Проекция II закона Ньютонана OZ ось для m массы материала гибкого шнура ρп погонной 2 страница

Приближённые " ≈ " равенства в (2. 82) выражении введены вследствие малости относительного отклонения, т. е. деформации (∂ s/∂ y) < < 1 при s отклонениях частиц от положения равновесия в произвольный момент t времени. В (2. 82) сначала было использовано разложение выражения

[1 + (∂ s/∂ y)]^γ в ряд по степеням (∂ s/∂ y) с пренебрежением членами высших порядков малости, а потом использовано приближенное равенство: 1/[1 +γ (∂ s/∂ y)] ≈ [1 -γ (∂ s/∂ y)], которое справедливо при γ (∂ s/∂ x) < < 1.

Первая производная от выражения(2. 82) по y имеет следующий вид:

∂ P ^′ /∂ y = -γ P(∂ ²s/∂ y²). (2. 83) Подставляем (2. 80) в (2. 82) и получаем следующее одномерное волновое уравнение распространения акустических волн в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде: ∂ ²s/∂ y² = ρ (∂ ²s/∂ t²)/γ p ↔ ∂ ²s/∂ y²= (1/v²)(∂ ²s/∂ t²), (2. 84) где (γ P/ρ )^1/2 = v - фазовая (рис. 2. 18), (рис. 2. 19) скорость распространения звуковой волны в направлении k волнового вектора, перпендикулярного плоской волновой поверхности S площадью поперечного сечения области газа.

Из уравнения Менделеева - Клапейрона (4. 13) из раздела 4. 1 " Физическая термодинамика" для идеального газа при постоянном pдавлении имеет место следующее выражение: P/ρ =RT/μ ↔ ρ = Pμ /RT, (2. 85) где R - универсальная газовая постоянная; T - термодинамическая температура; μ - масса одного моля газа; ρ - плотность этогогаза.

Подставляем (2. 85) ρ плотности в выражение (2. 84), после чего фазовая v скорость распространения звуковой волны в газе в принимает следующий вид: v = (γ RT/μ )^1/2. (2. 86)

Средняя < v> скорость теплового движения молекул газа(4. 268) из раздела 4. 2 " Физическая термодинамика" имеет следующий вид: < v> = (8RT/π μ )^1/2. (2. 87) Сравнивая (2. 86) и (2. 87) получаем следующее соотношение фазовой v скорости распространения звуковой волны в газе со средней < v> скоростью теплового движения молекул газа: v = < v> (γ π /8)^1/2 ≈ (3/4)< v> . (2. 88) Согласно (2. 88) фазовая v скорость распространения звуковой волны в газе одного порядка со средней < v> скоростью теплового движения молекул газа.

По аналогии с одномерным (2. 85) волновым уравнением распространение акустических волн в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде с учетомs отклонения от положения равновесия частиц этой среды в произвольный момент t времени в произвольной точке трехмерного пространства с декартовыми x, y и z координатами описывается следующим трёхмерным волновым уравнением: (∂ ²s/∂ x²) + (∂ ²s/∂ y²) + (∂ ²s/∂ z²) = (1/v²)(∂ ²s/∂ t²), (2. 89) гдеv фазовая скорость распространения звуковой волны в любом направлении трёхмерного пространства вследствие свойства изотропности этого пространства и любой точке с

x, y и z координатамивследствие однородности трёхмерного пространства.

Волновое уравнение, фазовая скорость распространения продольных упругих волн в стержнях

Фазовая v скорость распространения продольной упругой волны в тонком стержне определяется из волнового уравнение распространения этих упругих продольных волн в тонких стержнях, когда ø d диаметр (рис. 2. 21) стержня много меньше λ длины упругой волны, т. е. когда ø d< < λ . Упругая продольная волна в тонком стержне по аналогии (рис. 2. 18) с звуковой волной в газе представляет собой (рис. 2. 21) последовательность чередующихся областей (синий цвет) сжатия и (голубой цвет) расширения, распространяющихся в направлении k волнового вектора, т. е. вдоль оси этого тонкого стержня в положительную сторону OY оси. Вследствие колебаний c (2. 3)

T = 2π /ω периодом гармонических колебаний (рис. 2. 21) внешнего И источника звука, например, пьезоэлектрического вибратора, V₁объем тонкого стержня, находящегося между сечениями газа с y₀, y₁координатами, в интервал (рис. 2. 21) времени от 0 до T/4 испытывает (синий цвет) сжатие.

