РАЗДЕЛ III. СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ

При использовании этого метода (в литературе его называют: методом возможной работы; методом фиктивной нагрузки; методом единичной нагруз-ки) необходимо рассматривать две системы нагрузок, действующих на кон-струкцию. Первая система включает все реальные нагрузки, а вторая система включает только единичную нагрузку, которая действует на конструкцию. Еди-ничная нагрузка представляет собой фиктивную или искусственно введённую нагрузку, которая позволяет определить перемещение  конструкции при действии реальных нагрузок. Единичная нагрузка прикладывается в той точке конструкции перемещение которой определяем и действует в направлении ис-комого перемещения. Если определяется линейное перемещение, то прикладывает единичную силу, а если угловое - единицу момента сил.

Действующая на конструкцию единичная нагрузка, которая представляет собой вторую систему нагрузок, вызывает возникновение реакций опор и внут-ренних усилий, которые обозначим через  Вместе с единичной наг-рузкой и реакциями опор они образуют систему сил, которая находится в рав-новесии. Если конструкции предать малую возможную деформацию, в качест-ве которой возьмем действительные деформации конструкции, создаваемые пе-

рвой системой нагрузок, то возможная работа внешних сил будет представлять

собой только работу, совершаемую самой единичной нагрузкой. Эта возмож-ная (виртуальная) работа равна произведению единичной нагрузки на переме-щение которое совершает точка её приложения; таким образом:

                                         А_внш=1  

Где величина  представляет собой искомое перемещение точки конструкции за счёт реальной нагрузки.

Возможная работа внутренних сил представляет собой работу, совершае-мую этими силами ( ) при возможной деформации элементов конс-трукции. Эти деформации выбираем такими же, как и действительные дефор-

мации, возникающие при действии на конструкцию реальных нагрузок. Обоз-начая эти деформации через и (рис. 12.2 при растяжении (а), из-гибе (б), сдвиге(в), кручении (г)), получим следующие выражения для работы внутренних сил:

                             И_внт=∫ +∫ +∫ +∫

                                       Рис. 12.2

Приравняв, выражение для работ внешних и внутренних сил получаем:

                    =∫ +∫ +∫ +∫

Если деформации малые упругие (справедлив закон Гука), а внутренние усилия в первой системе реальных нагрузок обозначить через N_F, M_F, Q_F и T_F, то деформации элемента можно записать:

Первое из этих выражений даёт удлинения элемента при действии нормальной силы N_F, а последующие деформации при изгибе, сдвиге и круче-нии.

В окончательном виде метод Мора имеет вид

Входящий в формулу К- числовой коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения бруса.

Порядок определения перемещений можно кратко изложить следующим образом:

1) разделив конструкцию на участки записываем аналитические выраже-ния для внутренних силовых факторов, на каждом участке, вызванных систе-мой реальных нагрузок- N_F, M_F, Q_F, T_F;

2) в точке, перемещение которой хотим определить, в направлении иско-мого перемещения приложим единичную нагрузку и определяем внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях, только от этой едини-чной нагрузки (и возникших реакций). При этом необходимо, чтобы правила знаков и направление обхода участков в п.п 1и 2 были бы те же самые.

3) подставить найденные значения в интегралы Мора и выполнить инте-грирование по всей конструкции и просуммировать результаты для получения величины перемещения  Если результат получен со знаком “минус”, то это означает, что направление искомого перемещения противоположно направле-нию единичной нагрузки.

Не все члены интегралов Мора могут понадобиться. Так при расчёте ферм только слагаемые, содержащие нормальные силы необходимо учитывать, а для балки или плоской рамы существенными будут только деформации изги-ба и уравнение упрощается:

Такие интегралы можно вычислить для каждого элемента конструкции (участка), а затем просуммировать полученные результаты.

При вычислении интеграла Мора, как правило, рассматриваются такие элементы конструкций в которых жёсткости (EA, EJ, GJ_р) остаются постоянны-ми. Следовательно их можно вынести из под интегралов, после чего все подин-тегральные члены уравнения имеют форму произведений, скажем:

                           ∫ М_F dx.

