![]()
|
|||||||||||
Проекция II закона Ньютонана OZ ось для m массы материала гибкого шнура ρп погонной 3 страницаВ интервал (рис. 2. 23) времени от T/4 до T/2 y0-y1 отрезок гибкого шнура, находящегося между поперечными сечениями этого гибкого шнура с y0, y1 координатами соответственно, отклоняется вниз и в момент t1 = T/2 времени участок гибкого шнура с y0 координатой занимает положение равновесия. Участок (рис. 2. 23) гибкого шнура с y1 координатой, вследствие наличия поперечных сил упругой деформации, приобретает от участков гибкого шнура, находящихся на y0-y1 отрезке, т. е. от участков гибкого шнура, в котором происходит волновой процесс, вектор начальной скорости, направленный в положительную сторону OZ оси. Вследствие этого участок (рис. 2. 23) гибкого шнура с y1 координатой в момент t1 = T/2 времени отклоняется по OZ оси относительно положения равновесия на sm максимальное или амплитудное значение. Согласно (рис. 2. 2) представлению колебаний векторными диаграммами одному периоду T = 2π /ω , где ω – циклическая частота гармонических колебаний, создаваемых И источником, соответствует приращение фазы колебаний этого И источникана 2π угол. За время T периода гармонических колебаний И источника поперечная волна (рис. 2. 23) распространится вдоль гибкого шнура на расстояние от этого И источника, равноеλ длине поперечной волны. За время распространения поперечной волн ы на λ расстояниеИ источник гармонических колебаний изменит фазу своих колебаний на угол 2π . Поэтому частицы в площади поперечного сечения гибкого шнура, имеющие расстояние между собой, равное λ длине волны и имеющие одинаковые s отклонения относительно положения равновесия, имеют различие по фазе колебаний этих частиц, равное 2π . На рис. 2. 24 по аналогии с рис. 2. 22, где изображено приращение тонкого стержня малого Δ V объема Δ y длиной и S площадью поперечного сечения, при распространении в нём продольной упругой волны, представлена отдельно от всего (рис. 2. 22) гибкого шнура Δ y малая деформированная длина этого гибкого шнура, испытывающего, например, в момент tn времени отклонение относительно положения равновесия вверх, т. е. в положительную сторону OZ оси, на малую Δ s величину. Вследствие малых Δ s величин отклонений относительно положения равновесия частиц в площади поперечного сечения гибкого шнура, имеет место следующее выражение: ∂ s/∂ y = tgα ≈ sinα , (2. 98) где (рис. 2. 23) α - малый угол отклонений площадей поперечного сечения гибкого шнура относительно положения равновесия при распространении в нём поперечной упругой волны. Модуль F вектора F силы натяжения гибкого шнура при распространении в нём поперечной упругой волны постоянен, т. е. не зависит от y координаты площади поперечного сечения
![]()
