Проекция II закона Ньютонана OZ ось для m массы материала гибкого шнура ρп погонной 4 страница

В интерференционных минимумах A_minамплитуда результирующих колебаний в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂расстояниях от точечных

(рис. 2. 26) S₁, S₂источников когерентных сферических гармонических волн по аналогии с(2. 22) равна: A_min =| A₁ - A₂|, а в интерференционных максимумах A_max амплитуда результирующих колебаний по аналогии с(2. 23) равна: A_max = A₁ + A₂.

Интерференционные максимумы результирующих колебаний в произвольный момент

t времени наблюдаются в точках, находящихся на r₁ и r₂расстояниях от точечных (рис. 2. 26)

S₁, S₂источников когерентных сферических гармонических волн, удовлетворяющих по аналогии с (2. 26) и с учетом (2. 115) следующему условию: k(r₂ - r₁) - (φ ₂ -φ ₁) = kΔ - (φ ₂ - φ ₁) = ±2mπ , (2. 116) где m = 0, 1, 2, …, n - порядок интерференционного максимума.

Интерференционные минимумы результирующих колебаний в произвольный моментt времени наблюдаются в точках, находящихся на r₁ и r₂расстояниях от точечных (рис. 2. 26) S₁, S₂источниковкогерентных сферических гармонических волн, удовлетворяющих по аналогии с (2. 25) и с учетом (2. 115) следующему условию: k(r₂ - r₁) - (φ ₂ -φ ₁) = kΔ - (φ ₂ - φ ₁) = ± (2m + 1)π , (2. 117) где m = 0, 1, 2, …, n - порядок интерференционного минимума. На ab прямой (рис. 2. 26), проходящей параллельно линии, на которой расположены точечные S₁, S₂источниковкогерентных сферическихволн (2. 76) волн, на L расстоянии от этой линии, центральный максимум нулевого порядканаходится в O точке, равноудалённой от этих источников.

Стоячая волна в непоглощающей упругой среде: уравнение смещений частиц упругой среды относительно положений равновесия

Уравнение (2. 69)s₁= s₁(y, t) бегущей акустической волны, распространяющейся вдоль положительного направления OY оси в закрытой с правой стороны трубе (рис. 2. 27) при начальной

φ ₀ = 0 фазе этой бегущей акустической волны имеет следующий вид: s₁ = Acos(ω t - ky). (2. 118) От сечения (рис. 2. 27) с произвольной y координатой продольная волна, имеющая в этом сечении с y координатой, например, область сжатия в газе и перемещающаяся вдоль положительного направления OY оси, проходит по направлению (рис. 2. 16), (рис. 2. 17)

k волнового вектора, k модуль которого в выражении (2. 119) имеет значение k = ω /vили k = 2π /λ , с v фазовой скоростью расстояние L -y до закрытой части трубы. Отражаясь от закрытой части трубы, т. е. более плотной упругой среды, отражённая продольная волна будет распространяться в отрицательную сторону OY оси с v фазовой скоростью.

При отражении от закрытой с правой стороны трубы фазовый угол продольной волны изменяется на π угол, п. ч. при падении на закрытую с правой стороны трубуобласти упругой среды, находящейся, например, в состоянии сжатия, эта область при отражении от более плотной упругой среды меняет направление своего вектора смещения частиц от положения равновесия на противоположное, т. е. эта область переходит за промежуток времени упругого удара о закрытую часть в состояние расширения.

Фазовый (2. 69) угол Ф₁ бегущей (2. 119) акустической волны, распространяющейся от

0 начала координат до сечения с y координатой по OY оси, в данный момент tвремени будет иметь следующий вид: Ф₁= ω t - ky. (2. 119) Фазовый (2. 70) угол Ф₂ бегущей акустической волны в том же сечении с y координатой и в тот же, что волна (2. 118) момент tвремени, получается сложением составляющей Ф₂₁ фазового угла при движении этой бегущей акустической волны наL -y расстояние до закрытой части трубы, далее сложением составляющей Ф₂₂ фазового угла вследствие отражения от закрытой части трубы, которая равна π рад, т. е. Ф₂₂= π , далее сложением с составляющей Ф₂₃ фазового угла при распространении бегущей акустической волны нарасстояние L -yот закрытой части трубыдо сечения с y координатой. Поэтому общий Ф₂ фазовый угол при распространении бегущей акустической волны от сечения с y координатой и последующим её возвращением в то же сечение с

y координатойпосле отражения от закрытой части трубы имеет следующий вид:

Ф₂ = ω t -(Ф₀+ Ф₂₁+ Ф₂₂+ Ф₂₃) = ω t - [ky + k(L – y) + π + k(L – y)] = ω t - k[y +2(L – y)]+ π , (2. 120)

где(2. 120) Ф₀ = ky - начальный фазовый угол бегущей (2. 119) акустической волны распространяющейся от сечения с y координатой вдоль положительного направления OY оси в данный момент tвремени.

