![]()
|
|||||||||
Проекция II закона Ньютонана OZ ось для m массы материала гибкого шнура ρп погонной 5 страница ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7 Для (рис. 2. 28) второй гармоники стоячей волны, т. е. при i = 2, с λ 2ст длиной стоячей волны, равной (2. 127) λ 2ст = 2L/3, которой соответствует λ 2 длина бегущей волны, равная λ 2 =4L/3, существуют (2. 129) два узла этой стоячей волны со следующими координатами: yy0 = L при m = 0; yy1 = L/3 при mmax = i - 1 = 1. (2. 130) Для третьей гармоники стоячей волны, т. е. i = 3, с λ 3ст длиной стоячей волной, равной (2. 127) λ 3ст = 2L/5, которой соответствует λ 3 длина бегущей волны, равная λ 3 =4L/5, волны существует (2. 129) три узла этой стоячей волны со следующими координатами: yy0 = L при m = 0; yy1 = 3L/5 при m = 1; yy2 = L/5 при mmax = i - 1 = 2. (2. 131) Общее выражение yym координат (рис. 2. 29) узлов закрытой с двух концов трубы, где m = 0, 1, 2, …номер узла для первой, второй, третьей и т. д. … гармоник стоячих волн с длинами λ 1ст, λ 2ст, λ 3ст, …, cоответствующих (2. 124) длинам λ 1, λ 2, λ 3, …бегущих волн, выводится приравниванием - 2Asink(L - y) амплитудной части (2. 122) уравнения нулю. Координаты узлов yym определяются с учётом (2. 128) λ i = 2L/i длины бегущей волны и (2. 70) ki = 2π /λ i волнового числа из следующего выражения: - 2Asinki(L - yym ) = - 2Asin[(2π /λ i)(L - yym )] = - 2Asin(2π i/2L)(L - yym ) = 0 ↔ ↔ 2π (i/L](L - yym ) = mπ ↔ yym = L[1 - (m/i)], (2. 132)гдеm= 0, 1, 2, … номер узла для первой, второй, третьей и т. д. … гармоник, а mmax максимальное значение номера узла равно i номеру гармоники этой стоячей волны; ki =2π /λ i= π i/L – волновое число (2. 70), при выводе которого использовано выражение (2. 128) для λ i длины бегущей волны первой, второй, третьей и т. д. гармоник. Согласно (2. 132) для (рис. 2. 29) первой гармоники стоячей волны в закрытой с двух концов трубы, т. е. i = 1, с λ 1ст длиной стоячей волны, равной L, которой соответствует λ 1 длина бегущей волны, равная (2. 124) 2L, существует два узла этой стоячей волны с yy0 = L координатой (2. 132)при m = 0 и yy1 = 0 координатой при mmax = i = 1. В начальный момент t0 = 0 времени для (рис. 2. 29) первой гармоники стоячей волны результирующие (2. 122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в центре трубы будут максимальны в направлении OY оси, т. е. при y = 0, будут равны (2. 122) удвоенной A амплитуде Aст = 2A бегущей волны, т. е. в центре этой трубы будет пучность стоячей волны. Приращение Δ p′ давления (2. 77), если L длина (рис. 2. 29) закрытой с двух концов трубы такова, что k0L = π , в упругой среде в сечении трубы, где y = 0, т. е. у её левого конца, будет отрицательно и равно по модулю максимальному AΔ p′ отклонению давления частиц упругой среды отравновесного значения. Отрицательное приращение Δ p′ давления, т. е. растяжение, у левого конца закрытой с двух концов трубы обозначено на рис. 2. 29 бледно-голубым цветом. В сечении трубы, где y = L, т. е. у её правого конца, приращение Δ p′ давления (2. 78) будет положительно и равно AΔ p′ максимальному отклонению давления частиц упругой среды отравновесного значения. Положительное приращение Δ p′ давления, т. е. сжатие, у правого конца закрытой с двух концов трубы обозначено на рис. 2. 29 тёмно-синим цветом. Таким образом, если L длина (рис. 2. 29) закрытой с двух концов трубы такова, что k1L = π , то на закрытых сторонах трубы устанавливаются пучности давления стоячей плоской акустической волны, а в центре трубы устанавливается узел давления этой стоячей плоской акустической волны. Для (рис. 2. 30) второй гармоники стоячей волны в закрытой с двух концов трубы, т. е. i = 2, с λ 2ст длиной стоячей волной, равной (2. 124) λ 2ст = L/2, которой соответствует λ 2 длина бегущей волны, равная λ 2= L, существует (2. 132) три узла этой стоячей волны со следующими координатами: yy0 = L при m = 0; yy1 = L/2 при m = 1; yy1 = 0 при m = i = 2. (2. 133) В начальный момент t0 = 0 времени для (рис. 2. 29) первой гармоники стоячей волны результирующие (2. 122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в центре закрытой с двух концов трубы будет равным нулю, т. е. в центре этой трубы будет узел стоячей волны. Пучности результирующего (2. 123) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в стоячей волны, равные удвоенной A амплитуде Aст = 2A бегущей волны, будут располагаться в yп = L/4, yп = 3L/4 координатах закрытой с двух концовтрубы.