В интервал (рис. 2. 21) времени от T/4 до T/2 объем V₁тонкого стержня испытывает

(голубой цвет) расширение, вследствие чего малый объем тонкого стержня Δ y длиной, находящийся в начальный момент t₀= 0 времени в (серый цвет) недеформированном состоянии, расширяется на малую Δ s длину. Поэтому этот малый объем тонкого стержня Δ y длиной к моменту T/2 времени имеет

∂ s/∂ y относительную деформацию, которая определяется следующим предельным переходом от малой

Δ y длины тонкого стержня, который получил малую Δ s деформацию: ε = limΔ s / Δ y = ∂ s/∂ y, (2. 90) Δ y→ 0

где ε = ∂ s/∂ y - относительная деформация численно равна значению длины, на которую расширился или сжался рассматриваемый объем тонкого стержня при распространении в нём упругих продольных волн, отнесённой к длине этого тонкого стержня. При расширении объема тонкого стержня ε = ∂ s/∂ y относительная деформация больше нуля, т. к. (2. 90) при расширении Δ s > 0. При сжатии объема тонкого стержня ε = ∂ s/∂ y относительная деформация меньше нуля, т. к. (2. 90) при сжатии Δ s < 0.

При малых продольных деформациях рассматриваемый объем тонкого стержня характеризуетсяσ напряжением, котороесогласнозакону Гука имеет следующее выражение:

σ = Eε , (2. 91)

где E, Н/м²- модуль Юнга, характеризующий прочностные свойства тонкого стержня, а именно, равный силе, которую надо приложить к тонкому стержню с единичным поперечным сечением, чтобы ε относительная деформация в нём равнялась единице, т. е. когда (2. 90) малая Δ y длина недеформированного стержня под воздействием приложенной силы увеличилась на величину малой

Δ s = Δ y деформации; σ , Н/м² - напряжение в площади поперечного сечения тонкого стержня, расположенной в y координате; напряжение σ , Н/м² численно равно результирующей силе,

приложенной в данной y координате к единичной площади поперечного сечения тонкого стержня с

вектором этой результирующей силы, направленным перпендикулярно поперечному сечению тонкого стержня; напряжение σ , Н/м²в площади поперечного сечения тонкого стержня, расположенным в

y координате тонкого стержня, имеет знак ε относительной деформации в этой площади поперечного сечения тонкого стержня: при расширении объема в данной площади поперечного сечения тонкого стержня ε = ∂ s/∂ y относительная деформация (2. 90) больше нуля, поэтому напряжение σ , Н/м²в этой площади тоже больше нуля; при сжатии объема в данной площади поперечного сечения тонкого стержня ε = ∂ s/∂ y относительная деформация (2. 90) меньше нуля, поэтому напряжение σ , Н/м²в этой площади тоже меньше нуля.

На рис. 2. 22 по аналогии с рис. 2. 20, где изображено приращение Δ V объёма газа при распространении в нём звуковой волны, представлен отдельно от всего (рис. 2. 21) тонкого стержня малый Δ V объем этого тонкого стержня Δ s длиной и S площадью поперечного сечения, испытывающий в момент t_n времени расширение.

