Проекция II закона Ньютонана OZ ось для m массы материала гибкого шнура ρп погонной 3 страница

В интервал (рис. 2. 23) времени от T/4 до T/2 y₀-y₁ отрезок гибкого шнура, находящегося между поперечными сечениями этого гибкого шнура с y₀, y₁координатами соответственно, отклоняется вниз и в момент t₁= T/2 времени участок гибкого шнура с y₀координатой занимает положение равновесия.

Участок (рис. 2. 23) гибкого шнура с y₁координатой, вследствие наличия поперечных сил упругой деформации, приобретает от участков гибкого шнура, находящихся на y₀-y₁ отрезке, т. е. от участков гибкого шнура, в котором происходит волновой процесс, вектор начальной скорости, направленный в положительную сторону OZ оси. Вследствие этого участок (рис. 2. 23) гибкого шнура с y₁координатой в момент t₁= T/2 времени отклоняется по OZ оси относительно положения равновесия на s_m максимальное или амплитудное значение.

Согласно (рис. 2. 2) представлению колебаний векторными диаграммами одному периоду

T = 2π /ω , где ω – циклическая частота гармонических колебаний, создаваемых И источником, соответствует приращение фазы колебаний этого И источникана 2π угол.

За время T периода гармонических колебаний И источника поперечная волна (рис. 2. 23) распространится вдоль гибкого шнура на расстояние от этого И источника, равноеλ длине поперечной волны. За время распространения поперечной волн ы на λ расстояниеИ источник гармонических колебаний изменит фазу своих колебаний на угол 2π . Поэтому частицы в площади поперечного сечения гибкого шнура, имеющие расстояние между собой, равное λ длине волны и имеющие одинаковые s отклонения относительно положения равновесия, имеют различие по фазе колебаний этих частиц, равное 2π .

На рис. 2. 24 по аналогии с рис. 2. 22, где изображено приращение тонкого стержня малого

Δ V объема Δ y длиной и S площадью поперечного сечения, при распространении в нём продольной упругой волны, представлена отдельно от всего (рис. 2. 22) гибкого шнура Δ y малая деформированная длина этого гибкого шнура, испытывающего, например, в момент t_n времени отклонение относительно положения равновесия вверх, т. е. в положительную сторону OZ оси, на малую Δ s величину. Вследствие малых Δ s величин отклонений относительно положения равновесия частиц в площади поперечного сечения гибкого шнура, имеет место следующее выражение: ∂ s/∂ y = tgα ≈ sinα , (2. 98)

где (рис. 2. 23) α - малый угол отклонений площадей поперечного сечения гибкого шнура относительно положения равновесия при распространении в нём поперечной упругой волны.

Модуль F вектора F силы натяжения гибкого шнура при распространении в нём поперечной упругой волны постоянен, т. е. не зависит от y координаты площади поперечного сечения

этого гибкого шнура, поэтому для произвольной y координаты площади поперечного сечениягибкого шнура проекция F_Z на OZ ось F вектора силы натяжения гибкого шнура имеет с учётом (2. 98) следующий вид: F_Z = Fsinα ≈ F(∂ s/∂ y), (2. 99) К (рис. 2. 24) выделенному Δ y малой деформированнойдлине со стороны левойчасти гибкого шнура приложен в y_n координате F(y_n) вектор силы

реакции, имеющий проекцию F_Z(y_n) на OZ ось, а стороны правой части гибкого шнура приложен в y_n₊Δ y координате вектор F (y_n₊Δ y) силы натяжения, имеющий проекцию F_Z(y_n+ Δ y) на OZ ось. Векторы F (y_n), F (y_n₊Δ y) соответственно сил реакции, натяжения имеют равные F модули, но различные по причине деформации малой Δ y длины гибкого шнура проекции F_Z(y_n), F_Z(y_n+ Δ y) на

OZ ось этих сил реакции, натяжения. Вследствие (рис. 2. 24) этой деформации малой Δ y длины гибкого шнура (рис. 2. 23) малые α углы наклона относительно OY оси векторов F (y_n), F (y_n+ Δ y)соответственно сил реакции, натяжения, направленных по касательной к деформированной малой Δ y длине гибкого шнура, различны и зависят от y_n, y_n+ Δ y координатсоответственно начала и конца деформированной малой Δ y длины гибкого шнура.