![]()
AΔ p′ максимальному отклонению давления частиц упругой среды отравновесного значения, т. е. упругая среда на закрытых концах трубы будет испытывать сжатие, которое обозначено на рис. 02. 0. 30 тёмно-синим цветом. В начальный момент t0 = 0 времени для (рис. 2. 30) второй гармоники стоячей волны в центре закрытой с двух концов трубы приращение Δ p′ давления (2. 77) будет отрицательно и равно по модулю максимальному AΔ p′ отклонению давления частиц упругой среды отравновесного значения, т. е. упругая среда в центре закрытой с двух концов трубы будет испытывать растяжение, которое обозначено на рис. 2. 30 бледно-голубым цветом. В последующие моменты t времени стоячей волны в закрытой с двух концов трубе y координаты узлов приращения Δ p′ давления и результирующего отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия останyтся неизменными. Координаты пучностей приращения Δ p′ давления и результирующего отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия тоже останутся неизменными, но через Ti/2 половину периодаколебаний частиц упругой среды в режиме стоячей волны i - ой гармоники знаки отклонений s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия и приращения Δ p′ давления изменятся на противоположные, т. е. положительные смещения частиц упругой среды относительно положения равновесия станут отрицательными, а положительные приращения Δ p′ давления стоячей плоской акустической волны превратятся в отрицательные. Общее выражение координат пучностей yпm для (рис. 2. 27), (рис. 2. 28) закрытой с одной стороны трубы, где m= 0, 1, 2, …номер пучности для первой, второй, третьей и т. д. … гармоник стоячих волн с длинами λ 1ст, λ 2ст, λ 3ст, …, соответствующих (2. 124) длинам λ 1, λ 2, λ 3, …бегущих волн, которые употребляются в уравнении стоячей волны, выводится приравниванием - 2Asink(L - y) амплитудной части (2. 122) уравнения величине 2A, т. е. максимальному отклонению s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия, вследствие чего имеет место следующее выражение: -2Asinki(L - yпm ) = -2Asin{2π [(2i - 1)/4L](L - yпm)} = ±2A ↔ ↔ 2π [(2i - 1)/4L] (L - yпm) = (2m + 1)π /2 ↔ yпm = L{1 - [(2m+1)/(2i-1)]}, (2. 134) гдеm = 0, 1, 2, … номер пучности для первой, второй, третьей и т. д. … гармоник стоячей волны, а mmax максимальное значение номера пучности равно i -1 номеру гармоники этой стоячей волны; ki =2π /λ i = π (2i - 1)/4L - волновое число (2. 70), при выводе которого использовано (2. 127) выражение для λ i длины бегущей волны первой, второй, третьей и т. д. гармоник. Для первой гармоники стоячей волны, т. е. при i = 1, с λ 1ст длиной стоячей волной, равной λ 1ст = 2L, которой соответствует λ 1 длина бегущей волны, равная (2. 128) λ 1=4L, существует (рис. 2. 27) одна пучность этой стоячей волны с (2. 134) координатой, равной yп0 = 0 при mmax = i - 1 = 0. Для второй гармоники стоячей волны, т. е. при i = 2, с λ 2ст длиной стоячей волной, равной λ 2ст = 2L/3, которой соответствует λ 2 длина бегущей волны, равная (2. 127) λ 2 =4L/3, существуют (рис. 2. 28) две пучности этой стоячей волны со (2. 134) следующими координатами: yп0 = 2L/3 при m= 0; yп1 = 0 при mmax = i - 1 = 1. (2. 135) Общее выражение координат пучностей yпm для (рис. 2. 29), (рис. 2. 30) закрытой с двух концов трубы, где m = 0, 1, 2, …номер пучности для первой, второй, третьей и т. д. … гармоник стоячих волн с длинами λ 1ст, λ 2ст, λ 3ст, …, соответствующих (2. 124) длинам λ 1, λ 2, λ 3, …бегущих волн, которые употребляются в уравнении стоячей волны, выводится приравниванием - 2Asink(L - y) амплитудной части (2. 122) уравнения величине 2A, т. е. максимальному отклонению s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия, вследствие чего имеет место следующее выражение: -2Asinki(L - yпm ) = -2Asin(2π i/2L)(L - yпm)} = ±2A ↔ (π i/L)(L - yпm) = (2m + 1)π /2 ↔ ↔ yпm = L[1 - (2m+1)/2i], (2. 136) гдеm = 0, 1, 2, … номер пучности для первой, второй, третьей и т. д. … гармоник стоячей волны, а mmax максимальное значение номера пучности равно i -1 номеру гармоники этой стоячей волны; ki =2π /λ i = π i/L - волновое число (2. 70), при выводе которого использовано (2. 128) выражение для λ i длины бегущей волны первой, второй, третьей и т. д. гармоник. Для первой гармоники стоячей волны, т. е. при i = 1, с λ 1ст длиной стоячей волной, равной λ 1ст = 2L, которой соответствует λ 1 длина бегущей волны, равная (2. 128) λ 1=2L, существует (рис. 2. 29) одна пучность этой стоячей волны с (2. 136) координатой, равной yп0 = L/2 при mmax = i - 1 = 0. Для второй гармоники стоячей волны, т. е. при i = 2, с λ 2ст длиной стоячей волной, равной λ 2ст = L, которой соответствует λ 2 длина бегущей волны, равная (2. 128) λ 2 =2L, существуют (рис. 2. 30) две пучности этой стоячей волны со (2. 136) следующими координатами: yп0 = 3L/4 при m= 0; yп1 = L/4 при mmax = i - 1 = 1. (2. 137)
