Для определения угла поворота в сечении С следует в этом сечении при-ложить единичную нагрузку в виде момента. На левом участке выражение для изгибающего момента от единичного имеет вид:

а на правом участке

С учётом того, что M_F_пр=0, в интегралах Мора будет только одно слагае-мое:

Угол поворота φ_с> 0, т.е. поворот совершён в направлении М₂ (против хода часовой стрелки).

Воспользовавшись способом Верещагина для получения прогиба V_c не-обходимо площадь грузовой эпюры M_F умножить на ординату единичной эпюры под центром тяжести параболической эпюры M_F

Для угла поворота φ_с следует перемножить M_F

где: и - значения первой и второй (соответственно) единичных эпюр под центром тяжести грузовой эпюры M_F. Слагаемое для правого участка рав-ны нулю, поскольку M_F_пр=0. На рис. б, в, г, даны эпюры M_F, и а на ри-сунке д - форма изогнутой оси балки.

2. Способом Верещагина определить вертикальное перемещение сечения А и угол поворота сечения В если Е =2·10⁵МПа, J =2·10³см⁴.

Построим эпюру M_F (рис. б) известным способом и представим ее «расслоенной» (рис. в) на простейшие площадки: прямоугольник с центром тяжести С₁, треугольники с центром тяжести С₂ и С₄ и параболический сегмент высотой , с центром тяжести С₃.

На рис. г показана эпюра , полученная в результате нагружения еди-ничной силой F=1, приложенной в точке А и обозначены значения η_i под цент-рами тяжести каждой из простейших площадок.

На рисунке д показана эпюра , полученная в результате нагружения

единичной парой сил М=1, приложенной в сечении В.

Поскольку центр тяжести прямоугольника находится на расстоянии 0,5 м от точки А, то η₁= (см. рис. г). Определить значение осталь-ных η₂, η₃, η₄ для участка ВС из уравнения = l·х, задавая в каждом случае координаты С₂, С₃ и С₄ в системе коор-динат, имеющих начало в край-ней левой точке или вычислив приращения η_i на участке ВС.

С учетом этого опреде-лим прогиб балки в сечении А:

Знак “минус” в формуле ставится в том случае, когда грузовая эпюра М_F и ордината единичной эпюры находятся по разные стороны базовой линии эпюр.

Для определения угла поворота в сечении В приложим в этом сечении единичную пару сил М=1, построим эпюру (рис. д) и перемножим М_F_{· .}

Оба значения и V_A и φ_В получены со знаком “плюс”, следовательно точ-ка А переместилась вниз, а сечение В повернулось против часовой стрелки (в том же направлении, что и приложенные единичные нагрузки).

Примеры раскрытия статической неопределимости рам с использованием метода сил и способа Верещагина даны в разделе V.

Вопросы для повторения

1. Что называют статически определимыми и статически неопредели-мыми системами?

2. Что называется степенью статической неопределимости системы?

3. Как определяется степень статической неопределимости?

4. Что представляет собой основная система?

5. В чём заключается выбор основной системы?

6. Что выражает каждое из канонических уравнений?

7. Каков физический смысл произведений

8. Какие перемещения называют главными и побочными. Какими свой-ствами они обладают?

9. В каком порядке производится расчёт статически неопределимых сис-тем?

10. Перемножением каких эпюр определяют коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений?

11. Как определяются значения неизвестных Х_i?

12. Какими приёмами можно построить окончательную (суммарную) эпюру изгибающих моментов?

13. Как производится статическая проверка правильности раскрытия ста-тической неопределимости системы?

14. Как проводят деформационную проверку правильности построения окончательной эпюры М статически неопределимой системы?

15. Как производится определение перемещений в статически неопреде-лимых системах?

16. Какие системы называют геометрически неизменяемыми?

Тесты для повторения

1. Степень статической неопределимости заданной рамы равна

(а) 1; (б) 2; (в) 3; (г) 4.

Ответ: (в). Для равновесия (геометрической неиз-меняемости) достаточно трёх связей, а опоры накла-дывают шесть связей, т.е. три- избыточные (лиш-ние).

Решение можно получить и по формуле(см. 12.1)

К=ЗД-2Ш-С (*)

К= -трижды статически неопределимая система.

2. Степень статической неопределимости заданной рамы равна:

(а) 5; (б) 2; (в) 3; (г) 4.