При расширении малого Δ V объема тонкого стержня к правой чёрной стенке приложен вектор F _{yn+ Δ}_sсилы упругой деформации в положительном направлении OY оси, вследствие чего эта правая чёрная стенка удалилась от левой зелёной стенки малого Δ V объема тонкого стержня на малую

Δ s длину и заняла положение с y_n₊Δ s координатой. К левой зелёной стенке малого Δ V объема тонкого стержня, имеющей в недеформированном состоянии y_n координату, приложенвектор F _ynсилы упругой деформации, который противодействует вектору F _{yn+ Δ}_sсилы упругой деформации в правой чёрной стенки с y_n+ Δ s координатой. Когда под воздействием вектора F _{yn+ Δ}_sсилы упругой деформации у правой чёрной стенки с y_n₊Δ s координатой образовался малый Δ V объем расширения тонкого стержня Δ s длиной и S площадью поперечного сечения, у левой зелёной стенки малого Δ V объема возникает вектор F _ynсилы упругой деформации, противодействующий этому расширению. Направлен этот вектор F _ynсилы упругой деформации в отрицательном направлении OY оси, т. е. противоположно вектору F _{yn+ Δ}_sсилы упругой

Направлен этот вектор F _ynсилы упругой деформации в отрицательном направлении OY оси, т. е. противоположно вектору F _{yn+ Δ}_sсилы упругой деформации в правой чёрной стенки с y_n₊Δ s координатой, а F _yn модуль вектора F _ynсилы упругой деформации у левой зелёной стенки малого Δ V объема меньше F_{yn+ Δ}_s модуля вектору F _{yn+ Δ}_sсилы упругой деформации в правой чёрной стенки с y_n₊Δ s координатой, потому что в противном случае не происходило бы расширения малого Δ V объема на Δ s длину в положительном направлении OY оси.

Проекция II закона Ньютонана OY осьдля m массы материала тонкого стержня ρ плотностью, заключённой в (рис. 2. 22) малом объема Δ V=SΔ s, к которой по OY оси приложены два вектора: вектор F_{yn+ Δ}_sсилы упругой деформации в правой чёрнойстенки с y_n₊Δ s координатой и вектор F _ynсилы упругой деформации у левой зелёнойстенки с y_n координатой, имеет следующий вид: OY: ρ SΔ s(∂ ²s/∂ t²) = (F_{yn+ Δ}_s)_y + (F_yn)_y= F_yn+_Δ_s- |F_yn|, (2. 92)

где ∂ ²s/∂ t²- проекция вектора ∂ ² s /∂ t² ускорения на OY ось (рис. 2. 22) центра C масс малого Δ V объема тонкого стержня при его расширении на Δ s длину в положительном направлении OY оси;

(F_{yn+ Δ}_s)_y = F_{yn+ Δ}_s - проекция на OY ось вектора F _{yn+ Δ}_sсилы упругой деформации, который направлен в положительную сторону OY оси; (F_yn)_y= - | F _yn | - проекция на OY ось вектора F _yn силы упругой деформации, который направлен в отрицательную сторону OY оси, что в (2. 93) учтено знаком " -" минус перед | F _yn | модулем этого вектора F _ynсилы упругой деформации.

Модули F_{yn+ Δ}_s, | F _yn | векторов соответственно F _{yn+ Δ}_sсилы упругой деформации в правой чёрной стенки с y_n₊Δ s координатой и F _yсилы упругой деформации у левой зелёной стенки с y_n координатой, имеют с учётом (2. 91) следующие значения: F_{yn+ Δ}_s = Sσ _{yn+ Δ}_s; | F _yn | = Sσ _yn, (2. 93) где σ _{yn+ Δ}_s, σ _yn- напряжения (2. 91), (2. 93) в площадях поперечного сечения тонкого стержня, расположенных соответственно y_n+ Δ s и y_n координатах, которые имеют положительные значения, поскольку малый Δ V объем тонкого стержня Δ s длиной (рис. 02. 0. 22) во всех своих площадях поперечного сечения расширяется.