Уравнение бегущей s₂= s₂(y, t) акустической волны от сечения с y координатойи последующим её возвращением в то же сечение с y координатойпосле отражения от закрытой части трубы с учётом выражения (2. 121) имеет следующий вид:

s₂= Acos{ω t - k[y +2(L – y)] + π } = - Acos{ω t - k[y +2(L – y)]}. (2. 121) Результирующее уравнение s = s(y, t) акустической волны в сечении с y координатой в произвольный момент tвремени определяется суперпозицией бегущей (2. 118) s₁= s₁(y, t) акустической волны до сечения с y координатой и бегущей (2. 121) s₂= s₂(y, t) акустической волны от сечения с y координатой и последующим её возвращением в то же сечение с y координатой после отражения от закрытой части трубы.

С учётом выражений (2. 118) и (2. 121) результирующее уравнение s = s(y, t) акустической волны в сечении с y координатой в произвольный момент tвремени определяется следующим выражением: s = s₁ + s₂ = Acos(ω t - ky) - Acos{ω t - k[y +2(L – y)]} = - 2Asink(L - y) sin(ω t - kL ). (2. 122) Уравнение (2. 122) s = s(y, t) представляет собой уравнение стоячей акустической волны для случая нормального падения плоской акустической волны на плоскую границу более плотной упругой среды и состоит из двух частей: амплитудной - 2Asink(L - y) и временной sin(ω t - kL ).

Амплитудная - 2Asink(L - y) часть (2. 122) уравнения не зависит от времени. Модуль

A_ст= |- 2Asink(L - x)| этой (2. 122) амплитудной части определяет A_ст амплитуду стоячей волны, т. е. максимальное смещение частиц упругой средыот положения равновесия в произвольный момент

tвремени в зависимости от y координаты волновой поверхности, в плоскости которой происходит колебания частиц упругой среды.

Временная sin(ω t - kL ) часть (2. 122) уравнения не зависит от y координаты и определяет состояние всех частиц упругой среды в данный момент tвремени. Например, в момент

tвремени, когда sin(ω t - kL ) временная часть (2. 123) уравнения равна нулю, все частицы имеют

s смещение частиц упругой средыот положения равновесия, равное нулю. В момент tвремени, когда sin(ω t - kL ) временная часть (2. 122) уравнения равна единице, все частицы имеют s смещение частиц упругой средыот положения равновесия, равное амплитуде, т. е. максимальному значению.

В отличии от бегущей (2. 118) акустической волны в стоячей акустической волне существуют волновые поверхности с y_у координатами, в которых движение частиц упругой среды отсутствует.

Координаты y_у волновых поверхностей, в которых движение частиц упругой среды отсутствует, называется узлами стоячей волны.

В стоячей плоской акустической волны существуют волновые поверхности с y_п координатами, в которых в определённые моменты tвремени смещение частиц упругой среды относительно своего положения равновесия достигает максимума. Координаты y_п, в которых в определённые моменты tвремени частицы упругой среды достигают своего максимального значения, называются пучностями.

В области упругой среды, находящейся вблизи волновых поверхностей с y_у координатами узлов, существует (2. 90) максимальное значение ∂ s/∂ y относительной деформации упругой среды, поэтому в упругой среде с y_у координатами узлов частицы этойупругой средыимеют(2. 105) максимальное значениеW_p потенциальной энергии.

В области упругой среды, находящейся вблизи волновых поверхностей с y_п координатами пучностей существуют в определённые моменты tвремени (2. 104) максимальные значения скорости частиц этой упругой среды, поэтому в упругой среде сy_п координатами пучностей частицы упругой средыимеют максимальное значениеW_k кинетической энергии. Если (рис. 2. 27) длина L закрытой с правой стороны трубы, в которойс помощью вибратора у левой открытой стороны трубы возбуждается акустическая волна, такова, что k₁ L = π /2, где (2. 70) k₁ = 2π /λ ₁ – волновое число, то в t = nT/2 моменты времени, где n = 0, 1, 2, …, а T - период колебанийисточника акустической волны, т. е. вибратора, модуль sin(ω ₀t - kL ) временной части (2. 122) уравнения равен единице и s отклонения частиц от положения равновесия вy координате упругой среды, равной нулю, т. е. y = 0, будут равны A_ст амплитуде стоячей акустической волны, равной удвоенной амплитуде этих частиц упругой среды в режиме (2. 69) бегущей акустической волны, т. е. A_ст= 2A.