В площади поперечного сечения гибкого шнура, находящемся в малом промежутке от

y_n до y_n₊Δ y координат соответственно начала и конца деформированной малой Δ y длины гибкого шнура, F_Z(y)функция, которая представляет собой проекцию F_Z(y) на OZ ось вектора F (y) силы натяжения в этой S гибкого шнура, и F_Z '(y) производная от F_Z(y)функции непрерывны. Поэтому согласно теореме Лагранжа приращение F_Z(y_n+ Δ y) - |F_Z(y_n)|функции F_Z(y) на малом промежутке от y_n до y_n₊Δ y координат имеет место следующее выражение: F_Z(y_n+ Δ y) - |F_Z(y_n)| = (∂ F_Z /∂ у)Δ y, (2. 100) где (рис. 2. 24) " - |F_Z(y_n)| " - отрицательное значение проекции F_Z(y_n) на OZ ось вектора F (y_n) силы реакции в площади поперечного сечения гибкого шнура, расположенной в y_n координате начала деформированной малой Δ y длины гибкого шнура.

Проекция II закона Ньютонана OZ ось для m массы материала гибкого шнура ρ п погонной

плотностью, заключённой в (рис. 2. 24) малой Δ y длине гибкого шнура, к которой приложены два вектора: вектор F (y_n) силы реакции в начале деформированной малой Δ y длины гибкого шнура и F (y_n₊Δ y силы натяжения в y_n+ Δ y координате конца деформированной малой Δ y длиныэтого гибкого шнура, имеет с учётом (2. 100) следующий вид: OZ: ρ _пΔ y(∂ ²s/∂ t²) = F_Z(y_n+ Δ y) + F_Z(y_n) ↔

↔ ρ _пΔ y(∂ ²s/∂ t²) = F_Z(y_n+ Δ y) - |F_Z(y_n)| ↔ ρ _пΔ y(∂ ²s/∂ t²) =(∂ F_Z /∂ у)Δ y↔ ρ _п(∂ ²s/∂ t²) =(∂ F_Z /∂ у), (2. 101)

где ρ _п= ρ /S, кг/м - погонная плотность гибкого шнура, имеющего S площадь поперечного сечения и

ρ плотность материала, из которого изготовлен этот гибкий шнура; погонная ρ _п плотность протяжённого предмета - этомасса единицы длины этого протяжённого предмета; ∂ ²s/∂ t²- проекция вектора ∂ ² s /∂ t² ускорения на OZ ось (рис. 2. 24) центра C деформированной малой Δ y длины гибкого шнура при его перемещении на малое Δ s отклонение относительно положения равновесия по OZ оси. Подставляем (2. 99) в (2. 101) и получаем по аналогии с (2. 97) продольными волнами в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде следующее одномерное волновое уравнение распространения поперечных упругих волны в гибком шнуре, вдоль длины которого приложенвектор F силы натяжения с F модулем:

ρ _п(∂ ²s/∂ t²) =∂ [F(∂ s/∂ y)]/∂ у ↔ ρ _п(∂ ²s/∂ t²) =F∂ [(∂ s/∂ y)]/∂ у ↔

↔ ∂ ²s/∂ y² = (ρ _п/F)(∂ ²s/∂ t²) ↔ ∂ ²s/∂ y² = (1/v²) (∂ ²s/∂ t²), (2. 102) где (F/ρ _п)^1/2 = v - фазовая (рис. 2. 23) скорость распространения поперечных упругих волны в гибком шнуре, натянутого с F силой и имеющего ρ _п погонную плотность, в направлении k волнового вектора вдоль длины этого натянутого гибкого шнура.

Давление звука, интенсивность звуковой волны. Объемная плотность энергии упругих волн

Звуковое давление - это давление, возникающее при прохождении звуковой волны в жидкой и газообразной средах. Оно представляет собой переменную часть давления, т. е. колебания давления относительно среднего значения при прохождении звуковых волн в среде. Звуковое давление - главная количественная характеристика звука, основной объект акустических измерений. Единица измерения звукового давления в СИ - Ньютон на квадратный метр (Н/м²). Действующее значение звукового давления в воздухе изменяется в широких пределах - от 10^-5 Н/м² вблизи порога слышимости до 10³ Н/м² при самых громких звуках, например, шумах реактивного самолета. В воде на ультразвуковых частотах порядка нескольких МГц с помощью фокусирующих излучателей получают значение звукового давления до 10⁷Н/м².

