![]()
|
|||||||
Изосова Л.А., Изосов А.В. 7 страницаи её график
1
4.6 Показательное распределение.
В практических приложениях теории вероятностей (напри- мер, в сфере массового обслуживания, исследовании опера -ций, теории надёжности, в физике, биологии и т.п.) часто при- ходится иметь дело со случайными величинами, имеющими так называемое экспоненциальное, или показательное распре- деление. Определение. Непрерывная случайная ыеличина График этой функции:
0 Её функция распределения:
1
О
Математическое ожидание:
Пример. Пусть случайная величина По условию задачи, математическое ожидание работы меха- низма Следовательно, Искомая вероятность: Замечание. Показательное распределение относится к од -нопараметрическим законам распределения (зависит только от
4.7 Нормальное распределение.
Определение. Нормальным называют распределение вероят- ностей непрерывной случайной величины, которое имеет плот- ность распределения вероятностей, определяемую формулой: Видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами : Нормальный закон распределения очень широко распро- странён в задачах практики. Он проявляется в тех случаях, когда случайная величина Основной закономерностью, выделяющей нормальный закон из остальных законов, является та, что он является предель -ным законом, к которому приближаются другие законы, т.е. при достаточно большом значении Функция распределения нормально распределённой случай –ной величины имеет вид По определению математического ожидания непрерывной случайной величины, Введём новую переменную Принимая во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим Первой слагаемое равно нулю, как интеграл по симметрич -ному промежутку от нечётной функции. Второе из слагаемых равно Таким образом, математическое ожидание нормально рас- пределённой случайной величины По определению дисперсии непрерывной случайной величи- ны, учитывая, что Снова введём новую переменную Получим Замечение. Нормированным называют нормальное распре –деление с параметрами значения которой можно либо найти непосредмьвенно, либо воспользоватся соответствующими таблицами, которые можно найти во всех справочниках. Функция нормированного распре –деления имеет вид Учитывая, что Тогда График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса. Исследуем функцию: Она определена на всей числовой прямой и положительна для всех Производная равна 0 в точке
0
Для нормально распределенной случайной величины ве- роятность попадания в заданный интервал Сделаем замену
Таким образом, Пример. Масса вагона - случайная величина, распределён -ная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т. и средним квадратическим отклонением Тогда
Иногда требуется вычислить вероятность того, что случай -ная величина по модулю отклоняется от среднего значения меньше чем некоторое значение учитывая нечётность функции Пример. Вероятность того, что нормально распределённая случайная с математическим ожиданием По условию,
Правило трёх сигм. В формуле (5) положим Если т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине случайной величины от среднего значения меньше утроенного среднего квадратического отклонения равна 0,9973, т.е. очень близка к единице. Правило трёх сигм состоит в том, что для нормально рас- пределённой случайной величины абсолютная величина её -отклонения от среднего не превосходит утроенного сред -него квадратического отклонения. На практике это правило применяется слудующим образом: Если распределение слу -чайной величины неизвестно, но для её параметров выпол -няется правило трёх сигм, то есть основание предположить, что она распределена по нормальному закону.
§ 5. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ.
Известно, что нельзя заранее предсказать, какое именно значение примет случайная величина в результате некоторого испытания, так как это зависит от очень многих случайных причин, учесть влияние которых невозможно. Но оказывается, что при некоторых условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случай -ный характер и становится закономерным. Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академи- ка А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов (при некоторых общих условиях) приво – дит к результату, почти независимому от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестаёт быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определённости. Приведём без доказательства несколько теорем, в которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определённым посто -янным.
5.1 Неравенство Маркова (лемма Чебышева).
ТЕОРЕМА. Если случайная величина Или, то же неравенство Маркова в другой форме: Неравенства Маркова применимы для любых неотрицатель- ных случайных величин. Пример. Сумма всех вкладов в некотором отделении сбер- банка составляет 4 млн. рублей, а вероятность того, что слу -чайно выбранный вклад не превышает 40 тыс. рублей, равна 0,7. Что можно сказать о числе вкладчиков? Пусть Так как
5.2 Неравенство Чебышева.
ТЕОРЕМА. Для любой случайной величины, имеющей мате- тическое ожидание или соответственно, Пример. Средний расход электроэнергии на некотором предприятии равен 2000 кв. в день, а среднее квадратическое отклонение расхода не превосходит 400 кв. Используя нера -венство Чебышева, оценить вероятность того, что в любой день расход электроэнергии не превзойдёт 4000 кв. В данном случае дисперсия Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. В форме (1) оно устанавливает верхнюю, а в фор- ме (2) нижнюю границу вероятности рассматриваемого со- бытия. Если мы рассматриваем дискретную случайную величину вероятности каждого из которых вычисляются по формуле Бернулли, т.е. имеющую биномиальное распределение, то Для частоты Пример. Вероятность появления события в каждом незави -симом испытании равна 0,4. Используя неравенство Чебышева, Оценить вероятность того, что при 100 независимых испыта –ниях число появлений события заключено в промежутке от 30 до 50. 5.3 Теорема Чебыщева.
ТЕОРЕМА. Если последовательность попарно независимых случайных величин В этой теореме предполагалось, Что сучайные величины имеют различные математические ожидания, но на практике чаще бывает, что в последовательности испытаний случайные величины имеют одно и тоже математическое ожидание и дис- персии их равномерно ограничены. В этом случае формула (4) приобретает вид:
Теорема Чебышева справедлива как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Сущность теоремы Чебышева состоит в том, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограни- чены) утрачивает характер случайной величины. На теореме Чебышева основан широко применяемый в ста- тистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке элементов не -которой совокупности судят о поведении всей совокупности (генеральной совокупности). Например, при проверке качества каких – либо изделий проверяется некоторое количество слу - чайно взятых деталей. Пример. Для проверки средней продолжительности службы электроламп в партии тз 400 одинаковых ящиков по выбору взяли по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность службы 400 электроламп отличается от средней продолжительности службы электро -ламп из всей партии не более чем на 5 ч. (по абсолютной ве- личине), если известно, что среднее квадратическое отклоне -ние продолжительности службы электроламп для каждого ящи- ка меньше чем 8 часов. Пусть Тогда вероятность искомого события
5.4 Теорема Бернулли.
ТЕОРЕМА. Пусть произведены в каждом из которых постоянна вероятность появления собы -тия для любого Другими словами, теорема Бернулли утверждает, что при
5.5 Центральная предельная теорема.
Закон больших чисел устанавливает факт приближения среднего значения большого числа случайных величин к оп -ределённым постоянным значениям. Более того, оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определённому, а именно к нормальному закону распределения. Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвящённых установлению условий, при ко –торых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее значение принадлежит теореме Ляпунова. ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА. Если то закон распределения суммы Так например, потребление электроэнергии для бытовых нужд в каждой квартире многоквартирного дома можно пред- ставить в виде суммы
|
|||||||
|