В интервал (рис. 2. 27) времени от t₀= 0 с до t₂= T/2 с падающая (2. 118) волна s₁= s₁(y, t) распространяется от И источника, т. е. вибратора, до закрытой с правой стороны трубы, затем отражается от этой закрытой стороны трубы с изменением фазы отражённой акустической волны навеличину, равнуюπ , и возвращается к моменту t₂= T/2 с времени в сечение трубы с y = 0 координатой y = 0 по OY оси. В этом сечении отраженная (2. 121) волна s₂ = s₂(x, t) с отрицательным смещением частиц упругой среды относительно положения равновесия, равным " -A", складывается с таким же смещением, равным " -A", у И источника (2. 118)падающей волны s₁ = s₁(x, t), вследствие чего в сечении с 0 координатой по OY осив момент t = T/2 с времени результирующие отклонения (2. 122) s = s(x, t) частиц упругой среды от положения равновесия в открытой части трубы будут максимальны в сторону, противоположную OY оси, т. е. при y = 0, будут равны отрицательным

" - A_ст = -2A" смещениям частиц упругой среды относительно положения равновесия. Интервал времени от t = 0 c до t = T/2 с является интервалом, в пределах которого происходит установление результирующих отклонений (2. 123)s = s(x, t) частиц упругой среды от положения равновесия в режиме стоячей волны.

Если длина L закрытой с одной стороны трубытакова, что k₁L = π /2, то на открытой стороне трубы устанавливается пучность стоячей плоской акустической волны, а у закрытой стороны трубы устанавливается узел этой стоячей плоской акустической волны. Такие же, что и в момент t = T/2 с времени результирующие отклонения (2. 122) s = s(x, t) частиц упругой среды от положения равновесия будут иметь в моменты t = 3T/2; 5T/2; …с времени, т. е. эти отклонения будут равны отрицательным " - A_ст = -2A" смещениям частиц упругой среды относительно своего положения равновесия.

В моменты времени t = T, 2T, …с, представленные на рис. 2. 27 результирующие (2. 122) отклонения s = s(x, t) частиц упругой среды от положения равновесия в открытой части трубы будут максимальны в направлении OY оси, т. е. при y = 0, будут равны (2. 122) удвоенной A амплитуде

A_ст= 2A бегущей волны.

Приращение Δ p′ давления (2. 77), если (рис. 2. 27) L длина закрытой трубы такова, что

k₁L = π /2, в упругой среде в сечении трубы, где y = 0, т. е. в её открытой части, будет равно нулю, т. к. эта часть трубы находится в открытом пространстве. В сечении закрытой части трубы, т. е. при y = L, приращение Δ p′ давления будет максимально: либо разрежение, которое возникнет в моменты

t = (2n + 1)T/2 с времени, где n = 0, 1, 2, …, и обозначены на рис. 2. 27 бледно-голубым цветом, либо сжатие, которое возникнет в моменты t = 2nT/2 с времени, где n = 0, 1, 2, …, и обозначены на рис. 2. 27 тёмно-синим цветом.

Таким образом, если L длина закрытой с одной стороны трубы такова, что k₁L = π /2, то на открытой стороне трубы устанавливается узел давления стоячей плоской акустической волны, а у закрытой стороны трубы устанавливается пучность давления этой стоячей плоской акустической волны.

Графики на рис. 2. 27 при k₁L = π /2относятся к стоячей волне, существующей в закрытой с правой стороны трубе, когда её L длина равна четверти λ ₁/4 длины бегущей волны, т. е. имеет место следующее выражение: L = λ ₁/4, (2. 123) где λ ₁ - длина первой гармоники бегущей волны.

При выполнении условия (2. 124) на Lдлине закрытой с правой стороны трубы укладывается четвёртая часть от всей λ ₁ длины бегущей волны.

Длина λ _1ст/2 первой гармоники стоячей волны, которая измеряется (рис. 2. 27) по расстоянию между двумя соседними узлами или между двумя соседними пучностями этой стоячей волны, при выполнении условия (2. 124) имеет следующий вид: λ _1ст= λ ₁/2 = 2L. (2. 124)

Согласно (2. 12) длина λ _ст стоячей волны в 2 раза меньше λ длины бегущей волны. Если

L длина закрытой трубы такова, что k₂L = 3π /2, то (рис. 2. 28) на L длине закрытой с правой стороны трубы укладывается три четвёртых части от всей λ ₁ длины бегущей волны второй гармоники и с учётом (2. 124) три вторых части от всей λ _2ст длины второй гармоники стоячей волны.

В этом случае имеет место следующее выражение: L = 3λ ₂/4 = 3λ _2ст/2 ↔ λ _2ст= 2L/3, (2. 125) где λ _2ст - длина второй гармоники стоячей волны.