Ответ: (г). Система дважды статически нео-пределима внешне, замкнутый контур увеличи-вает на 3 степень неопределимости, а простой шарнир С- уменьшает на единицу, т.о.

К=2+3-1=4.

Если провести анализ по формуле (*), то число дисков-1, простых шарниров в системе-1, число опорных стержней (внешних связей) - 5.

К=

т.о. система четырежды статически неопределима.

3. Укажите неправильный вариант основной системы для заданной статически неопределимой рамы.

Ответ: (г), поскольку система представляет в этом

случае “мгновенный механизм” (не может противодействовать повороту относительно левого шарнира).

4. Укажите неправильный вариант основной системы для заданной статически неопределимой рамы.

Ответ: (г) поскольку данная система - механизм может перемещаться в горизонтальной плоскости.

5. Задана статически неопределимая балка (рис. а), принята её эквивалентная система (рис. б), построены грузовая М_F и единичная эпюры изгибающих мо-ментов в основной системе. Чему равно значение Х₁?

(а) (б) (в) (г)

Ответ: (а). Каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой системы

δ₁₁Х₁+∆₁_F=0.

6. Задана статически неопределимая балка, построена её окончательная эпюра М изгибающих моментов. Укажите изогнутую ось балки.

Ответ: (в), поскольку только у этой изогнутой оси нет поворота сечения в за-делке и на левой части выпуклость “вверх” соответствует зоне растянутых “во-локон” на эпюре, а правая часть эпюры свидетельствует о том, что растянуты нижние “волокна”.

Контрольные тесты

1.Укажите пару коэффициентов канонических уравнений, равных между собой:

(а) δ₁₁и δ₁₂; (б) δ₂₃и δ₃₂; (в) δ₂₂и δ₃₃; (г) δ₃₁и δ₂₃.

2. Коэффициенты канонических уравнений δ_ik (i k) могут быть:

(а) δ_ik >0; (б) δ_ik < 0; (в) δ_ik ≥0; (г) δ_ik> = < 0.

3. Степень статической неопределимости заданной рамы равна:

(а) 4; (б) 3;

(в) 2; (г) 1.

4. Степень статической неопределимости заданных рам равна (установите соот-ветствие)

(д) 4; (е) 5; (ж) 6; (з) 7.

5. Укажите неправильный вариант основной систе-мы для заданной статически неопределимой рамы.

6. Укажите правильный вариант основной системы для заданной статически неопределимой рамы.

7. Чему равен прогиб в точке А?

(а) (б)

(в) (г)

8. Количество канонических уравнений равно числу:

(а) внешних лишних связей системы;

(б) внутренних (взаимных) лишних связей системы;

(в) внешних и внутренних лишних связей системы;

(г) независимых уравнений статики для заданной системы.

9. Для статически неопределимой балки (рис.а) выбрана эквивалентная система (рис. б). Чему равно усилие Х₁?

(а) (б)

(в) (г)

10. Для статически неопределимой балки (рис. а) принята эквивалентная система (рис. б), записано каноническое уравнение: Что представляет собой ве-личина

(а) прогиб в точке А от Х₁ в основной системе;

(б) угол поворота сечения С от Х₁ в основной системе;

(в) угол поворота сечения С от единичного момента, действующего в направлении Х₁ в основной системе;

(г) угол поворота в сечении В от Х₁ в основной системе.

11. Задана статически неопределимая балка (рис. а), принята её эквивалентная система (рис. б), построены грузовая М_F и единичная эпюры изгибающих моментов в основной системе. Чему равно значение Х₁?

(а) (б)

(в) (г)

12. Дана статически неопределимая рама (рис. а), её эквивалентная система (рис. б), изображены грузовая М_F и единичная эпюры изгибающих моментов в основной системе. Жёсткость на всех участках постоянна (EJ=const). Чему равно перемещение в направлении Х₁, вызванное внешней нагрузкой?

(а) (б) (в) (г)

13. Укажите правильную окончательную эпюру изгибающих моментов для за-данной статически неопределимой балки.

14. Задана статически неопределимая балка, построена её окончательная эпюра М изгибающих моментов. Укажите изогнутую ось балки:

⇐ Предыдущая 46 47 48 49 505152 53 54 55 Следующая ⇒