Подставляем (2. 93) в (2. 92) и получаем следующее выражение проекции II закона Ньютонана OY осьдля m массы материала тонкого стержня ρ плотностью, заключённой в (рис. 2. 22) малом объеме Δ V = SΔ s:

OY: ρ SΔ s(∂ ²s/∂ t²) = F_yn+_Δ_s - | F _yn | ↔ ρ SΔ s(∂ ²s/∂ t²) = S(σ _{yn+ Δ}_s- σ _yn) ↔ ρ Δ s(∂ ²s/∂ t²) = σ _{yn+ Δ}_s- σ _yn. (2. 94)

На малом промежутке от y_n до y_n+ Δ s координат тонкого стержня σ (y)функция, которая представляет собой σ , Н/м² напряжение в S площади, расположенной в y_n ≤ y ≤ y_n+ Δ s координате этоготонкого стержня, и σ '(y) производная от σ , Н/м² напряжения непрерывны, поэтому согласно теореме Лагранжа для разности σ _{yn+ Δ}_s- σ _yn напряжений, имеет место следующее выражение:

σ _{yn+ Δ}_s- σ _yn = (∂ σ /∂ у)[( y_n+ Δ s) - y_n] ↔ σ _{yn+ Δ}_s- σ _yn = (∂ σ /∂ у)Δ s. (2. 95)

Подставляем (2. 90) в (2. 95) и получаем следующее выражение для разности

σ _{yn+ Δ}_s- σ _yn напряжений в площадях поперечного сечения тонкого стержня, расположенных соответственно y_n+ Δ s и y_n координатах, т. е. (рис. 2. 22) в левой зелёной и правой чёрной стенках малого Δ V объема тонкого стержня Δ s длиной, испытывающего в момент t_n времени расширение: σ _{yn+ Δ}_s- σ _yn = (∂ σ /∂ у)Δ s ↔ σ _{yn+ Δ}_s- σ _yn = E[∂ (∂ s/∂ y)/∂ y]Δ s ↔ σ _{yn+ Δ}_s- σ _yn = E(∂ ²s/∂ y²)Δ s. (2. 96)

Подставляем (2. 96) в (2. 94) и получаем по аналогии с (2. 84) акустической волной следующее одномерное волновое уравнение распространения продольных волн в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде:

E(∂ ²s/∂ y²)Δ s = ρ Δ s(∂ ²s/∂ t²) ↔ ∂ ²s/∂ y² = (ρ /E)(∂ ²s/∂ t²) ↔ ∂ ²s/∂ y² = (1/v²)(∂ ²s/∂ t²), (2. 97) где (E/ρ )^1/2 = v - фазовая (рис. 2. 21) скорость распространения продольной волны в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде в направлении k волнового вектора, перпендикулярного плоской поверхности S площадью поперечного сечения тонкого стержня.

Волновое уравнение, фазовая скорость распространения поперечных волн в гибком шнуре

Фазовая v скорость распространения поперечных волн в

(рис. 2. 23) натянутом с F силой гибком шнуреопределяется из волнового уравнение, когда имеют место малые s отклонения площади поперечного сечения гибкого шнура относительно положения равновесия в направлении, перпендикулярном длине этого гибкого шнура.

Вследствие колебаний c (2. 3) T = 2π /ω периодом гармонических колебаний (рис. 2. 23) внешнего И источника, например, вибратора, y₀-y₁отрезок гибкого шнура, находящегося между поперечными сечениями этого гибкого шнура с y₀, y₁координатами соответственно, в интервал времени от 0 до T/4 отклоняется вверх, т. е. в положительную сторону OZ оси. Участок гибкого шнура с y₀координатой в момент t₁= T/4 времени отклоняется (рис. 2. 23) по OZ оси относительно положения равновесия на s_m максимальное или амплитудное значение.

Упругая поперечная волна в (рис. 2. 23) натянутом с F силой гибком шнуре представляет собой последовательность малых s отклонений площади поперечного сечения гибкого шнура относительно положения равновесия в направлении k волнового вектора, т. е. вдоль этого гибкого шнура в положительную сторону OY оси.

отклоняется вверх, т. е. в положительную сторону OZ оси. Участок гибкого шнура с y₀координатой в момент t₁= T/4 времени отклоняется (рис. 2. 23) по OZ оси относительно положения равновесия на s_m максимальное или амплитудное значение.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