Изосова Л.А., Изосов А.В. 6 страница

3.2. Мода и медиана случайной величины.

Это ещё две характеристики положения случайной вели- чины.

Определение. Модой дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Для непрерыв –ной случайной величины мода - это точка максимума функ- ции .

Если многоугольник распределения (для дискретной случай- ной величины) или кривая распределение (для непрерывной случайной величины) имеет две или более точек максимума, то распределение называется двухмодальным или многомо -дальным, соответственно.

Если нет ни одной точки максимума, то распределение называется антимодальным.

Определение. Медианой случайной величины на – зывается такое её значение, относитеоьно которого равноверо- ятны получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е.

Другими словами, - это абсцисса точки, в которой площадь под графиком плотности распределения (многоуголь- ником распределения) делится пополам.

Пример. Дана плотность случайной величины:

Найти медиану этой случайной величины.

Медиану найдём из условия . В нашем случае,

Из четырёх корней необходимо выбрать тот, который заключён между 0 и 2, т.е.

Замечание. Если распределение случайной величины одно- модальное и симметричное (нормальное), то все три характе -ристики положения: математическое ожидание, мода и медиа -на, совпадают.

3.3 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Значения наблюдаемых случайных величин, обычно, более или менее колеблются около некоторого среднего значения. Это явление называется рассеянием случайной величины око- ло её среднего значения. Числовые характеристики, показыва- ющие, насколько плотно сгруппированы возможные значения случайной велипины около среднего, называются характерис – тиками рассеяния. Из свойства 5 математического ожидания следует, что линейное отклонение значений случайной вели –чины от среднего значения не может служить характеристикой рассеяния, так как положительные и отрицательные отклоне –ния «гасят» друг друга. Поэтому основной характеристикой рассеяния случайной величины принято считать математичес - кое ожидание квадрата отклонения случайной величины от среднего.

Определение. Дисперсией называется математическое ожи –дание квадрата отклонения случайной величины от её матема- тического ожидания (среднего значения), т.е.

(3)

Для дискретной случайной величины:

(4) для непрерывной случайной величины:

(5)

Но, несмотря на удобства этой характеричтики рассеяния, желательно иметь характеристику рассеяния соразмерную с самой случайной величиной и её математическим ожиданием.

Поэтому вводится ещё одна характеристика рассеяния, кото -рая называется средним квадратическим отклонением и рав -на корню из дисперсии, т.е. .

Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой, которую даёт следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной вели -чины и квадратом её математического ожиданием, т.е.

В самом деле, по определению

Так как .

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ:

1. Дисперсия постоянной случайной величины равна нулю, т.е.

2. Постоянный множитель сучайной величины выносится из дисперсии с квадратом, т.е.

3. Дисперсия алгебраической суммы двух случайных вели- чин равна сумме их дисперсий, т.е.

Следствие из 2 и 3 свойств:

Рассмотрим примеры..

Пример 1. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти её среднее квадратическое отклонение.

	- 1	1	3	4	5
	0,2	0,05	0,2	0,3	0,25

Сначала найдём

Тогда среднее квадратическое отклонение

Пример 2. Пусть дана плотность распределения непрерыв -ной случайной величины:

Найти её дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Тогда

3.4 Моменты случайных величин.

Различают моменты двух видов: начальные и центральные.

Определение. Начальным моментом порядка случайной

величины называют математическое ожидание величины , т.е. .

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

В частности, математическое ожидание - это началь- ный момент 1 – го порядка.

Определение. Центральным моментом полрядка слу -чайной величины называется математическое ожидание ве- личины , т.е.

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной -

Центральный момент 1 – го порядка равен нулю (свойство 5 математического ожидания); ; характеризует асимметрию (скощенность) графика плотности распределения. называется коэффициентом асимметрии.

служит для характеристики островерхости распределения.

Определение. Эксцессом случайной величины называет- ся число

Для номально распределённой случайной величины отноше- ние . Поэтому кривые распределения, более островер- хие, чем нормальная, имеют положительный эксцесс ( ), а более плосковерхие имеют отрицательный эксцесс ( ).

Пример. Пусть дана плотность распределения случайной величины :

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс этой случайной величины.

Найдём необходимые для этого моменты:

Тогда коэффициент асимметрии: (отрицательная асимметрия).

