Изосова Л.А., Изосов А.В. 3 страница

§ 6 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНО -

СТЕЙ.

С помощью метода математической индукции, аксиому сло- жения вероятностей можно обобщить на случай произвольного конечного числа несовместных событий :

Теорема. (теорема о сложении вероятностей несовместных событий) Вероятность появления хотя бы одного из не- совместных событий равна сумме их вероятностей:

Приведём важные следствия этой теоремы:

Следствие 1. Если события образуют пол -ную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.

В самом деле, в этом случае и

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

В самом деле, противоположные события несовместны и их сумма

Для случая бесконечного числа событий:

Аксиома 6. Вероятность суммы бесконечно большого числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих собы –тий

Аксиому умножения вероятностей также, с помощью метода математической индукции, можно обобщить на случай произ - вольного конечного числа множителей .

Теорема. (об умножении вероятностей) Вероятность произ -ведения, или совместного появления событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленные при условии, что все предшествующие события имели место, т.е. (1)

Пример. Пусть механизм состоит из 3 – х деталей. Работа механизма нарушается, если все эти детали больше, чем по- ложено по стандарту. У сборщика осталось 8 деталей, из ко- торых 4 увеличенного размера. Найти вероятность того, что собранный из оставшихся деталей механизм не будет рабо -тать.

- ненормальная работа механизма, , - я деталь имеет больший размер. Тогда

Введём понятия зависимых и независимых событий.

Рассмотрим опыт из примера 2 предыдущего параграфа, но произведём его следующим образом: извлекаем один шар из урны с 6 – ю белыми и 4 – мя чёрными шарами, определяем его цвет, возвращаем его в урну, перемешиваем шары и снова извлекаем один шар. При тех же обозначениях вероятность того, что оба шара белые, равна

Здесь мы столкнулись с понятием независимых событий.

Определение. Событие называется независимым по отношению к событию , если ероятность события не зависит от того, произошло событие или нет, т.е. . В противном случае, событие называется зависимым от события .

В примере 2 предыдущего параграфа событие зависело от события ( в урне изменилось количество шаров ). В примере, рассмотренном выше, при повторном извлечении шара начальные условия не изменились, поэтому вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет, т.е. событие не зависит от события .

Замечание. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

В самом деле, из аксиомы 5,

Но . Тогда

Определение. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого.

Понятие независимости можно распространить на случай произвольного числа событий.

Определение. Несколько событий называются независимыми в совокупности если каждое из них и любая комбинация ос -тальных событий являются независимыми.

Например, события независимы в совокупности, если независимы друг относительно друга следующие события:

Следствие (теоремы об умножении вероятностей). Вероятность произведения независимых в совокупности собы -тий равна произведению их вероятностей, т.е.

(При условии независимости событий, условные вероятности в формуле (1) меняются на безусловные вероятности, в соответ-ствии с условием независимости событий).

Пример 1. Произведено 3 выстрела по удаляющейся мише -ни. Вероятность попадания при первом выстреле (событие ) равна 0,9, при втором (событие ) - 0,7, при третьем (собы- тие ) - 0,5. Найти вероятности следующих событий: - «все три попадания»; - «ровно два попадания»; - «толь- ко одно попадание»; - «по крайней мере два попадания»; - «хотя бы одно попадание»; - «ни одного попадания» (предполагается, что исходы всех выстрелов независимы друг от друга). Следовательно, Аналогично,

В данных условиях, . События независимы. Тогда

Событие . Все слагаемые, входящие в событие - несовместны, а множи -тели слагаемых - независимы. Поэтому

Событие

Событие:

Событие можно представить двумя способами: либо

и тогда его вероятность равна

, либо , тогда, учитывая следствие 2 теоремы о сложении вероятнос -тей,

Двумя способами получили тот же результат.

Пример 2. 5 раз подбрасывается монета. Найти вероят –ность того, что все 5 раз она выпадет одной и той же сто- роной (событие ), либо все 5 раз выпадет герб (событие ), либо все 5 раз выпадет цифра (событие ). . Со -бытия и несовместны. Поэтому .

Подбрасывания монеты считаем независимыми. Вероятность появления герба (цифры) при каждом подбрасывании равна 0,5. Тогда

Теорема. (теорема о сложении вероятностей совместных со- бытий) Вероятность появления хотя бы одного из двух сов- местных событий равна сумме их вероятностей без вероят -ности их совместного появления, т.е.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим рисунок:

События и можно представить следующим обра- зом: . Слагаемые, входящие в эти события, являются несовместными. По правилу сложения вероятностей несовместных событий (ак- сиома 4 ), получаем:

Поэтому, так как

получаем

Теорема доказана.

Замечание. Если искать вероятность суммы трёх совмест -ных событий, то получим формулу:

По мере увеличения числа слагаемых формула сложения ве -роятности совместных событий довольно быстро разрастается и приводит к громоздким вычислениям, что очень неудобно. Поэтому при вычислении верояности суммы нескольких сов -местных событий целесообразно использовать понятие веро -ятности противоположного события. Если событие - «появ- дение хотя бы одного из совместных событий », т.е. , то вероятность этого события мож- но вычислить следующим образом:

Это формула вычисления вероятности появления хотя бы одного из совместных событий.

Пример 1. Два раза подбрасывается игральный кубик. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадет цифра 5.

- цифра 5 при первом подбрасывании. - цифра 5 при втором подбрасывании. Тогда, по теореме,

Другим способом, . Тогда

Получили тот же результат.

