Лекции 5 , 6, 7. Колебания. Механические волны

02. 0. 0 Колебания и волны - 6 часов

Лекции 5, 6, 7. Колебания. Механические волны

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Кинематика гармонических колебаний. Представление гармонических колебаний на векторной диаграмме. Сложение гармонических колебаний одного направления равных и близких частот. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний равных и кратных частот. Динамика гармонических колебаний. Кинетическая и потенциальная энергия гармонического осциллятора. Полная механическая энергия и импульс гармонического осциллятора. Фазовая траектория колебательной системы. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника и его решение. Квазиупругая сила колебательной системы. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение. Декремент и логарифмический декремент свободных затухающих колебаний. Добротность колебательной системы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Механический резонанс колебательных процессов. Виды механических волн. Основы акустики. Элементы физиологической акустики. Уравнение синусоидальной бегущей плоской и сферической волн, длина волны, фазовая скорость. Звуковые волны в газах. Волновое уравнение распространения акустических волн в однородной изотропной непоглощающей упругой среде: фазовая скорость распространения звука. Волновое уравнение, фазовая скорость распространения продольных упругих волн в стержнях. Волновое уравнение, фазовая скорость распространения поперечных волн в гибком шнуре. Давление звука, интенсивность звуковой волны. Объемная плотность энергии упругих волн. Вектор Умова - вектор плотности потока энергии упругих волн. Когерентные волны в упругой среде. Интерференция этих волн. Стоячая волна в непоглощающей упругой среде: уравнение смещений частиц упругой среды относительно положений равновесия; расчёт координат узлов и пучностей; уравнения скорости смещений и относительной деформации частиц упругой среды относительно положений равновесия

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение

Пусть в недеформированном состоянии длина пружины равна l₀(рис. 2. 1. а). При помещении на ней тела m массой эта пружина плюс m массастановится пружинным маятником. При отсутствии колебаний пружинного маятника пружина имеет (рис. 2. 1. б) модуль Δ l₀вектора Δ l₀статического удлиненияи в этой пружиневозникает согласно (1. 106) из раздела 1. 0 " Физические основы механики" вектор

Колебаниями называются процессы, которые могут представлять собой движение или изменение состояния тела, в той или иной степени повторяющиеся во времени. В зависимости от физической природы колебательного процесса и механизма его возбуждения различают: механические колебания (колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, давления воздуха при распространении в нем звука ), электромагнитные (колебания переменного электрического тока в цепи, колебания векторов E и B электрической напряженности и магнитной индукции переменного электромагнитного поля), электромеханические (колебания мембраны телефона, диффузора электродинамического громкоговорителя ).

F_упр0статической силы упругости: F_упр0= -χ Δ l ₀ k = -χ Δ l ₀, где χ - коэффициент жесткости пружины. Проекция II закона Ньютона на OZ ось длятела m массой с учетом равенства нулю ускорения этоготела m массой при статическом растяжении пружины имеет следующий вид:

OZ: 0 = mg - F_x_упр0 ↔ 0 = mg - χ Δ l₀cos(Δ l₀ , ^ k ) ↔ mg = χ Δ l₀, (2. 1)

где cos(Δ l₀ , ^ k ) = 1, т. к. вектор Δ l₀ статического удлинения пружины составляет 0º уголс

k единичным вектором (1. 1) из раздела 1. 0 " Физические основы механики ".

При отклонении (рис. 2. 1. в) кратковременным воздействием на величину

вектора Δ z относительно вектора Δ l ₀ статического удлинения в пружине вместе с телом m массой возникнут гармонические колебания. Проекция II закона Ньютона на OZ ось в случае возникновения гармонические колебаний с учётом действия вектора m g силы тяжести и вектора F_упр силы упругости (1. 106) из раздела 1. 0 " Физические основы механики ", а также с учётом (2. 1) равенства

mg = χ Δ l₀, имеет следующий вид: OZ: m(d²z/dt²) = mg - F_x_упр↔ m(d²z/dt²) - mg + χ Δ l₀ + χ Δ z = 0 ↔

↔ (d²z/dt²) + ω ₀²z = 0, (2. 2)

где проекция Δ z на OZось вектора Δ z смещения пружинного маятника заменена равной этой проекции Δ z величиной z координаты, отсчитанной от O' начала координат в состоянии статического удлинения пружины, относительно которого происходит колебание этого пружинного маятника; ω ₀ = (χ /m)^1/2 - циклическая частота гармонических колебаний по аналогии с (1. 19) из раздела 1. 0 " Физические основы механики " модулем ω вектора ω циклической частоты равномерного вращения - это количество полных колебаний пружинного маятника за единицу времени, умноженное на 2π радиан. Исходя из определения ω ₀ циклической частоты гармонических колебаний одному полному колебанию пружинного маятника соответствуетприращение угла, т. е. фазы колебаний, равное 2π радиан. Время T, за которое у пружинного маятника произошло приращение фазы на 2π радиан, т. е. время T, за которое этот пружинный маятник совершил одно полное колебание, называется периодом колебаний и имеет следующий вид: T = 2π /ω ₀. (2. 3)

Решение линейного однородного дифференциального уравнения (2. 2) 2-го порядка имеет следующий вид: z = A₁sinω ₀t + A₂cosω ₀t, (2. 4) где A₁ и A₂ - произвольные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. В выражении (2. 4) постоянные интегрирования A₁ и A₂ определяются заданием (рис. 2. 1. в) z₀ смещения пружинного маятника относительно l₀ статического растяжения этого пружинного маятника и его проекции v₀_Zна OZось вектора v ₀ начальной скорости в начальный t₀ момент времени, т. е. при

t₀ = 0, которые с учётом (2. 4) имеют следующий вид: z₀|_t0=0= A₁sinω ₀t₀ + A₂cosω ₀t₀ = A₂ v₀_Z = (dz/dt)|_t0=0= A₁ω ₀cosω ₀t₀ - A₂ω ₀sinω ₀t₀ = A₁ω ₀ ↔ A₁ = v₀_Z/ω ₀ . (2. 5) Введем подстановку в (2. 5) для A₁ и A₂ - произвольных постоянных интегрирования, имеющую следующий вид: A₁ = - Asinφ ₀, A₂ = Acos φ ₀↔ A = (A₁²+ A₂²)^1/2↔ φ ₀ = - arctg(A₁/A₂) . (2. 6) Подставим (2. 6) в (2. 4) и получим следующее выражение z смещения (рис. 2. 1. в) тела m массой, совершающего на пружине гармонические колебания относительно статического удлинения пружинного маятника, т. е. относительно O' начала координат, в зависимости от t времени: z = A₁sinω ₀t + A₂cosω ₀t = Acosω ₀t cosφ ₀ - Asinω ₀t sinφ ₀ = Acos(ω ₀t+ φ ₀), (2. 7)

где A = (A₁²+ A₂²)^1/2, φ ₀ = - arctg(A₁/A₂) соответственно амплитуда и начальная фаза гармонических колебаний. Если z координата колеблющегося тела изменяется во t времени по (2. 7) уравнению, то оно совершает гармонические колебания.

Кинематика гармонических колебаний.

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