реакции, имеющий проекцию FZ(yn) на OZ ось, а стороны правой части гибкого шнура приложен в yn+ Δ y координате вектор F (yn+ Δ y) силы натяжения, имеющий проекцию FZ(yn+ Δ y) на OZ ось. Векторы F (yn), F (yn+ Δ y) соответственно сил реакции, натяжения имеют равные F модули, но различные по причине деформации малой Δ y длины гибкого шнура проекции FZ(yn), FZ(yn+ Δ y) на OZ ось этих сил реакции, натяжения. Вследствие (рис. 2. 24) этой деформации малой Δ y длины гибкого шнура (рис. 2. 23) малые α углы наклона относительно OY оси векторов F (yn), F (yn+ Δ y)соответственно сил реакции, натяжения, направленных по касательной к деформированной малой Δ y длине гибкого шнура, различны и зависят от yn, yn+ Δ y координатсоответственно начала и конца деформированной малой Δ y длины гибкого шнура. В площади поперечного сечения гибкого шнура, находящемся в малом промежутке от yn до yn+ Δ y координат соответственно начала и конца деформированной малой Δ y длины гибкого шнура, FZ(y)функция, которая представляет собой проекцию FZ(y) на OZ ось вектора F (y) силы натяжения в этой S гибкого шнура, и FZ '(y) производная от FZ(y)функции непрерывны. Поэтому согласно теореме Лагранжа приращение FZ(yn+ Δ y) - |FZ(yn)|функции FZ(y) на малом промежутке от yn до yn+ Δ y координат имеет место следующее выражение: FZ(yn+ Δ y) - |FZ(yn)| = (∂ FZ /∂ у)Δ y, (2. 100) где (рис. 2. 24) " - |FZ(yn)| " - отрицательное значение проекции FZ(yn) на OZ ось вектора F (yn) силы реакции в площади поперечного сечения гибкого шнура, расположенной в yn координате начала деформированной малой Δ y длины гибкого шнура. Проекция II закона Ньютонана OZ ось для m массы материала гибкого шнура ρ п погонной плотностью, заключённой в (рис. 2. 24) малой Δ y длине гибкого шнура, к которой приложены два вектора: вектор F (yn) силы реакции в начале деформированной малой Δ y длины гибкого шнура и F (yn+ Δ y силы натяжения в yn+ Δ y координате конца деформированной малой Δ y длиныэтого гибкого шнура, имеет с учётом (2. 100) следующий вид: OZ: ρ пΔ y(∂ 2s/∂ t2) = FZ(yn+ Δ y) + FZ(yn) ↔ ↔ ρ пΔ y(∂ 2s/∂ t2) = FZ(yn+ Δ y) - |FZ(yn)| ↔ ρ пΔ y(∂ 2s/∂ t2) =(∂ FZ /∂ у)Δ y↔ ρ п(∂ 2s/∂ t2) =(∂ FZ /∂ у), (2. 101) где ρ п = ρ /S, кг/м - погонная плотность гибкого шнура, имеющего S площадь поперечного сечения и ρ плотность материала, из которого изготовлен этот гибкий шнура; погонная ρ п плотность протяжённого предмета - этомасса единицы длины этого протяжённого предмета; ∂ 2s/∂ t2 - проекция вектора ∂ 2 s /∂ t2 ускорения на OZ ось (рис. 2. 24) центра C деформированной малой Δ y длины гибкого шнура при его перемещении на малое Δ s отклонение относительно положения равновесия по OZ оси. Подставляем (2. 99) в (2. 101) и получаем по аналогии с (2. 97) продольными волнами в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде следующее одномерное волновое уравнение распространения поперечных упругих волны в гибком шнуре, вдоль длины которого приложенвектор F силы натяжения с F модулем: ρ п(∂ 2s/∂ t2) =∂ [F(∂ s/∂ y)]/∂ у ↔ ρ п(∂ 2s/∂ t2) =F∂ [(∂ s/∂ y)]/∂ у ↔ ↔ ∂ 2s/∂ y2 = (ρ п/F)(∂ 2s/∂ t2) ↔ ∂ 2s/∂ y2 = (1/v2) (∂ 2s/∂ t2), (2. 102) где (F/ρ п)1/2 = v - фазовая (рис. 2. 23) скорость распространения поперечных упругих волны в гибком шнуре, натянутого с F силой и имеющего ρ п погонную плотность, в направлении k волнового вектора вдоль длины этого натянутого гибкого шнура.
