Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья





Плоское напряженное состояние



4.2. Плоское напряженное состояние

В общем случае при переходе из одной точки в другую глав­ные напряжения изменяются непрерывно по величине и направле­нию. Случай, когда одно из главных напряжений становится равным нулю, называют плоским (двухосным) напряженным состоянием в точке. В соседних точках тела напряженное состояние может быть пространственным (трехосным).

Встречаются и такие случаи, когда во всех точках тела нап­ряженное состояние плоское и при этом площадки с нулевым глав­ным напряжением параллельны друг другу. В таком случае все те­ло испытывает плоское напряженное состояние. Примером может служить пластинка, подверженная воздействию поверхностной и (или) объемной нагрузки, распределенной равномерно по толщине. При этом равны нулю главные напряжения на площадках в плоскости пластинки, а два других отличны от нуля и, вообще говоря, изменяются при переходе из одной точки в другую.

Три независимые скалярные величины, соответствующие составляющим напряжений, определяют тензор напряжений:

Для определения главных напряжений представляет интерес исследование напряжений, действующих лишь на площадках, перпендикулярных к главной площадке с нулевым глав­ным напряжением. Рассмотрим прямую призму с основанием ВСD высотой dz (рис.4.2).

Уравнения равновесия запишем в виде проекции сил на нап­равления σα и τα:

σαdzds – (σydzds cosα) cosα– (τdzds cosα)sinα –– (σxdzds sinα) sinα – (τdzds sinα) cosα = 0,

ταdzds + (σydzds cosα) sinα – (τdzds cosα) cosα –– (σxdzds sinα) cosα + (τdzds sinα) sinα= 0.

После сокращения на dzds и преобразо-вания получим

σα = σxsin2α + σycos2α+τsin2α;                 

          τα= x – σy)sin2α+ τcos2α.                               Рис. 4.2

Чтобы определить положение главных площадок, следует либо приравнять нулю производную dσα/dα, либо положить равными нулю касательные напряжения τα ввиду их отсутствия на главных пло­щадках. В обоих случаях

получаем следующее уравнение для угла наклона главных площадок (α0):

x – σy) sin2α0+ τcos2α0 = 0 ,

откуда

tg2α0= 2τ /(σу– σх) ,

чему соответствуют углы α0′ и α0′+ 90°, которые определяют две взаимно перпендикулярные площадки.

Исследуя вторую производную d2σα/dα2, можно убедиться, что на главной площадке под углом α0′ при σyx действует мак­симальное главное напряжение σ1 ,а на площадке под углом α0′+ 90° действует минимальное главное напряжение σ2.

Для определения главных (экстремальных нормальных) нап­ряжений отразим значение угла α0 в выражении σα, используя при этом формулы для sin2α0, соs2α0, соs2α0, sin2α0, приведенные в п.3.4. В итоге

Если одно из напряжений σx или σy равно нулю, то формула примет вид

Экстремальные касательные напряжения можно выразить через главные напряжения: ± ( σ1− σ2), что соответствует выражению

Они действуют на площад­ках, наклоненных к главным под углом 45° и направлены от σmin к σmax (рис.4.3). В общем случае на этих площадках σα ≠ 0.

Если оси х и у совмещены с главными осями 1 и 2, то

σα = σ1sin2α + σ2cos2α ;

τα= 1 − σ2)sin2α.

При α = 45° и σ2 = −σ1 = −σ имеем τα = σ, σα = 0. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом, а площадки – площадками чистого сдви-га.

В случае σ1 = σ2 = σ на всех площадках, проходящих через исследуемую точку, τα = 0, σα = σ. Такое напряженное состояние называется равномерным двухосным растяжением (или сжатием).                                                                                    Рис. 4.3

При одноосном напряженном состоянии (σ2 =  σ3 = 0) имеем

σα = σ1sin2α;                  τα= σ1sin2α.

Экстремальные касательные напряжения равны ± σ1 /2.



  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.