Стоячая волна в непоглощающей упругой среде: уравнения скорости смещений и относительной деформации частиц упругой среды относительно положений равновесия
Первая ∂ s/∂ t производная (2. 122) по t времени отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в режиме стоячей волны (рис. 2. 27) в закрытой с правой стороны трубе характеризует скорость смещения этих частиц упругой среды в произвольные моменты t времени и в произвольной y координате, вследствие чего имеет место следующее выражение для этой первой ∂ s/∂ t производной по t времени: ∂ s/∂ t = - 2Aω isinki(L - y)cos(ω it - kiL), (2. 138) где ω i = 2π v/λ i - циклическая (2. 70) частота колебаний частиц упругой среды в режиме стоячей волны i - ой гармоники, имеющей (2. 128) λ i длину бегущей волны. При подстановке в sinki(L - y) амплитуднойчасти (2. 138) выражения ∂ s/∂ t первой производной по t времени(2. 122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия, например, (рис. 02. 0. 27) в закрытой с правой стороны трубе в режиме стоячей волны волнового ki =2π /λ i числа и λ i =4L/(2i - 1) длины (2. 129) i - ой гармоники бегущей волны, а также координат yym (2. 129) узлов стоячей волны, эта sinki(L - y) амплитудная частьвыражения (2. 136) превращается в ноль. Это соответствует свойствам стоячей волны, а именно в узлах этой стоячей волны s = s(y, t) смещения частиц упругой среды относительно положения равновесия в произвольный момент t времени отсутствуют, т. е. ∂ s/∂ t скорость смещения этих частиц упругой среды в произвольные моменты t времени в узлах стоячей волны равны нулю. При подстановке в sinki(L - y) амплитуднойчасти (2. 138) выражения ∂ s/∂ t первой производной по t времени(2. 122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в режиме стоячей волны волнового ki =2π /λ i числа и λ i =4L/(2i - 1) длины (2. 127) i - ой гармоники бегущей волны, а также yпm координат (2. 134) пучностей стоячей волны, эта sinki(L - y) амплитудная частьвыражения (2. 137) превращается в единицу. Поэтому в пучностях стоячей волны ∂ s/∂ t скорость s смещения частиц упругой среды от положения равновесия в режиме (2. 122) стоячей волны максимальны и имеют амплитуду (2. 137) этих отклонений, равную 2Aω i. Первая ∂ s/∂ y производная по y координате(2. 122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в режиме стоячей волны (рис. 2. 27) в закрытой с правой стороны трубе характеризует (2. 91) ε = ∂ s/∂ y относительную деформацию этой упругой среды, которая численно равна значению длины, на которую расширился или сжался рассматриваемый объем упругой средыпри распространении в нём продольной волны, отнесённый к длины этого объема упругой среды, вследствие чего имеет место следующее выражение для этой первой ∂ s/∂ y производной по y координате: ∂ s/∂ y = - 2kiAcoski(L - y) sin(ω it - kiL ), (2. 139) где ω i = 2π v/λ i - циклическая (2. 70) частота колебаний частиц упругой среды в режиме стоячей волны i - ой гармоники, имеющей (2. 128) λ i длину бегущей волны. При подстановке в coski(L - y) амплитуднойчасти (2. 139) выражения ∂ s/∂ y первой производной по y координате(2. 122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия, например, (рис. 2. 27) в закрытой с правой стороны трубе в режиме стоячей волны волнового ki =2π /λ i числа и λ i =4L/(2i - 1) длины (2. 127) i - ой гармоники бегущей волны, а также координат yym (2. 129) узлов стоячей волны, эта coski(L - y) амплитудная частьвыражения (2. 139) превращается в единицу. Поэтому в узлах стоячей волны (2. 90) ε = ∂ s/∂ y относительная деформация упругой среды максимальна и имеет амплитуду, равную (2. 139) 2Aki. При подстановке в coski(L - y) амплитуднойчасти (2. 139) выражения ∂ s/∂ y первой производной по y координате(2. 122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в режиме стоячей волны волнового ki =2π /λ i числа и λ i =4L/(2i - 1) длины (2. 127) i - ой гармоники бегущей волны, а также координат yпm (2. 134) пучностей стоячей волны, эта coski(L - y) амплитудная частьвыражения (2. 139) превращается в нулю. Поэтому в пучностях стоячей волны (2. 90) ε = ∂ s/∂ y относительная деформация упругой среды отсутствует.
|
|||||||||
|