![]()
|
|||||||
Напряженно-деформированное состояние круглого бруса9.2. Напряженно-деформированное состояние круглого бруса
Для чистого кручения круглого цилиндрического бруса задаются следующие условия (используем цилиндрическую систему координат, см.рис.9.2): 1) в плоскости, касательной к цилиндрической поверхности, имеет место чистый сдвиг (γxθ= const); 2) отсутствуют линейные деформации (εх = ερ = εθ= 0), а следовательно, и нормальные напряжения и соответствующие им внутренние усилия в поперечных сечениях бруса (продольная сила и изгибающие моменты); 3) кривизна кручения в точках поперечного сечения сохраняет постоянное значение; 4) физический закон – закон Гука при сдвиге; 5) задан крутящий момент Т, Qy = Qx = 0. При заданных условиях по всей длине бруса соблюдается симметрия относительно оси х (осевая, круговая), заключающаяся в том, что при обходе в каждом сечении по дуге окружности угол сдвига γxθ не меняет величину и направление. Значит, в точке ρ = 0 имеем γxθ = 0, τxθ = 0. Для определения характеристик скручиваемого бруса kt, γxθ,τxθ и
За основное неизвестное принимаем kt. На основании двух последних зависимостей получаем τθx = Gγθx = Gktρ. По закону парности касательных напряжений τхθ = τθx = Gktρ. Подставим это значение в интегральную формулу
откуда kt = T/(GIР) . Следовательно, γxθ= (Tρ)/(GIР) , τхθ = (Tρ)/ IР. Наибольшее напряжение (на контуре сечения) равно
τ мах хKt = (Тr)/IР = T/WР, где WР - полярный момент сопротивления кругового сечения, WР = (πr3)/2. Дифференциальное уравнение углов закручивания имеет вид d Его интеграл Из условия: при х = 0, Анализ полученного решения приводит к следующим выводам: 1. Кривизна кручения остается постоянной по длине бруса. 2. Напряжения τхθ не меняют своего закона по длине бруса и являются функцией только координаты ρ. На торцах на основании статического граничного условия они трансформируются в распределенную линейно вдоль радиусов нагрузку, которая и соответствует рассмотренной деформации. 3. Кривизна кручения и деформация сдвига пропорциональны величине GIP, называемой жесткостью при кручении.
|
|||||||
|