|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Изосова Л.А., Изосов А.В. 6 страница
3.2. Мода и медиана случайной величины.
Это ещё две характеристики положения случайной вели- чины. Определение. Модой дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Для непрерыв –ной случайной величины мода - это точка максимума функ- ции .
Если многоугольник распределения (для дискретной случай- ной величины) или кривая распределение (для непрерывной случайной величины) имеет две или более точек максимума, то распределение называется двухмодальным или многомо -дальным, соответственно. Если нет ни одной точки максимума, то распределение называется антимодальным.
Определение. Медианой случайной величины на – зывается такое её значение, относитеоьно которого равноверо- ятны получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е. Другими словами, - это абсцисса точки, в которой площадь под графиком плотности распределения (многоуголь- ником распределения) делится пополам.
Пример. Дана плотность случайной величины:
Найти медиану этой случайной величины. Медиану найдём из условия . В нашем случае,
Из четырёх корней необходимо выбрать тот, который заключён между 0 и 2, т.е.
Замечание. Если распределение случайной величины одно- модальное и симметричное (нормальное), то все три характе -ристики положения: математическое ожидание, мода и медиа -на, совпадают.
3.3 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Значения наблюдаемых случайных величин, обычно, более или менее колеблются около некоторого среднего значения. Это явление называется рассеянием случайной величины око- ло её среднего значения. Числовые характеристики, показыва- ющие, насколько плотно сгруппированы возможные значения случайной велипины около среднего, называются характерис – тиками рассеяния. Из свойства 5 математического ожидания следует, что линейное отклонение значений случайной вели –чины от среднего значения не может служить характеристикой рассеяния, так как положительные и отрицательные отклоне –ния «гасят» друг друга. Поэтому основной характеристикой рассеяния случайной величины принято считать математичес - кое ожидание квадрата отклонения случайной величины от среднего. Определение. Дисперсией называется математическое ожи –дание квадрата отклонения случайной величины от её матема- тического ожидания (среднего значения), т.е. (3) Для дискретной случайной величины: (4) для непрерывной случайной величины: (5) Но, несмотря на удобства этой характеричтики рассеяния, желательно иметь характеристику рассеяния соразмерную с самой случайной величиной и её математическим ожиданием. Поэтому вводится ещё одна характеристика рассеяния, кото -рая называется средним квадратическим отклонением и рав -на корню из дисперсии, т.е. . Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой, которую даёт следующая теорема. ТЕОРЕМА. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной вели -чины и квадратом её математического ожиданием, т.е.
В самом деле, по определению
Так как .
СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ: 1. Дисперсия постоянной случайной величины равна нулю, т.е. 2. Постоянный множитель сучайной величины выносится из дисперсии с квадратом, т.е. 3. Дисперсия алгебраической суммы двух случайных вели- чин равна сумме их дисперсий, т.е.
Следствие из 2 и 3 свойств: Рассмотрим примеры..
Пример 1. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти её среднее квадратическое отклонение.
Сначала найдём
Тогда среднее квадратическое отклонение
Пример 2. Пусть дана плотность распределения непрерыв -ной случайной величины:
Найти её дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Тогда
3.4 Моменты случайных величин.
Различают моменты двух видов: начальные и центральные. Определение. Начальным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины , т.е. . Для дискретной случайной величины: Для непрерывной случайной величины: В частности, математическое ожидание - это началь- ный момент 1 – го порядка. Определение. Центральным моментом полрядка слу -чайной величины называется математическое ожидание ве- личины , т.е. Для дискретной случайной величины: Для непрерывной - Центральный момент 1 – го порядка равен нулю (свойство 5 математического ожидания); ; характеризует асимметрию (скощенность) графика плотности распределения. называется коэффициентом асимметрии.
