![]()
|
|||||||
Изосова Л.А., Изосов А.В. 3 страница
§ 6 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНО - СТЕЙ.
С помощью метода математической индукции, аксиому сло- жения вероятностей можно обобщить на случай произвольного конечного числа несовместных событий Теорема. (теорема о сложении вероятностей несовместных событий) Вероятность появления хотя бы одного из Приведём важные следствия этой теоремы: Следствие 1. Если события В самом деле, в этом случае
В самом деле, противоположные события несовместны и их сумма Для случая бесконечного числа событий: Аксиома 6. Вероятность суммы бесконечно большого числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих собы –тий Аксиому умножения вероятностей также, с помощью метода математической индукции, можно обобщить на случай произ - вольного конечного числа множителей Теорема. (об умножении вероятностей) Вероятность произ -ведения, или совместного появления событий Пример. Пусть механизм состоит из 3 – х деталей. Работа механизма нарушается, если все эти детали больше, чем по- ложено по стандарту. У сборщика осталось 8 деталей, из ко- торых 4 увеличенного размера. Найти вероятность того, что собранный из оставшихся деталей механизм не будет рабо -тать.
Введём понятия зависимых и независимых событий. Рассмотрим опыт из примера 2 предыдущего параграфа, но произведём его следующим образом: извлекаем один шар из урны с 6 – ю белыми и 4 – мя чёрными шарами, определяем его цвет, возвращаем его в урну, перемешиваем шары и снова извлекаем один шар. При тех же обозначениях вероятность того, что оба шара белые, равна Здесь мы столкнулись с понятием независимых событий. Определение. Событие В примере 2 предыдущего параграфа событие Замечание. Если событие В самом деле, из аксиомы 5, Но Определение. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого. Понятие независимости можно распространить на случай произвольного числа событий. Определение. Несколько событий называются независимыми в совокупности если каждое из них и любая комбинация ос -тальных событий являются независимыми. Например, события Следствие (теоремы об умножении вероятностей). Вероятность произведения независимых в совокупности собы -тий равна произведению их вероятностей, т.е. (При условии независимости событий, условные вероятности в формуле (1) меняются на безусловные вероятности, в соответ-ствии с условием независимости событий).
Пример 1. Произведено 3 выстрела по удаляющейся мише -ни. Вероятность попадания при первом выстреле (событие В данных условиях, Событие Событие: Событие
Двумя способами получили тот же результат.
Пример 2. 5 раз подбрасывается монета. Найти вероят –ность того, что все 5 раз она выпадет одной и той же сто- роной (событие Подбрасывания монеты считаем независимыми. Вероятность появления герба (цифры) при каждом подбрасывании равна 0,5. Тогда
Теорема. (теорема о сложении вероятностей совместных со- бытий) Вероятность появления хотя бы одного из двух сов- местных событий равна сумме их вероятностей без вероят -ности их совместного появления, т.е.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим рисунок:
События
Теорема доказана. Замечание. Если искать вероятность суммы трёх совмест -ных событий, то получим формулу:
По мере увеличения числа слагаемых формула сложения ве -роятности совместных событий довольно быстро разрастается и приводит к громоздким вычислениям, что очень неудобно. Поэтому при вычислении верояности суммы нескольких сов -местных событий целесообразно использовать понятие веро -ятности противоположного события. Если событие Это формула вычисления вероятности появления хотя бы одного из
Пример 1. Два раза подбрасывается игральный кубик. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадет цифра 5. Получили тот же результат.
Пример 2. Произведено 3 выстрела по удаляющейся мише - ни. Вероятность попадания при первом выстреле (событие Воспользуемся формулой
§ 7. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ, ФОРМУЛА БЕЙЕСА).
Пусть имеется полная группа несовместных событий - гипо- тез - Пусть некоторое интересующее нас событие Эта формула называется формулой полной вероятности. В самом деле, событие
Пример 1. Три станка – автомата, производительности кото -рых относятся как 3 : 2 : 5 штампуют одинаковые детали. 80% деталей, изготовленных 1 – м станком, 90%, изготовленных 2 – м станком, и 70%, изготовленных 3 – м станком, являются стан –дартными. Все изготовленные детали хранятся в одном ящике. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется стандартной. Событие Условные вероятности появления события Тогда, по формуле полной вероятности (1), Пример 2. Пусть в первой урне находится 8 белых и 12 синих шаров, во второй урне - 5 белых и 3 синих шара. Из первой урны произвольным образом извлекаются 2 шара и перекладываются во вторую урну. Затем из второй урны из- влекается один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар белый (событие Событие
Тогда вероятность события
Замечание. Формула полной вероятности - это следствие теоремы сложения вероятностей и аксиомы умножения вероят- ностей.
Поставим теперь следующую задачу. Пусть имеется полная групппа несовместных событий - гипотез - Эта формула называется формулой Бейеса. В самом деле, из аксиомы умножения вероятностей,
Пример 3. В условиях примера 1 этого параграфа, опреде – лить вероятность того, что выбранная стандартная деталь из -готовлена 1 – м станком. По формуле (2), Пример 4. Четыре машинистки в течение определённого времени печатают рукопись в 300 счтраниц. Первая из них напечатала 60 страниц, вторая - 80, страниц, третья - 110 страниц, четвёртая - 50 страниц. Вероятность сделать опе - чатку для первой машинистки равна 0,2, для второй - 0,3, для третьей - 0,1 и для четвёртой - 0,4. После сверки текста была обнаружена опечатка. Какая машинистка, вероятнее все -го сделала опечаику. В условиях этой задачи: событие
Теперь, воспользуясь формулой Бейеса, оценим вероятности: Таким образом, вероятнее всего опечатку сделала вторая машинистка.
§ 8. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.
Пусть произведено Для серии таких испытаний может быть поставлена следу -ющая задача: определить вероятность того, что в результате проведения При условии Более простой способ вычисления таких вероятностей осно- ван на применении формулы Бернулли. Пусть в одинаковых условиях производится Пусть Рассмотрим такое событие: в Полученная формула называется формулой Бернулли. Пример 1. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектна. Найти вероятность того, что среди 10 – ти прибывших автомобилей имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) хотя бы три.
|
|||||||
|