Давление звука, интенсивность звуковой волны. Объемная плотность энергии упругих волн
Звуковое давление - это давление, возникающее при прохождении звуковой волны в жидкой и газообразной средах. Оно представляет собой переменную часть давления, т. е. колебания давления относительно среднего значения при прохождении звуковых волн в среде. Звуковое давление - главная количественная характеристика звука, основной объект акустических измерений. Единица измерения звукового давления в СИ - Ньютон на квадратный метр (Н/м2). Действующее значение звукового давления в воздухе изменяется в широких пределах - от 10-5 Н/м2 вблизи порога слышимости до 103 Н/м2 при самых громких звуках, например, шумах реактивного самолета. В воде на ультразвуковых частотах порядка нескольких МГц с помощью фокусирующих излучателей получают значение звукового давления до 107Н/м2. В некоторой среде распространяется в направлении OY оси плоская продольная волна. В элементарном Δ V объёме частицы упругой среды совершают гармоничекие колебания, т. е s отклонения (2. 69) от положения равновесия в произвольный момент tвремени. Скорость ∂ s/∂ t отклонений s от положения равновесия частиц упругой среды в произвольный момент t времени и их (2. 90) относительная ∂ s/∂ y деформация от этого положения равновесия, определятся из (2. 79) для плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления OY оси, из следующего выражения: ∂ s/∂ t = -Aω sin(ω t - ky+ φ 0); ∂ s/∂ y = Aksin(ω t - ky+ φ 0). (2. 103) Кинетическая Δ Wk энергия в элементарном Δ V объеме m = ρ Δ V массой, где ρ - плотность упругой среды, имеющей в произвольный момент t времени ∂ s/∂ t скорость колебаний, с учетом (1. 83) из раздела 01. 0 " Физические основы механики " и (2. 103) определяется из следующего выражения: Δ Wk = (ρ Δ V/2)( ∂ s/∂ t)2 = (ρ Δ V/2) A2 ω 2 sin2 (ω t - ky+ φ 0). (2. 104) Потенциальная Δ Wp энергия в элементарном Δ V объеме, имеющего (2. 90) относительную ∂ s/∂ y деформацию длины этого Δ V объема по OY оси с учетом связи фазовой v скорости продольной упругой волны с модулем E Юнга: E = ρ v2, а также с учётом и связи k волнового числа c циклической ω частотой и фазовой v скоростью: k = ω /v, имеет следующий вид: Δ Wp = (EΔ V/2)(∂ s/∂ y)2 = (ρ Δ Vv2/2) A2k 2sin2(ω t - ky + φ 0) = (ρ Δ V/2) A2ω 2sin2(ω t - ky+ φ 0). (2. 105) Сумма (2. 104) и (2. 105) с делением на элементарный Δ V объём упругой среды приводит к следующему выражению w объемной плотности энергии бегущей продольной волны, т. е. энергии, содержащейся в единице объема упругой среды, в которой распространяется бегущая продольная волна: w = (Δ Wk + Δ Wp)/Δ V = ρ A2ω 2sin2(ω t - ky+ φ 0). (2. 106) В случае поперечной волны дляw объемной плотности энергии получается выражение, аналогичное (2. 106). Из (2. 106) следует, чтоw объемная плотность энергии бегущей продольной или поперечной волны в каждый момент t времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке пространства, а для одномерного случая при одной и той же y = const координате согласно (2. 106) w объемная плотность энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде изменяется с t временем пропорционально квадрату синуса. Среднее значение квадрата синуса: T (1/T) ∫ sin2(ω t - ky+ φ 0)dt = 1/2, т. е. равно1/2, поэтому < w> среднее по t временизначение w 0 объемной плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в каждой точке упругой среды определяется из следующего выражения: < w> = ρ A2ω 2/2. (2. 107) Вектор Умова - вектор плотности потока энергии упругих волн
Вектор v скорости переноса энергии волной равен вектору v скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максимальному значению w объемной плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде. Вектор v скорости переноса энергии для синусоидальных волн коллинеарен (рис. 2. 17) k волновому векторураспространения волны в упругой среде сv фазовой скоростью и направлен этот вектор v скорости переноса энергии в одну сторону с k волновым вектором. Энергия dW синусоидальной волны, проходящая (рис. 2. 25) через элементарную поверхность dS площадью упругой среды, которая расположена под α углом к направлению вектора v скорости переноса энергии волной, т. е. расположена под α углом к направлению k волнового вектора, за элементарный промежуток dt времени определяется из следующего выражения: dW = wvdScosα dt= w( v d S )dt = wdS( vn )dt, (2. 108) где vdScosα - объём энергии, прошедшей через элементарную поверхность dS площадью упругой среды за единицу t времени в направлении вектора v скорости переноса энергии волной; w - объемная плотность энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде; n - единичный вектор нормали к элементарной поверхности dS площадью упругой среды; α - угол между n единичным вектором к элементарной поверхности dS площадью упругой средыи вектором v скорости переноса энергииволной.