Эксцесс равен

Кроме рассмотренных выше начальных и центральных мо –ментов на практике иногда применяются так называемые абсо- лютные моменты.

Абсолютный начальный момент определяется формулой:

Абсолютный центральный момент задаётся формулой:

В частности, называется средним ариф- метическим отклонением и иногда используется для харак -теристики рассеяния случайной величины.

Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками, для описания случайных величин используются понятия квантилей.

Определение. Квантилем уровня (или - квантилем) называется такое значение случайной величины, при кото- ром функция её распределения принимает значение, равное , т.е.

В обозначениях этого определения, медиана случайной ве- личины

§ 4 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Сначала рассмотрим некоторые законы распределения дис- кретных случайных величин.

4.1 Биномиальное распределение .

Пусть случайная величина - это число появлений неко -торого события в серии из независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события , а вероятность не появления события Ряд распределения такой величины имеет вид:

	0	1

где . Такой ряд распределения называется биномиальным. Математическое ожидание случайной величины в этом случае имеет вид:

(1)

Для вычисления этого выражения, продифференцировав по следующее выражение: получим

Если мы умножим это равенство на , получим

(2)

Но а правые части равенств (1) и (2) совпадают, тогда

Продифференцировав то же самое выражение дважды, получим

Умножив полученное равенство на , получим:

Тогда

Таким образом,

Отсюда Тода

Итак, для биномиального распределения:

Пример. Произведено 20 независимых выстрелов по мише- ни. Вероятность попадания при каждом выстреле . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квад -ратическое ожидание числа попаданий.

Случайная величина - число попаданий, распределена по биномиальному закону. Тогда

4.2 Распределение Пуассона.

Определение. Дискретная случайная величина имеет

закон распределения Пуассона, если она задаётся рядом рас- пределения

	0	1

в котором вероятности определяются по формуле Пуассона

(3)

где ( - среднее число появлений события в серии испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянная величина ).

Приведём без доказательства следующую теорему.

ТЕОРЕМА. Математическое ожидание и дисперсия случай -ной величины, распределённой по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона, т.е.

При достаточно больших (вообще при ) и малых значениях при условии, что произведение - постоянная величина ( ), закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального за –кона, т.е. распределение Пуассона - это асимптотическое рас -пространение биномиального закона. Иногда этот закон назы -вают законом редких явлений. По закону Пуассона распреде- лены, например, число сбоев автоматической линии, число от- казов системы в «нормальном режиме», число сбоев в работе АТС и т.п.

4.3 Геометрическое распределение.

Определение. Дискретная случайная величина име- ет геометрическое распределение, если , где для некоторого события ,

и её ряд распределения имеет вид:

	1	2

В этом случае вероятности представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и её сумма

ТЕОРЕМА. В случае случайной величины, имеющей геомет- рическое распределение с параметром , математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

Пример. Производятся выстрелы по мишени до первого попа- дания. Вероятность попадания при каждом выстреле .

Составить ряд распределения случайной величины - «чис- ло попаданий». Найти её математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

	1	2	3

По теореме,

среднее квадратическое отклонение

4.4 Гипергеометрическое распределение.

Пусть в партии из изделий имеется стандартных. Случайным образом отбирают изделий. Пусть случайная величина - число стандартных изделий среди отобранных. Очевидно, озможные значения этой случайной величины:

Вероятности возможных значений вычисляются по формуле:

Для этой случайной величине математическое ожидание вы- числяется по формуле а дисперсия:

Пример. В урне находится 5 белых и 3 чёрных шара. Слу- чайным образом отобраны 3 шара. Составить ряд распределе- ния случайной величины - числа белых шаров среди ото –бранных. Найти её математическое ожидание и дисперсию.

Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3. найдём их вероятности:

Получаем ряд распределения:

	0	1	2	3

Математическое ожидание можно вычислить непосредственно, пользуясь известными формулами, а можно воспользоваться формулами из теоремы. В нашем примере

. Тогда

Теперь рассмотрим основные законы распределения непре- рывных случайных величин.

4.5 Равномерное распределение.

Определение. Непрерывная случайная величина имеет рав -номерное распределение на отрезке , если она имеет постоянное значение на этом отрезке и равна нулю вне этого отрезка, т.е. график её плотности имеет вид:

Так как площадь под графиком плотности распределения должна быть равна единице, то Тогда

Её функция распределения имеет вид:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