![]()
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Изосова Л.А., Изосов А.В. 6 страница
3.2. Мода и медиана случайной величины.
Это ещё две характеристики положения случайной вели- чины. Определение. Модой
Если многоугольник распределения (для дискретной случай- ной величины) или кривая распределение (для непрерывной случайной величины) имеет две или более точек максимума, то распределение называется двухмодальным или многомо -дальным, соответственно. Если нет ни одной точки максимума, то распределение называется антимодальным.
Определение. Медианой Другими словами,
Пример. Дана плотность случайной величины: Найти медиану этой случайной величины. Медиану Из четырёх корней необходимо выбрать тот, который заключён между 0 и 2, т.е.
Замечание. Если распределение случайной величины одно- модальное и симметричное (нормальное), то все три характе -ристики положения: математическое ожидание, мода и медиа -на, совпадают.
3.3 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Значения наблюдаемых случайных величин, обычно, более или менее колеблются около некоторого среднего значения. Это явление называется рассеянием случайной величины око- ло её среднего значения. Числовые характеристики, показыва- ющие, насколько плотно сгруппированы возможные значения случайной велипины около среднего, называются характерис – тиками рассеяния. Из свойства 5 математического ожидания следует, что линейное отклонение значений случайной вели –чины от среднего значения не может служить характеристикой рассеяния, так как положительные и отрицательные отклоне –ния «гасят» друг друга. Поэтому основной характеристикой рассеяния случайной величины принято считать математичес - кое ожидание квадрата отклонения случайной величины от среднего. Определение. Дисперсией называется математическое ожи –дание квадрата отклонения случайной величины от её матема- тического ожидания Для дискретной случайной величины: Но, несмотря на удобства этой характеричтики рассеяния, желательно иметь характеристику рассеяния соразмерную с самой случайной величиной и её математическим ожиданием. Поэтому вводится ещё одна характеристика рассеяния, кото -рая называется средним квадратическим отклонением и рав -на корню из дисперсии, т.е. Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой, которую даёт следующая теорема. ТЕОРЕМА. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной вели -чины и квадратом её математического ожиданием, т.е. В самом деле, по определению Так как
СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ: 1. Дисперсия постоянной случайной величины равна нулю, т.е. 2. Постоянный множитель сучайной величины выносится из дисперсии с квадратом, т.е. 3. Дисперсия алгебраической суммы двух случайных вели- чин равна сумме их дисперсий, т.е. Следствие из 2 и 3 свойств: Рассмотрим примеры..
Пример 1. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти её среднее квадратическое отклонение.
Сначала найдём
Тогда среднее квадратическое отклонение
Пример 2. Пусть дана плотность распределения непрерыв -ной случайной величины: Найти её дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Тогда
3.4 Моменты случайных величин.
Различают моменты двух видов: начальные и центральные. Определение. Начальным моментом порядка величины Для дискретной случайной величины: Для непрерывной случайной величины: В частности, математическое ожидание Определение. Центральным моментом полрядка Для дискретной случайной величины: Для непрерывной - Центральный момент 1 – го порядка равен нулю (свойство 5 математического ожидания);
Определение. Эксцессом случайной величины Для номально распределённой случайной величины отноше- ние Пример. Пусть дана плотность распределения случайной величины Найти коэффициент асимметрии и эксцесс этой случайной величины. Найдём необходимые для этого моменты:
Эксцесс равен Кроме рассмотренных выше начальных и центральных мо –ментов на практике иногда применяются так называемые абсо- лютные моменты. Абсолютный начальный момент определяется формулой: Абсолютный центральный момент задаётся формулой: В частности, Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками, для описания случайных величин используются понятия квантилей. Определение. Квантилем уровня В обозначениях этого определения, медиана случайной ве- личины
§ 4 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Сначала рассмотрим некоторые законы распределения дис- кретных случайных величин. 4.1 Биномиальное распределение . Пусть случайная величина
где Для вычисления этого выражения, продифференцировав по
Но Продифференцировав то же самое выражение дважды, получим Умножив полученное равенство на Тогда Таким образом, Отсюда Итак, для биномиального распределения:
Пример. Произведено 20 независимых выстрелов по мише- ни. Вероятность попадания при каждом выстреле Случайная величина
4.2 Распределение Пуассона. Определение. Дискретная случайная величина закон распределения Пуассона, если она задаётся рядом рас- пределения
в котором вероятности определяются по формуле Пуассона где Приведём без доказательства следующую теорему. ТЕОРЕМА. Математическое ожидание и дисперсия случай -ной величины, распределённой по закону Пуассона, совпадают и равны параметру
При достаточно больших
4.3 Геометрическое распределение.
Определение. Дискретная случайная величина
В этом случае вероятности представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и её сумма
ТЕОРЕМА. В случае случайной величины, имеющей геомет- рическое распределение с параметром Пример. Производятся выстрелы по мишени до первого попа- дания. Вероятность попадания при каждом выстреле Составить ряд распределения случайной величины
По теореме, среднее квадратическое отклонение
4.4 Гипергеометрическое распределение.
Пусть в партии из
Для этой случайной величине математическое ожидание вы- числяется по формуле
Пример. В урне находится 5 белых и 3 чёрных шара. Слу- чайным образом отобраны 3 шара. Составить ряд распределе- ния случайной величины Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3. найдём их вероятности: Получаем ряд распределения:
Математическое ожидание можно вычислить непосредственно, пользуясь известными формулами, а можно воспользоваться формулами из теоремы. В нашем примере
Теперь рассмотрим основные законы распределения непре- рывных случайных величин.
4.5 Равномерное распределение.
С
Так как площадь под графиком плотности распределения должна быть равна единице, то Её функция распределения имеет вид:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|