служит для характеристики островерхости распределения. Определение. Эксцессом случайной величины называет- ся число Для номально распределённой случайной величины отноше- ние . Поэтому кривые распределения, более островер- хие, чем нормальная, имеют положительный эксцесс ( ), а более плосковерхие имеют отрицательный эксцесс ( ). Пример. Пусть дана плотность распределения случайной величины :
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс этой случайной величины. Найдём необходимые для этого моменты:
Тогда коэффициент асимметрии: (отрицательная асимметрия). Эксцесс равен
Кроме рассмотренных выше начальных и центральных мо –ментов на практике иногда применяются так называемые абсо- лютные моменты. Абсолютный начальный момент определяется формулой:
Абсолютный центральный момент задаётся формулой:
В частности, называется средним ариф- метическим отклонением и иногда используется для харак -теристики рассеяния случайной величины. Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками, для описания случайных величин используются понятия квантилей. Определение. Квантилем уровня (или - квантилем) называется такое значение случайной величины, при кото- ром функция её распределения принимает значение, равное , т.е. В обозначениях этого определения, медиана случайной ве- личины
§ 4 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Сначала рассмотрим некоторые законы распределения дис- кретных случайных величин. 4.1 Биномиальное распределение . Пусть случайная величина - это число появлений неко -торого события в серии из независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события , а вероятность не появления события Ряд распределения такой величины имеет вид:
где . Такой ряд распределения называется биномиальным. Математическое ожидание случайной величины в этом случае имеет вид: (1) Для вычисления этого выражения, продифференцировав по следующее выражение: получим Если мы умножим это равенство на , получим (2) Но а правые части равенств (1) и (2) совпадают, тогда Продифференцировав то же самое выражение дважды, получим Умножив полученное равенство на , получим:
Тогда Таким образом, Отсюда Тода
Итак, для биномиального распределения:
Пример. Произведено 20 независимых выстрелов по мише- ни. Вероятность попадания при каждом выстреле . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квад -ратическое ожидание числа попаданий. Случайная величина - число попаданий, распределена по биномиальному закону. Тогда
4.2 Распределение Пуассона. Определение. Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона, если она задаётся рядом рас- пределения
в котором вероятности определяются по формуле Пуассона (3) где ( - среднее число появлений события в серии испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянная величина ). Приведём без доказательства следующую теорему. ТЕОРЕМА. Математическое ожидание и дисперсия случай -ной величины, распределённой по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона, т.е.
При достаточно больших (вообще при ) и малых значениях при условии, что произведение - постоянная величина ( ), закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального за –кона, т.е. распределение Пуассона - это асимптотическое рас -пространение биномиального закона. Иногда этот закон назы -вают законом редких явлений. По закону Пуассона распреде- лены, например, число сбоев автоматической линии, число от- казов системы в «нормальном режиме», число сбоев в работе АТС и т.п.
4.3 Геометрическое распределение.
Определение. Дискретная случайная величина име- ет геометрическое распределение, если , где для некоторого события , и её ряд распределения имеет вид:
В этом случае вероятности представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и её сумма . ТЕОРЕМА. В случае случайной величины, имеющей геомет- рическое распределение с параметром , математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:
Пример. Производятся выстрелы по мишени до первого попа- дания. Вероятность попадания при каждом выстреле . Составить ряд распределения случайной величины - «чис- ло попаданий». Найти её математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
По теореме, среднее квадратическое отклонение
4.4 Гипергеометрическое распределение.
Пусть в партии из изделий имеется стандартных. Случайным образом отбирают изделий. Пусть случайная величина - число стандартных изделий среди отобранных. Очевидно, озможные значения этой случайной величины: Вероятности возможных значений вычисляются по формуле:
Для этой случайной величине математическое ожидание вы- числяется по формуле а дисперсия:
Пример. В урне находится 5 белых и 3 чёрных шара. Слу- чайным образом отобраны 3 шара. Составить ряд распределе- ния случайной величины - числа белых шаров среди ото –бранных. Найти её математическое ожидание и дисперсию. Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3. найдём их вероятности:
Получаем ряд распределения:
Математическое ожидание можно вычислить непосредственно, пользуясь известными формулами, а можно воспользоваться формулами из теоремы. В нашем примере . Тогда
Теперь рассмотрим основные законы распределения непре- рывных случайных величин.
4.5 Равномерное распределение. Определение. Непрерывная случайная величина имеет рав -номерное распределение на отрезке , если она имеет постоянное значение на этом отрезке и равна нулю вне этого отрезка, т.е. график её плотности имеет вид:
С
Так как площадь под графиком плотности распределения должна быть равна единице, то Тогда
Её функция распределения имеет вид:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|