![]()
где u = w v - вектор плотности потока энергии волны в упругой среде, который направлен в сторону переноса (2. 108) энергии dW синусоидальной волны и называется вектором Умова. Интенсивностью I волны называется модуль среднего значения по t времени вектора Умова. Интенсивность I волны численно равна энергии W синусоидальной волны, переносимой волной за единицу t времени сквозь поверхность единичной площадью, нормальной к направлению распространению волны, т. е. расположенной нормально к направлению k волнового вектора. С учетом выражения (2. 109) вектора u плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде, а также с учётом выражения (2. 108) < w> среднего по t временизначения w объемной плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде выражение для I интенсивности этих волн имеет следующий вид: I = |< u > | = v< w> = ρ vA2ω 2/2 кг/с3(Вт/м2). (2. 110) Когерентные волны в упругой среде. Интерференция этих волн Две бегущие продольные или поперечные волны в упругой среде называются когерентными, если по аналогии с (2. 20) разность их фаз (2. 72) Ф2 – Ф1 в точке упругой среды с y координатой не зависит от времени и имеет следующий вид: Ф2 – Ф1 = (ω 2t - ky+ φ 2) - (ω 1t - ky+ φ 1) = const, (2. 111) где ω 1 и ω 2 - циклическая частота гармонических колебаний (рис. 2. 16), создаваемых соответственно И1 и И2 источникамикогерентных (2. 20) колебаний, вследствие чего в точке упругой среды с y координатой в данный момент tвремени существуют когерентные волны; φ 1 и φ 2 – начальные (2. 8) фазы колебаний в t0 = 0 момент времени частиц упругой среды в точке с y = 0 координатой, т. е. вПл. 1 плоскостиравных фаз, где находятся (рис. 2. 16)соответственно И1 и И2 источникигармонических когерентных (2. 20) колебаний в упругой среде. Выполнение равенства (2. 112) в точке упругой среды с y координатой в данный момент t времени возможно, если ω 1 и ω 2 циклические частоты гармонических (рис. 2. 16) колебаний в упругой средеот соответственно И1 и И2 источниковкогерентных (2. 20) колебаний равны друг другу, т. е. когда выполняется следующее соотношение: ω 1 = ω 2 = ω . (2. 112) Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором существует устойчивое во tвремени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других точках пространства в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Интерферировать могут только когерентные волны, которые распространяются вдоль одного и того же или близких направлений. При наложении когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными (рис. 2. 26) S1, S2 источниками гармонических колебаний, отклонения соответственноs1 = s1(r1, t) , s2 = s2(r2, t) от положения равновесия частиц упругой среды в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r1 и r2 расстояниях от этих соответственно S1, S2 источников, с учетом (2. 77) имеют следующий вид: s1 = ( a10/r1)cos(ω t - kr1 + φ 1) = A1cosФ1; (2. 113) s2 = ( a20/r2)cos(ω t - kr2 + φ 2) = A2cosФ2. (2. 114) Амплитуда A и Ф фаза результирующих гармонических колебаний (рис. 2. 26) частиц упругой среды в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r1 и r2 расстояниях от этих соответственно S1, S2 источников по аналогии с (2. 18), (2. 19) и с учётом (2. 113), (2. 114) имеют следующий вид: s = s1 + s2 = AcosФ, (2. 115) где A2 = A1 2 + A2 2 + 2A1 A 2 cos[Ф2 - Ф1] = A1 2 + A2 2 + 2A1A 2 cos [k(r2 - r1) - (φ 2 - φ 1)]; tgФ = (A1 sinФ1+ A2 sinФ2)/(A1 cosФ1+ A2cosФ2); A1, A2 - амплитуды бегущих продольных или поперечных волн в упругой среде в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r1 и r2 расстояниях от соответственноточечных S1, S2 источников когерентных сферических волн (2. 76) волн; Ф1, Ф 2 - фазы бегущих продольных или поперечных волн в упругой среде в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r1 и r2 расстояниях от соответственноточечных S1, S2 источников когерентных сферических волн (2. 76) волн; k = ω /v - волновое число, равное модулю k волновых k1, k1 векторов, перпендикулярных сферическим волновым фронтам от точечных S1, S2 источников когерентных сферических волн (2. 76) волн и направленных от этих точечных S1, S2 источников в M точку упругой среды. Поскольку разность начальных фаз φ 2 - φ 1 = const (рис. 02. 0. 26) вблизи точечных S1, S2 источников когерентных сферических волн (2. 76) волн, то результат интерференции двух бегущих продольных или поперечных волн в упругой среде в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r1 и r2 расстояниях от этих точечных S1, S2 источников зависит от величины Δ = r2 - r1, называемой разностью хода волн.
|
|||||||||||
|