Таким образом, при выполнении следующего условия: k_iL = (2i - 1)π /2, (2. 126) где i = 1, 2, 3…; k_i = 2π /λ _i– волновоечисло; в закрытой с правой стороны трубе L длиной возникают стоячиеволныпервой, второй, третьейи т. д. гармоник, длины волн λ _1ст, λ _2ст, λ _3ст, … и λ ₁, λ ₂, λ ₃, … которых определяютсяиз

следующих выражений: (2π /λ _i)L = (2i - 1)π /2 ↔ λ _i=4L/(2i - 1) ↔ λ _iст = 2L/(2i - 1), (2. 127) где λ _i- длины бегущей волны соответствующие своему i номеру гармоники; λ _iст = λ _i/2 - длины стоячей волны соответствующие своему i номеру гармоники.

Если (рис. 2. 29) труба с двух концов закрыта упругой средой более плотной, чем упругая среда внутри трубы, то стоячая акустическая волна возникает при выполнении условия, которое может быть получено приравниванием - 2Asink(L - y) амплитудной части (2. 122) уравнения нулю при y = 0, т. к. на закрытой левой и правой частях трубы смещение частиц упругой среды от положения равновесия отсутствует, т. е. на левой и правой частях трубы существуют узлы стоячей волны.

Приравнивание - 2Asink(L - y) амплитудной части (2. 122) уравнения нулю при y = 0 позволяет получить следующее выражение для определения λ _i длины бегущей акустической волны и λ _iст = λ _i/2 длины стоячей акустической волны, соответствующих своему i номеру гармоники и

возникающих в трубе с двух концов закрытой упругой средой более плотной, чем упругая среда внутри трубы:

- 2Asink_i(L - y) = 0 ↔ sink_iL = 0 ↔ k_iL = iπ ↔ (2π /λ _i)L = iπ ↔ λ _i = 2L/i ↔ λ _iст = L/i, (2. 128) где i = 1, 2, … - номер гармоники; λ _i - длина i - ой гармоники бегущей волны, λ _iст - длина i - ой гармоники стоячей волны, соответствующей i - ой гармоники бегущей волны.

Стоячая волна в непоглощающей упругой среде: расчёт координат узлов и пучностей

На первой гармонике стоячей волны (рис. 2. 27) в закрытой с правой стороны трубе, т. е. когда i = 1, λ _1ст длина волны этой стоячей волны (2. 128) равна 2L (рис. 2. 27), а соответствующая этой стоячей волне бегущая волна имеет λ ₁ длину 4L, в сечении закрытой трубы с y = L координатой, т. е. у закрытой стенки трубы, согласно (2. 122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия будет в любой момент времени равны нулю. Эта y = L координата является y_y₀координатой узла для этой первой гармоники стоячей волны.

Общее выражение y_ym координат (рис. 2. 27) узлов в закрытой с правой стороны трубе, где m = 0, 1, 2, …номер узла для первой, второй, третьей и т. д. … гармоник стоячих волн с длинами λ _1ст, λ _2ст, λ _3ст, …, cоответствующих длинам λ ₁, λ ₂, λ ₃, …бегущих волн, выводится приравниванием - 2Asink(L - y) амплитудной части (2. 122) уравнения нулю.

Координаты узлов y_ym в закрытой с правой стороны трубе определяются с учётом (2. 127)

λ _i=4L/(2i - 1) длины бегущей волны и (2. 70) k_i = 2π /λ _i волнового число из следующего выражения:

- 2Asink_i(L - y_ym ) = - 2Asin[(2π /λ _i)(L - y_ym )] = - 2Asin{2π [(2i + 1)/4L](L - y_ym )} = 0 ↔

↔ 2π [(2i + 1)/4L](L - y_ym ) = mπ ↔ y_ym = L{1 - [2m/(2i -1)]}, (2. 129)гдеm= 0, 1, 2, … номер узла для первой, второй, третьей и т. д. … гармоники, а m_max максимальное значение номера узла равно i - 1 номеру гармоники этой стоячей волны; k_i =2π /λ _i= π (2i - 1)/4L – волновое число (2. 70), при выводе которого использовано выражение (2. 128) для λ _iдлины бегущей волны первой, второй, третьей и т. д. гармоник. Согласно (2. 128) для первой гармоники стоячей волны, т. е. при i = 1, с λ _1ст длиной стоячей волны, равной 2L, которой соответствует λ ₁длина бегущей волны, равная 4L, существует один узел (рис. 2. 27) этой стоячей волны с координатой (2. 128) y_y₀ = L при m_max = i - 1 = 0.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая ⇒