В 1925 г. студент Московского института железнодорожного транспорта А.Н. Верещагин предложил упрощение вычислений с использованием форму-лы Мора для стержневых систем, состоящих из прямых участков с постоянной (в пределах каждого участка) жёсткостью. Упрощение базируется на том, что эпюры от единичных нагрузок оказываются линейными.

Допустим, на участке длинной l нужно взять интеграл.

J=

при условии, что f₂(x)- линей-ная функция.

            f₂(x)=b+kx.

Тогда:

J=

Первый из интегралов предста-вляет собой площадь, ограни-ченную кривой f₁(x) (рис. 12.3 а), которую обозначим Вто-рой интеграл представляет со-бой статический момент этой площади относительно оси y, т.е.  

где х_с- координата центра тяже-                    

                       Рис. 12.3                                   сти первой эпюры.

Итак, J=  Так как b+kx_c=f₂(x_c) (рис. 12.3 б), то

                                      J=

Операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой.

Встречающиеся на практике эпюры могут быть расслоены на простей-шие фигуры: прямоугольник, треугольник, параболу, для которых величина площади и положение центра тяжести (рис. 12.4) известны.

                                             Рис.12.4

Определение перемещений от симметричного и обратно симметричного воздействия надо вести раздельно, проводя вычисления только для половины

системы. Из свойства её симметрии вытекает важное правило: если при “перем-

ножении” эпюр одна из них симметрична, а другая обратно симметрична, то их “ произведение”(премещение)равно нулю.

Если жёсткость стержня переменная, то эпюру усилий от внешних воз-действий надо привести к одной жёсткости, умножая её ординаты , где J_o- момент инерции одного из сечений.

                   12.3 Канонические уравнения

Основная система с заданной нагрузкой и лишними неизвестными, экви-валентна заданной статически неопределимой системе. Следовательно, пере-мещения по направлению каждой неизвестных сил Х_i от заданной нагрузки и всех неизвестных усилий в лишних связях должны равняться нулю.

Для линейно деформируемых систем перемещение пропорционально си-ле, его вызвавшей.

Тогда:

где: - перемещение в направлении i-той силы, вызванное к-той силой; -то же от внешней нагрузки; - перемещение в основной системе, соответст-вующее силе Х_i при действии силы Х_к=1:

с учётом сказанного

Уравнения имеют стационарную (каноническую) форму, одинаковую для всех статически неопределимых систем.

Представленная система канонических уравнений метода сил содержит главные коэффициенты при неизвестных (с одинаковыми индексами) и побочные (с разными индексами), при этом . Величины называют свободными членами канонических уравнений.

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений опреде-ляют по интегралам Мора, а в частных случаях- по правилу Верещагина. Пред-варительно должны быть построены эпюры  от единичных наг-

рузок  и эпюры M_F от заданной нагрузки.

Главные коэффициенты δ_ii всегда положительны. Побочные же коэффи-циенты (перемещения) δ_iк могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Коэффициенты и свободные члены подлежат проверке. Универсальная проверка всех коэффициентов при неизвестных состоит, в том что сумма Σδ_ii+ 2Σδ_iк, представляющая собой условное перемещение по направлению всех не-известных от всех единичных сил , должна быть равна величине

                           δ_ss=

где: M_s=

Чтобы возможные ошибки, допущенные при построении единичных эпюр, не перенесли на эпюру  и не свести тем самым на нет всю проверку, следует строить эпюру  независимо от т.е. непосредственно от единичных сил , действующих на основную систему одновре-менно.

Если универсальная проверка приводит к недопустимо большому расхо-ждению между суммой контролируемых перемещений и условным перемеще-нием, то для нахождения ошибки можно произвести построчные проверки, ко-торые состоят в том, что сумма коэффициентов при неизвестных каждого уравнения δ_i1+δ_i2+…+δ_in должна быть равна величине:

                             δ_is=

Если построчные проверки дают расхождения только в одной строке, то ошибка связана с вычислением главного коэффициента этой строки. Если же расхождения наблюдаются одновременно в двух строках, то ошибка скорее всего допущена при вычислении того побочного коэффициента, который вхо-дит в обе строки.

Проверка свободных членов уравнений состоит в том, что их сумма   должна быть равна величине

                            Δ_sF =

После проверки коэффициентов при неизвестных и свободных членов

канонических уравнений производят их решение и находят .