В некоторой среде распространяется в направлении OY оси плоская продольная волна. В элементарном Δ V объёме частицы упругой среды совершают гармоничекие колебания, т. е

s отклонения (2. 69) от положения равновесия в произвольный момент tвремени. Скорость ∂ s/∂ t отклонений s от положения равновесия частиц упругой среды в произвольный момент t времени и их (2. 90) относительная ∂ s/∂ y деформация от этого положения равновесия, определятся из (2. 79) для плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления OY оси, из следующего выражения: ∂ s/∂ t = -Aω sin(ω t - ky+ φ ₀); ∂ s/∂ y = Aksin(ω t - ky+ φ ₀). (2. 103) Кинетическая Δ W_k энергия в элементарном Δ V объеме m = ρ Δ V массой, где ρ - плотность упругой среды, имеющей в произвольный момент t времени ∂ s/∂ t скорость колебаний, с учетом (1. 83) из раздела 01. 0 " Физические основы механики " и (2. 103) определяется из следующего выражения: Δ W_k = (ρ Δ V/2)( ∂ s/∂ t)²= (ρ Δ V/2) A² ω ² sin² (ω t - ky+ φ ₀). (2. 104) Потенциальная Δ W_p энергия в элементарном Δ V объеме, имеющего (2. 90) относительную ∂ s/∂ y деформацию длины этого Δ V объема по OY оси с учетом связи фазовой v скорости продольной упругой волны с модулем E Юнга: E = ρ v², а также с учётом и связи k волнового числа c циклической ω частотой и фазовой v скоростью: k = ω /v, имеет следующий вид:

Δ W_p = (EΔ V/2)(∂ s/∂ y)² = (ρ Δ Vv²/2) A²k ²sin²(ω t - ky + φ ₀) = (ρ Δ V/2) A²ω ²sin²(ω t - ky+ φ ₀). (2. 105) Сумма (2. 104) и (2. 105) с делением на элементарный Δ V объём упругой среды приводит к следующему выражению w объемной плотности энергии бегущей продольной волны, т. е. энергии, содержащейся в единице объема упругой среды, в которой распространяется бегущая продольная волна: w = (Δ W_k + Δ W_p)/Δ V = ρ A²ω ²sin²(ω t - ky+ φ ₀). (2. 106) В случае поперечной волны дляw объемной плотности энергии получается выражение, аналогичное (2. 106). Из (2. 106) следует, чтоw объемная плотность энергии бегущей продольной или поперечной волны в каждый момент t времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке пространства, а для одномерного случая при одной и той же y = const координате согласно (2. 106) w объемная плотность энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде изменяется с t временем пропорционально квадрату синуса. Среднее значение квадрата синуса:

(1/T) ∫ sin²(ω t - ky+ φ ₀)dt = 1/2, т. е. равно1/2, поэтому < w> среднее по t временизначение w

объемной плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в каждой точке упругой среды определяется из следующего выражения: < w> = ρ A²ω ²/2. (2. 107)

Вектор Умова - вектор плотности потока энергии упругих волн

Вектор v скорости переноса энергии волной равен вектору v скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максимальному значению w объемной плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде. Вектор v скорости переноса энергии для синусоидальных волн коллинеарен (рис. 2. 17) k волновому векторураспространения волны в упругой среде сv фазовой скоростью и направлен этот вектор v скорости переноса энергии в одну сторону с k волновым вектором.

Энергия dW синусоидальной волны, проходящая (рис. 2. 25) через элементарную поверхность dS площадью упругой среды, которая расположена под α углом к направлению вектора v скорости переноса энергии волной, т. е. расположена под α углом к направлению k волнового вектора, за элементарный промежуток dt времени определяется из следующего выражения: dW = wvdScosα dt= w( v d S )dt = wdS( vn )dt, (2. 108) где vdScosα - объём энергии, прошедшей через элементарную поверхность dS площадью упругой среды за единицу t времени в направлении вектора v скорости переноса энергии волной;

w - объемная плотность энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде; n - единичный вектор нормали к элементарной поверхности dS площадью упругой среды; α - угол между n единичным вектором к элементарной поверхности dS площадью упругой средыи вектором v скорости переноса энергииволной.

ПотокомdФ_wэнергии называется следующее отношение (2. 108) энергии dW синусоидальной волны к элементарному промежутку dt времени, за который эта dW энергия была передана черезэлементарную поверхностьdS площадью упругойсреды: Ф_w = dW/dt = (wvdS) = (udS), (2. 109)

где u = w v - вектор плотности потока энергии волны в упругой среде, который направлен в сторону переноса (2. 108) энергии dW синусоидальной волны и называется вектором Умова. Интенсивностью

I волны называется модуль среднего значения по t времени вектора Умова. Интенсивность I волны численно равна энергии W синусоидальной волны, переносимой волной за единицу t времени сквозь поверхность единичной площадью, нормальной к направлению распространению волны, т. е. расположенной нормально к направлению k волнового вектора.