Пример 2. Произведено 3 выстрела по удаляющейся мише - ни. Вероятность попадания при первом выстреле (событие ) равна 0,9, при втором (событие ) - 0,7, при третьем (собы- тие ) - 0,5. Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

Воспользуемся формулой

§ 7. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ, ФОРМУЛА

БЕЙЕСА).

Пусть имеется полная группа несовместных событий - гипо- тез - , для которых известны их вероятности. Тогда, по следствию 1 из теоремы о сложении вероятностей, сумма их вероятностей равна 1, т.е. .

Пусть некоторое интересующее нас событие может прои -зойти или не произойти в случае выполнения одной из гипотез и известны условные вероятности появления события при выполнении каждой из гипотез: . Тогда вероятность события определяется по формуле: . (1)

Эта формула называется формулой полной вероятности.

В самом деле, событие можно представить следующим образом: . Так как события

несовместны, то входящие в событие слагаемые также несовместны, т.е. . По аксиоме умножения вероятностей, и тогда: . Получили нужную формулу.

Пример 1. Три станка – автомата, производительности кото -рых относятся как 3 : 2 : 5 штампуют одинаковые детали. 80% деталей, изготовленных 1 – м станком, 90%, изготовленных 2 – м станком, и 70%, изготовленных 3 – м станком, являются стан –дартными. Все изготовленные детали хранятся в одном ящике. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется стандартной.

Событие - «даталь стандартная» зависит от событий (т.е. от того, каким станком была изготовлена детпль). Вероятности этих событий, учитывая производитель- ности станков – автоматов, равны, соответственно,

Условные вероятности появления события определяются процентами стандартных деталей для каждого станка, т.е.

Тогда, по формуле полной вероятности (1),

Пример 2. Пусть в первой урне находится 8 белых и 12 синих шаров, во второй урне - 5 белых и 3 синих шара. Из первой урны произвольным образом извлекаются 2 шара и перекладываются во вторую урну. Затем из второй урны из- влекается один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар белый (событие ).

Событие зависит от того, какие шары были добавлены во вторую урну, т.е. от событий - «два белых шара», - «белый и синий шар», событие - «два синих шара». Най – дём вероятности этих событий:

Условные вероятности события по каждому из этих со -бытий равны, соответственно,

Тогда вероятность события равна

Замечание. Формула полной вероятности - это следствие теоремы сложения вероятностей и аксиомы умножения вероят- ностей.

Поставим теперь следующую задачу. Пусть имеется полная групппа несовместных событий - гипотез - , для которых известны их вероятности , . Пусть некоторое интересующее нас событие может произой- ти или не произойти в случае выполнения одной из этих ги -потез и известны условные вероятности появления события при выполнении каждой из гипотез: . По формуле пол- ной вероятности (1) мы можем найти вероятность события . Пусть событие произошло. Требуется определить долю участия каждой из гипотез в выполнении события , т.е. най- ти вероятности: . Эти вероятности можем найти по следующей формуле:

. (2)

Эта формула называется формулой Бейеса.

В самом деле, из аксиомы умножения вероятностей,

эта формула получается автоматически.

Пример 3. В условиях примера 1 этого параграфа, опреде – лить вероятность того, что выбранная стандартная деталь из -готовлена 1 – м станком.

По формуле (2),

Пример 4. Четыре машинистки в течение определённого времени печатают рукопись в 300 счтраниц. Первая из них напечатала 60 страниц, вторая - 80, страниц, третья - 110 страниц, четвёртая - 50 страниц. Вероятность сделать опе - чатку для первой машинистки равна 0,2, для второй - 0,3, для третьей - 0,1 и для четвёртой - 0,4. После сверки текста была обнаружена опечатка. Какая машинистка, вероятнее все -го сделала опечаику.

В условиях этой задачи: событие - опечатка в тексте, события - опечатка была сделана й машинисткой .

Тогда вероятность ошибки в рукописи:

Теперь, воспользуясь формулой Бейеса, оценим вероятности:

Таким образом, вероятнее всего опечатку сделала вторая машинистка.

§ 8. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.

Пусть произведено испытаний. Если вероятность собы -тия в каждом испытании не зависит от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми от– носительно события

Для серии таких испытаний может быть поставлена следу -ющая задача: определить вероятность того, что в результате проведения независимых испытаний, в которых событие появляется с постоянной вероятностью , событие произойдёт ровно раз, т.е. найти

При условии можно было бы воспользоваться теоремами сложения и умножения вероятностей с исполь- зованием правил сложения и уножения вероятностей событий. Но, по мере увеличения числа испытаний, эти правила приводят к громоздким формулам и, с учётом перебора возможных вариантов, к не менее громоздким вычислениям.

Более простой способ вычисления таких вероятностей осно- ван на применении формулы Бернулли.

Пусть в одинаковых условиях производится независимых испытаний, в каждом из которых событие появляется с по- стоянной вероятностью , а противоположное собы -тие с вероятностью .

Пусть - появления события в - м испытании ( ).

Рассмотрим такое событие: в испытаниях первые раз событие появилось, а потом перестало появляться, т.е. со- бытие . Так как входящие в собы -тие события независимы, то

Но комбинаций, типа комбинации , существует ( т.е. столько есть способов расставить « чёрточек над множи - телями»), причём все такие комбинации несовместны. Поэтому

. (1)

Полученная формула называется формулой Бернулли.

Пример 1. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектна. Найти вероятность того, что среди 10 – ти прибывших автомобилей имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) хотя бы три.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