Закон взаимности.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 10Следующая ⇒

4. Закон взаимности.

Продифференцируем равенства (6) по второму и первому зарядам соответственно. Сопоставив их левые и правые части, найдем

(¶P₁/¶E₂)_E1 = (¶P₂/¶E₁)_E2 . (47)

(¶T/¶V)_S = -(¶p/¶S)_V. (48)

Из выражений (20) и (47) имеем

А₁₂ = А₂₁ . (49)

Равенства (24) и (48) дают

А₁₂ = -А₂₁ °К/м³. (50)

В общем случае для уравнений (16) получаем

А_ir = А_ri . (51)

В физическом плане закон взаимности, выраженный дифференциальными уравнениями (49) - (51), характеризует симметрию во взаимном влиянии различных форм движения материи. В математическом плане он свидетельствует о том, что если некоторая величина Uесть функция определенной совокупности аргументов Е_iи каждая частная производная P_iэтой величины по одному из аргументов в свою очередь является функцией тех же аргументов, то перекрестные коэффициенты A_ir и А_riв выражениях для полных дифференциалов от Р_i между собой равны (теорема взаимности).

Закон взаимности инвариантен по отношению к очень многим преобразованиям дифференциальных уравнений состояния. Например, для второй разновидности дифференциальных уравнений состояния (32) на основе дифференциальных тождеств термодинамики второго типа [10, 11, 13]

(¶Е₁/¶Р₂)_Р1 = (¶Е₂/¶Р₁)_Р2 . (52)

Из соотношений (34) получаем

К_12Р = К_21Р (53)

Тождество (52) находится с помощью характеристической функции, именуемой свободной энтальпией или изобарным (термодинамическим) потенциалом [тождества первого типа (47) и (48) получены с помощью внутренней энергии, которая также является характеристической функцией].

Третий вид преобразований связан со следующим представлением дифференциальных уравнений состояния:

Р₁ = f₁(Е₁; Р₂) ; (54)

Е₂ = f₂(Е₁; Р₂); (54)

dР₁ = А_11PdЕ₁ + А_12ЕPdP₂ ; (55)

dЕ₂ = К_21PЕdЕ₁ + К₂₂dP₂ ; (55)

где

А_11Р = (¶Р₁/¶Е₁)_Р2 ; К₂₂ = (¶Е₂/¶Р₂)_Е1; (56)

А_12ЕР = (¶Р₁/¶Р₂)_Е1 ; К_21РЕ = (¶Е₂/¶Е₁)_Р2 (57)

Е₁ = f₁(Р₁; Е₂) ; (58)

Р₂ = f₂(Р₁; Е₂); (58)

dЕ₁ = К₁₁dР₁ + К_12РЕdЕ₂ ; (59)

dР₂ = А_21ЕРdР₁ + А_22РdЕ₂ ; (59)

где

К₁₁ = (¶Е₁/¶Р₁)_Е2 ; А_22Р = (¶Р₂/¶Е₂)_Р1; (60)

К_12РЕ = (¶Е₁/¶Е₂)_Р1 ; А_21ЕР = (¶Р₂/¶Р₁)_Е2 (61)

Согласно третьему типу тождеств (полученных с помощью энтальпии и свободной энергии)

(¶Р₁/¶Р₂)_Е1 = -(¶Е₂/¶Е₁)_Р2 (62)

(¶Е₁/¶Е₂)_Р1 = -(¶Р₂/¶Р₁)_Е2 (63)

перекрестные коэффициенты (57), а также (61) в уравнениях (55) и (59) между собой равны, т.е.

А_12ЕР = - К_21РЕ ; (64)

К_12РЕ = - А_21ЕР (65)

Закон взаимности (применительно к явлениям переноса его можно называть законом увлечения) инвариантен также по отношению к преобразованиям типа (35). Например, для уравнений (37) из выражений (38) и (53) получаем

В₁₂ = В₂₁ . (66)

В общем случае для уравнений переноса (39) имеем

B_ir = B_ri . (67)

Для частных вариантов выбора потоков и сил (40) - (43) находим

a_ir = a_ri ; b_ir = b_ri ; L_ir = L_ri ; M_ir = M_ri . (68)

Равенства типа (66) - (68) именуются соотношениями взаимности Онзагера. Они свидетельствуют о наличии симметрии во взаимном увлечении потоков.

Экспериментальное подтверждение закона взаимности дается в работе [13]. Он имеет важное значение для теории.

С помощью закона взаимности легко интегрируются уравнения (5) и (18). Например, для идеальных тел имеем:

U = (1/2) A₁₁E₁² + (1/2)A₂₂E₂² + A₁₂E₁E₂ дж; (69)

U = [1/(A₁₁A₂₂ – A₁₂²)]*[(1/2)A₂₂P₁² + (1/2)A₁₁P₂² – A₁₂P₁P₂] дж. (70)

При А₁₂ = А₂₁ = 0 эти уравнения превращаются в выражения типа (30).

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