С учетом выражения (2. 109) вектора u плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде, а также с учётом выражения (2. 108) < w> среднего по t временизначения w объемной плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде выражение для I интенсивности этих волн имеет следующий вид:

I = |< u > | = v< w> = ρ vA²ω ²/2 кг/с³(Вт/м²). (2. 110)

Когерентные волны в упругой среде. Интерференция этих волн

Две бегущие продольные или поперечные волны в упругой среде называются когерентными, если по аналогии с (2. 20) разность их фаз (2. 72) Ф₂– Ф₁в точке упругой среды с y координатой не зависит от времени и имеет следующий вид: Ф₂– Ф₁= (ω ₂t - ky+ φ ₂) - (ω ₁t - ky+ φ ₁) = const, (2. 111) где ω ₁ и ω ₂- циклическая частота гармонических колебаний (рис. 2. 16), создаваемых соответственно

И₁ и И₂ источникамикогерентных (2. 20) колебаний, вследствие чего в точке упругой среды с

y координатой в данный момент tвремени существуют когерентные волны; φ ₁ и φ ₂ – начальные (2. 8) фазы колебаний в t₀ = 0 момент времени частиц упругой среды в точке с y = 0 координатой, т. е. вПл. 1 плоскостиравных фаз, где находятся (рис. 2. 16)соответственно И₁ и И₂ источникигармонических когерентных (2. 20) колебаний в упругой среде.

Выполнение равенства (2. 112) в точке упругой среды с y координатой в данный момент

t времени возможно, если ω ₁ и ω ₂циклические частоты гармонических (рис. 2. 16) колебаний в упругой средеот соответственно И₁ и И₂ источниковкогерентных (2. 20) колебаний равны друг другу, т. е. когда выполняется следующее соотношение: ω ₁ = ω ₂= ω . (2. 112) Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором существует устойчивое во tвремени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других точках пространства в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Интерферировать могут только когерентные волны, которые распространяются вдоль одного и того же или близких направлений.

При наложении когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными (рис. 2. 26)

S₁, S₂источниками гармонических колебаний, отклонения соответственноs₁= s₁(r₁, t) , s₂= s₂(r₂, t) от положения равновесия частиц упругой среды в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂расстояниях от этих соответственно S₁, S₂источников, с учетом (2. 77) имеют следующий вид: s₁ = ( a₁₀/r₁)cos(ω t - kr₁ + φ ₁) = A₁cosФ₁; (2. 113) s₂ = ( a₂₀/r₂)cos(ω t - kr₂ + φ ₂) = A₂cosФ₂. (2. 114) Амплитуда A и Ф фаза результирующих гармонических колебаний (рис. 2. 26) частиц упругой среды в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂расстояниях от этих соответственно S₁, S₂источников по аналогии с (2. 18), (2. 19) и с учётом (2. 113), (2. 114) имеют следующий вид: s = s₁ + s₂ = AcosФ, (2. 115) где A² = A₁ ² + A₂ ² + 2A₁ A ₂ cos[Ф₂ - Ф₁] = A₁ ² + A₂ ² + 2A₁A ₂ cos [k(r₂ - r₁) - (φ ₂ - φ ₁)];

tgФ = (A₁sinФ₁+ A₂sinФ₂)/(A₁cosФ₁+ A₂cosФ₂); A₁, A₂- амплитуды бегущих продольных или поперечных волн в упругой среде в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂расстояниях от соответственноточечных S₁, S₂источников когерентных сферических волн (2. 76) волн; Ф₁, Ф₂- фазы бегущих продольных или поперечных волн в упругой среде в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂расстояниях от соответственноточечных S₁, S₂источников когерентных сферических волн (2. 76) волн; k = ω /v - волновое число, равное модулю k волновых k₁, k₁ векторов, перпендикулярных сферическим волновым фронтам от точечных S₁, S₂источников когерентных сферических волн (2. 76) волн и направленных от этих точечных S₁, S₂источников в M точку упругой среды.

Поскольку разность начальных фаз φ ₂ - φ ₁ = const (рис. 02. 0. 26) вблизи точечных S₁, S₂источников когерентных сферических волн (2. 76) волн, то результат интерференции двух бегущих продольных или поперечных волн в упругой среде в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂расстояниях от этих точечных S₁, S₂источников зависит от величины Δ = r₂ - r₁, называемой разностью хода волн.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